第4章 插值法(第一讲)

即
1 f (1.2 ) P2 (1.2 ) 5 1.2 2 9 1.2 14 0.6667 6


计算方法
第四章 函 数 插 值
y
5 4 3 2 1 -1 f0 -3 f1 1 -2 2 1.2 f2

[应用条件]： 右图表明，对于象 y=f (x) 为连续光滑 的曲线，当三个插 值节点很近但所求 的函数值却相差较 大时，用抛物线插 值方法是可以保证 精度的。
解：用 (公式2)，计算得到
P2 ( x ) ( x 1)( x 2) ( x 1)( x 2) ( 3) 0 ( 1 1)( 1 2) (1 1)(1 2) ( x 1)( x 1) 1 4 5 x 2 9 x 14 ( 2 1)( 2 1) 6
计算方法
第四章 函 数 插 值
第三章 插值法
Interpolation
计算方法
第四章 函 数 插 值


1. 熟悉插值法的含义及其几何意义； 2. 熟悉 Lagrange 插值公式及其余项的使用。 3. 熟悉差分的定义, 会造差分表； 4. 会造差商表, 并熟悉 Newton 插值公式的使 用； 5. 熟悉差商与导数的关系式； 6. 熟悉简单的带导数条件的插值； 7. 熟悉分段插值法的含义。
xn
2 xn

n x0 n x1
n xn
公 式 3
满足这些条件, 所以Pn(x)就是所求的次数不超过 n 的插 值多项式(存在性)。显然, 式1、式2都是式3的特例。
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计算方法
第四章 函 数 插 值

插值多项式（公式3）
Pn ( x )
( x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) ( x x0 )( x x 2 ) ( x x n ) f0 f1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x0 x n ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x1 x n )
插值法 x i叫插值节点, R( x ) f ( x ) P ( x )叫截断误差 通常取 P ( x )为三角函数 三角插值 或者取 P ( x )为多项式函数 代数插值(多项式插值)
计算方法
第四章 函 数 插 值

二. 几何意义：两条曲线有交点（公共点）
满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。
计算方法

第四章 函 数 插 值
容易验证, P2(x)是过点(x0, f0)、(x1, f1) 与 (x2, f2)三点的抛物线，如下图所示。
P2(x)
计算方法
第四章 函 数 插 值
x 1 1 2 , f (x ) 3 0 4

例：已知
用抛物线插值公式求f (1.2) 的近似值。


线性插值 抛物线插值
Lagrange插值
插值多项式的余项——误差估计
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计算方法
第四章 函 数 插 值

一. 线性插值

已知两个插值点及其函数值：
x
x0
x1 f1
f ( x) f0 求一次多项式
使得
P1 ( x ) a bx ,
P1 ( x 0 ) a bx 0 f 0 P1 ( x1 ) a bx1 f 1
P2(x)
0.6667
x
-1
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计算方法
第四章 函 数 插 值

三. Lagrange插值

已知 n+1 个插值节点及其函数值： x x0 x1 x2 xn f ( x) f0 f1 f2 fn 求次数不超过 n 的多项式Pn(x) 。
插值节点
对应的 函数值
Pn ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n , 使得
计算方法
第四章 函 数 插 值
1 1 1 x0 x1
2 x0 2 x1
由于方程组的系数行列式 0 (n+1阶Vandermonde行列式 ) 所以, 这个 n+1 阶线性方程组, 有唯一解, 即Pn(x)是唯 一确定的。 容易验证:
( x x1 )( x x 2 ) ( x x n ) ( x x0 )( x x 2 ) ( x x n ) Pn ( x ) f0 f1 ( x0 x1 )( x0 x 2 ) ( x0 x n ) ( x1 x0 )( x1 x 2 ) ( x1 x n ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x n 1 ) fn ( x n x0 )( x n x1 ) ( x n x n1 )
满足插值条件的多项式显然为： Ln ( x ) l0 ( x ) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn
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计算方法
第四章 函 数 插 值
n
记 ( x ) ( x x 0 )( x x1 ) ( x x n ) ( x x i )
( x x0 )( x x1 ) ( x x n 1 ) fn ( x n x0 )( x n x1 ) ( x n x n1 )
插值基函数
( x x0 )( x xk 1 )( x xk 1 )( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 )( xk xk 1 )( xk xk 1 )( xk xn )
应如何构造？ （3）用插值多项式 P(x) 近似代替 f(x)，误差 如何？
计算方法
第四章 函 数 插 值

三. 插值多项式的存在唯一性
定理1 : 在 n 1 个互异节点x k 处满足插值条件 pn ( x k ) f ( x k ) ( k 0,1,2,...,n) 的次数不超过 n 的多项式 pn ( x ) 存在且唯一。
n a0 a1 x n ... a n x n f ( xn )
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计算方法
第四章 函 数 插 值
Lagrange 插值多项式

