9-第九讲-有限元四边形单元解析

平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式 (4-61)
基本概念 连续体结构有限元分析
5.单元势能的表达
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
(4-62)
(4-63)
基本概念 连续体结构有限元分析
6. 4节点矩形单元的线性应变和应力
2. 单元位移场的表达
(4-55)
基本概念 连续体结构有限元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
2. 单元位移场的表达 将式(4-54)写成矩阵形式，有
(4-57)
基本概念 连续体结构有限元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
(4-52)
基本概念 连续体结构有限元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
2. 单元位移场的表达
(4-53)
(4-54)
基本概念 连续体结构有限元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
7.采用无量纲坐标 （自然坐标）
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
位移场、应变场及应力场的分布如图所示
基本概念 连续体结构有限元分析
(1) 建模方案1的有限元分析列式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
(4-72)
基本概念 连续体结构有限元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
基本概念 连续体结构有限元分析
1.单元的几何和节点描述
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
(4-50)
(4-百度文库1)
基本概念 连续体结构有限元分析
单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
2. 单元位移场的表达 从图可以看出，节点条件共有8个，即x方向4个，y方向4个，因 此，x和y方向的位移场可以各有4个待定系数，即取以下多项式 作为单元的位移场模式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
3.单元应变场的表达
(4-58)
(4-59)
基本概念 连续体结构有限元分析
3.单元应变场的表达
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
将式(4-59)写成子矩阵形式，有 (4-60)
(4-61)
基本概念 连续体结构有限元分析
4.单元应力场的表达
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
位移场、应变场及应力场的分布如图所示
基本概念 连续体结构有限元分析
(2) 建模方案2的有限元分析列式
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
(4-77)
基本概念 连续体结构有限元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
由单元的位移表达式可知，4节点矩形单元的位移在 x，y方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因 为在单元的边界x=±a和y=±b上，位移是按线性变化的，
且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两
个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元 的位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility) 的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比3节点常应 变单元精度高。
从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是 完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边 形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐 标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定 作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，从 式(4-72) 与式(4-77) 比较两种单元计算得到的系统势能，可以看 出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角 形单元高。
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8.基于4节点四边形单元的矩形薄板分析
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较
平 面 问 题 的 4 节 点 矩 形 单 元
基本概念 连续体结构有限元分析
9.三角形单元与矩形单元计算精度的比较