人教版数学高二必修五不等式练习

不等式
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质：
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘)
(5)倒数法则：b
a a
b b a 1
10,<⇒>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒
>>n N n b a b a n n
且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式()0002
2
≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：
设相应的一元二次方程()002
≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42
-=∆，则不等式的解
的各种情况如下表： 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b
x x 221-==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}2
1
x x x x x ><或
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21
x x x
x <<
∅
∅
2、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，
恒为正或恒为负时可去分母。

()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩ 3、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解 （四）基本不等式2
a b
ab +≤
1．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号. 2．如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有:a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S .
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积
的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4.常用不等式有：（1）
2222211
a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：
（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；（3）若
0,0a b m >>>，则
b b m
a a m
+<
+（糖水的浓度问题）。

不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系 题型一：不等式的性质
1. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题：
①2
2
,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,2
2
； ③2
2
,0b ab a b a >><<则若； ④b
a b a 11,0<<<则若； ⑤b
a
a b b a ><<则
若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b
c b a c a b a c ->
->>>则若,0； ⑧11
,a b a b >>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是________________________
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
2. 设2a >，1
2
p a a =+
-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小
3. 比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小
4. 若)2
lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .
（二） 解不等式 题型三：解不等式
5. 解不等式
6. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

7. 解不等式25123
x
x x -<---
8. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______
9. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02
>-+x b
ax 的解集为
10. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++<
题型四：恒成立问题
11. 关于x 的不等式a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是_____________
12. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
13. 已知0,0x y >>且
19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

（三）基本不等式2
a b
ab +≤
题型五：求最值
14. （直接用）求下列函数的值域
（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1
x
15. （配凑项与系数）
（1）已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。

（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

16. （耐克函数型）求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+的单调性。

17. （用耐克函数单调性）求函数22
54
x y x +=+的值域。

18. （条件不等式）
（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
（2） 已知0,0x y >>，且
19
1x y
+=，求x y +的最小值。

（3） 已知x ，y 为正实数，且x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
（4） 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab 的最小值.
题型六：利用基本不等式证明不等式
19. 已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
21. 已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
题型七：均值定理实际应用问题：
22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 2的三级污水处理池（平面图如
图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
23. 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值
24.
已知实系数一元二次方程2
(1)10x a x a b +++++=的两个实根为1x 、2x ,并且
102x <<,22x >．则
1b
a -的取值范围是
222x y x ++的最小值是
25. 已知,x y 满足约束条件： 则
26. 已知变量230,330.10x y x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪-≤⎩
满足约束条件若目标函数z ax y =+（其中a>0）仅在点（3，0）处
取得最大值，则a 的取值范围为 。

27. 已知实数x y ，满足121y y x x y m ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，，．如果目标函数z x y =-的最小值为1-，则实数m 等于（ ）
题型九：实际问题
28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。

现在要将这
两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？
03440x x y y ≥⎧⎪
+≥⎨
⎪≥⎩
复习――不等式的基本知识参考答案
高中数学必修内容练习---不等式
1. ②③⑥⑦⑧；
2. p q >；
3.
当
01x <<或43
x >
时，1+
3log x ＞2log 2x ；当413
x <<
时，1+
3log x ＜2log 2
x ；当
43
x =
时，
1+3log x ＝2log 2x
4.
∵1>>b a ∴
0lg ,0lg >>b a 2
1
=
Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lg Q ab ab b a R ==>+=lg 2
1lg )2lg( ∴R >Q >P 。

5.
6. {|1x x ≥或2}x =-；
7. (1,1)(2,3)-）；
8. 不等式2
120ax
bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =___-6____, b=__6_____
9.
),2()1,(+∞--∞ ）.
10. 解：当a ＝0时，不等式的解集为{}
1x x >； 2分
当a ≠0时，a (x －
a 1)(x －1)＜0；当a ＜0时，原不等式等价于(x －a 1
)(x －1)＞0
不等式的解集为11x x x a ⎧
⎫
><⎨⎬⎩
⎭
或； ...............................................................................6分 当0＜a ＜1时，1＜
a 1，不等式的解集为11x x a ⎧
⎫<<⎨⎬⎩
⎭； ..............................................8分
当a ＞1时，a 1＜1，不等式的解集为11x x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭
；...................................................10分
当a ＝1时，不等式的解为φ． ............................................................................................12分
11. _____0≤x ＜4________ 12. 1
2
m >-
） 13.
(],16m ∈-∞
14. 解：（1）y ＝3x 2＋1
2x 2 ≥2
3x 2·1
2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）
（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1
x ）≤－2
x ·1
x
=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15. （1）解
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛
⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝
⎭231≤-+=
1
（2）
当
，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，
(82)y x x =-的最大值为8。

16. 解析一：
当
,即
时,
4
21)591
y x x ≥+⨯
+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。

解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x ＋1，化简原式在分离求最值。

22(1)7(1+10544=5t t t t y t t t t
-+-++==++）
当,即t =时,4
259y t t
≥⨯+=（当t =2即x ＝1时取“＝”号）。

