数学分析第十三章函数列与数项级数的复习题
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第十三章函数列与函数项级数的复习题
一、 判断题。
1. 函数项级数∑u n ()x 在数集D 上一致收敛的充分必要条件是函数列{u n
()
x }在D 上一致收敛于零。
( )
2. 函数列{f （X ）}在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m ﹥N 时，对一切X ∈D ，都有｜f n
（X ）﹣
f m
（X ）｜﹤ε。
( )
3. 若函数列{ f n }在区间Ⅰ上一致收敛，且每一项都连续，则其
极限
函数
f
在Ⅰ上也连续。
( )
4. 若函数项级数∑u n （X ）在区间[a,b]上一致收敛，且每一项
不都连续，则其和函数在[a,b]上是连续的。 ( )
5. 若函数列{ f n }在区间[a,b]上一致收敛, 且每一项都连续,
则
⎰∞
→b
a
n lim f n
（X ）dx =
⎰
∞
→b
a
n lim f n
（X ）dx 。
( ) 二、 填空题。
6．默写M 判别法： 。
7. 设{s n ()x }是函数项级数∑u n ()x 的部分和函数列。若{s n ()x }在数集D 上一致收敛于函数S ()x ,则称函数项级数∑u n ()
x
在D 上
于函数S ()x ，或称∑u n
()x 在D 上
。
8. 若函数项级数∑
n
ns
2
sin 在(∞+，)∞-上一致收敛，
则∑
n
nx
2
cos 在(∞+，)∞-上 。
9. 若函数项级数∑u n ()x 在[a,b]上一致收敛，且每一项u n ()x 都连续，则()x b
a n u ∑⎰dx = 。
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10．∑
+x
n
x 2
4
1，x ∈[1,10]
11. ∑n x n
2，x ∈[0,1]
12. ∑!
2
n x ，x
∈[-a,a]
13.
()x f n =n
x 2
2
1
+
,n =1,2,3…,D=(-1,1)
四、 设s ()x =∑∞=-1
21
n n n
x ，x ∈[-1,1]，计算积分⎰x
s 0()t dt.
五、 证明：设
f n
()x f →()x ，x ∈D ，→a
n
0（→n ∞）
（a n ＞0）。 若对每一个正整数n 有∣f n
()x f -()x ∣≦a n
，x
∈D ，则{
f
n
}
在D 上一致收敛于f
。
答案
一、 判断题。
1.（×）;
2.( √ ) ;
3.( √ );
4.( × );
5.( √ )。 二、 填空题。
6.M 判别法：设函数项级数∑u n ()x 定义在数集D 上，∑M n 为收敛的正项级数，若对一切∈x D,有∣()x u n ∣≦M n ，n =1，2，3…，则函数项级数∑u n ()x 在D 上一致收敛。 7．一致收敛,一致收敛。 8. 一致收敛。 9. ()x b
a n u ⎰∑dx
三、 判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性。 10.解：∈x [1,10]，∣x
n
x 2
4
1+∣≦n
4
10
∵∑
n
2
10
收敛
∴根据M 判别法可知：∑
x
n x 2
4
1+在∈x [1,10]上一致收敛。
11．解：x ∈[0,1]，∣n x n
2∣≦
n
2
1
∵∑
n
2
1
收敛
∴根据M 判别法可知：∑n
x n
2在[0,1] 上一致收敛。
12. 解：x ∈[-a,a]，而∣
!n x n
∣≦!
n a n
∵∑!
n a n 收敛
∴根据M 判别法可知：∑!
n x n
在[-a,a]上一致收敛。
13. 解：()x f n n lim
∞
→=n
x n 2
2
1
lim +
∞
→ =
x
2
=∣x ∣
()
x f n
→→
∣x ∣，∞→n ，()εN
N =，()1,1-∈∀x
ε∀﹥0，要使∣
()x f n
-∣x ∣∣﹤ε
∣
n
x
2
2
1
+
-∣x ∣∣=x
n
x
n +
+
2
2
2
1
1
≦n
n 1
1
2
=
n
1
﹤ε
n ﹥
ε
1
，则取=
N ε
1
﹥0
ε∀﹥0，∃=
N ε
1
﹥0，∀n ﹥N ， ()
1,1-∈∀x
有∣
()x f n
-∣x ∣∣﹤ε
所以
()x f n
在（-1,1）是一致收敛的。
四、 解：∈x [-1,1]，而∣n x n 21
-∣≦
n
2
1
∵∑
n
2
1
收敛
∴根据M 判别法可知：∑∞
=-1
21
n n n
x 在[-1,1]上一致收敛，
又n
x n 21
-在[-1,1]上连续，从而由逐项求积可知
()∑∑⎰⎰∞
=∞
=-==1
31
0210n n
n x
n x
n
x n
t s dt dt t