十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值 算法进行研究与整理，提出了易于掌握和计算 的统一公式，称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。
y
误差
P1(x)
f (x )
f (x ) P1(x)
x0
x1
x
计算方法
第四章 函 数 插 值

例：已知
x ln x
3 .1 1.1314
3 .2 , 1.1632
求 ln 3.16的 近 似 值 。
解：用线性插值公式 (公式1)，计算得到
3.16 3.2 3.16 3.1 P1 ( 3.16) 1.1314 1.1632 3 . 1 3 .2 3 .2 3 . 1 1.15048 1.1505
3.2
x
计算方法
第四章 函 数 插 值

二. 抛物线插值

已知三个插值节点及其函数值： x x0 x1 x2 f ( x) f0 f1 f2 求二次多项式
插值节点 对应的函数值
P2 ( x ) a bx cx 2 ,
使得
2 P2 ( x 0 ) a bx 0 cx 0 f0 2 P ( x ) a bx cx 2 1 1 1 f1 P ( x ) a bx cx 2 f 2 2 2 2 2
2. 函数解析表达式已知, 但计算复杂, 不便使用。 通常也造函数表。如: y = sin(x), y=lg(x)。

有时要求不在表上的函数值, 怎么办？
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第四章 函 数 插 值
实际中, 函数 y f ( x ) 在区间[a , b] 上连续存在,

但未知, 只知离散数据 yi f ( x i ) ( i 0,1,2,...,n) 希望 : 用简单函数 P ( x ) 近似代替 f ( x ) 使P ( x i ) f ( x i ) 区间[a , b] 插值函数 被插函数 插值条件 插值区间
即
ln 3 .16 1 .1505
计算方法
第四章 函 数 插 值

[应用条件]： 右图表明，对于象 y=ln x 这样连续光 滑的曲线，当两个 插值节点很近并且 所求的函数值也很 近时，用线性插值 方法是足以保证精 度的。
y
P1(x) 1.1505
ln x
1.1314
1.1632
1
3.1 3.16
பைடு நூலகம்
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第四章 函 数 插 值


从几何上看, 插值问题即: 已知平面上 n+1 个 不同的点( xi, yi ) ( i = 0, 1, 2, ... n), 要寻找一 条过这些点的多项式曲线。（不超过 n 次） 问题： （1）满足插值条件的插值多项式 P(x) 是否存 在？应该是几次多项式？（n 次） （2）如果满足插值条件的多项式 P(x) 存在，
2 n Pn ( x 0 ) a 0 a1 x 0 a 2 x 0 a n x0 f0 2 n P ( x ) a a x a x a x n 1 0 1 1 2 1 n 1 f1 2 n Pn ( x 2 ) a 0 a1 x 2 a 2 x 2 a n x 2 f 2 2 n P ( x ) a a x a x a x 0 1 n 2 n n n fn n n
计算方法
第四章 函 数 插 值
1 x0 x1 x2
2 x0 2 x1 0 2 x2
由于方程组的系数行列式 (3阶Vandermonde行列式) 1 1
所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确 定的。 容易看出
( x x 0 )( x x 2 ) ( x x1 )( x x 2 ) P2 ( x ) f0 f1 ( x 0 x1 )( x 0 x 2 ) ( x1 x 0 )( x1 x 2 ) ( x x 0 )( x x1 ) f2 ( x 2 x 0 )( x 2 x1 )
证 : 设 pn ( x ) a0 a1 x ... a n x n . 代入插值条件得 :
n a0 a1 x0 ... a n x0 f ( x0 ) n a0 a1 x1 ... a n x1 f ( x1 )
.......... .......... .......... .......... ...
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引言

本节内容

一. 插值问题提出 二. 几何意义 三. 插值多项式的存在唯一性 返回章节目录



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第四章 函 数 插 值
引言

一. 问题提出：

表示两个变量x, y内在关系一般由函数式 y = f(x) 表达。但在实际问题中，有两种情况： 1. 由实验观测而得的一组离散数据(函数表) , 显 然这种函数关系式 y = f(x) 存在且连续, 但未知。
于是 或
x1 f 0 x 0 f 1 f 1 f 0 P1 ( x ) x, x1 x 0 x1 x 0
x x0 x x1 P1 ( x ) f0 f1 x 0 x1 x1 x 0 式1）
（公
计算方法
第四章 函 数 插 值

容易验证，过点 (x0, f0) 与 (x1, f1) 直线方程就 是上式 (公式1) ，如下图所示。
计算方法
第四章 函 数 插 值
1 x0 x1 x 0 0 1 x1
由于方程组的系数行列式
f 0 x0 f 1 x1 x1 f 0 x 0 f 1 a 1 x0 x1 x 0 1 x1
所以，按 Gramer 法则，有唯一解
1 f0 1 f1 f1 f 0 b 1 x0 x1 x 0 1 x1