17. 解：令
24(2)x t t +=≥，则2
254
x y x +=+221
1
4(2)4
x t t t x =++
=+≥+
因1
0,1t
t t
>⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。

因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5
2
y ≥。

所以，所求函数的值域为
5,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭。

18. （条件不等式） （1） 解： b a
33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+b a b a
当b a
33
=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．
（2） 解：
19
0,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y
⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当
9y x
x y
=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += （3） 解：x 1＋y 2 ＝x
2·1＋y 2
2
＝ 2 x ·
12 ＋y 22
下面将x ，
12 ＋y 2
2 分别看成两个因式： x ·
12 ＋y 2
2 ≤x 2＋(
12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝3
4
即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x
12 ＋y 22 ≤ 3
4
2 （4） 解：法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b 2＋30b
b ＋1
由a ＞0得，0＜b ＜15
2
∴ ab ≤18 ∴ y ≥
1
18
当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立。

法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵ a ＋2b ≥22 ab ∴ 30－ab ≥22 ab 令u ＝ab 则u 2
＋2 2 u －30≤0， －5 2 ≤u ≤3 2
∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥1
18
19. 已知
c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222
20. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 21. 已知a 、b 、c R +
∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥
⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
证明：
a 、
b 、
c R +
∈，1a b c ++=。

∴
1121a b c bc a a a a -+-==≥。

同理
121ac
b b
-≥，
121ab
c c
-≥。

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
1112221118bc ac ab a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

当且仅当13a b c ===时取等号。

22. 解：
若设污水池长为
x 米，则宽为
（米）
水池外圈周壁长： （米）
中间隔墙长
：
（米
）
池
底
面
积
：
200
（
米
2
）
目标函数：
≥
23. 4
24.
)2
1
,3(-
-
25. 1 26. ),2
1
(+∞ 。

27. 5
28. 解：设一盒內放入
x
个豆沙月饼，y
个凤梨月饼，利润为
z
元
则x ，y
必须满足，
目
标
函
数
为
z
＝
15x
＋
10y
在可行区內的顶点附近z＝ f ( x，y ) 的最大值，
所以，一盒内装2个豆沙月饼8个凤梨月饼或4个豆沙月饼5个凤梨月饼，可得最大利润110元。

绝对值不等式的解法：
方法1：利用绝对值性质：
c b ax c c b ax <+<-⇔<+|| c b ax c b ax c b ax -<+>+⇔>+或||
一般的：①)()()()(|)(|x g x f x g x g x f <<-⇔<②)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f -<>⇔>或 特别地：①φ∈⇔<x x f x f )(|)(| 0)()(|)(|<⇔>x f x f x f
②a x f b b x f a a b b x f a <<-<<⇔>><<)()()0(|)(|或
练习1：不等式2||2<-x x 的解集为___________________
2、解不等式x x 2|3|2>-
3、不等式5|2|1<+<x 的解集是
4、不等式)(02||2R x x x ∈<--的解集是_____________________ 方法2：利用绝对值定义：
⎩⎨
⎧<-≥=)
0(,)0(,||x x x x x 将不等式同解变形为不等式组（即分类讨论思想） ⎩⎨⎧>+-<+⎩⎨⎧>+≥+⇔>+c
b ax b ax a
c b ax b ax c b ax )(00||或上面5题都可用此法 方法3：零点分区间法，（含有多个绝对值的不等式时可用此法）
练习1、解不等式3|1||1|≥++-x x 0212<---x x
方法4：平方法：
若不等式两边均为非负数，对其两边同时平方，再解不等式。

（切记：若用平方法，则不等式两边必须都是非负数,只有这样，才能运用平方法。

）
①22)()0(||c b ax c c b ax <+⇔><+ ②0)]()()][()([)]([)]([|)(||)(|22<-+⇔<⇔<x g x f x g x f x g x f x g x f 练习1、不等式1|1
1|<-+x x 的解集为__________________________
2、不等式|||2|x x ≥+的解集是
绝对值不等式性质定理的运用：||||||||||b a b a b a +≤±≤-，特别是用此定理求函数的最值。

练习1、不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_______________________
2、若不等式a x x >++-|3||2|，对于R x ∈均成立，那么实数a 的取值范围是___________________
含绝对值不等式的性质：
a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+. 如设2
()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+
练习：
1、已知31,11≤-≤≤+≤-y x y x ，求y x -3的取值范围。

2、已知c b a >>，且0=++c b a ，求a c
的取值范围。

3、正数y x ,满足12=+y x ，求y x 11+
的最小值。

4、设实数y x ,满足1)1(2
2=-+y x ，当0≥++c y x 时，求c 的取值范围。

5、已知函数2
()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤，2(1)5f ≤≤，求(3)f -取值范围。

6、已知：a 、b 都是正数，且1a b +=，1a a α=+，1
b b
β=+，求αβ+的最小值
7、已知集合{
}
045|2
≤+-=x x x A 与{}
022|2
≤++-=a ax x x B ，若A B ⊆，求a 的取值范围。

8、若关于x 的方程0124=++⋅+a a x
x
有实数解，求实数a 的取值范围。