再谈一个不等式的简单初等证明及比较分析

已 ｙ ∈ 且 ＋＋：， 《 （ ｙ・ 知 ，， ｙｚｌ则｝一） ） 一
（一） （ｊ ｝ 。≥争３ １ ①
文 ［］ １ 利用高等数学 的方法进行 了证 明 ，文 ［ ］ ［ ］ ［ ］ ２ 、 ３ 、 ４ 用 初等 方法进行 了证明 ，本 文拟给 出以上不等 式的另一种 初等证 明 ，同时 将对此不等式 的几种不 同证法加 以比较分析．
旦
，
（一） ｙ（一） （ （ ） ｚ≥芋 一
提示 ：可 以利用 函数 的凸凹性及构造解不等式加 以证 明等． 问题 ２ ： ６ ’ｃ＞０ ，且 ＋ｃ 则 ＋
ｊ
ａ ≤（ ｂ 旦
、
Ｊ
，
３显然 向 一 如 形 方 不 致， 何变
、 一＋ ｃ ２ ． ／ 、 一 ≥、 ｝ ／ ／
从两 ｘ ＋ ≥ 、 ・ ／） ， ｙ＋ “ ／ Ｘ一￣ ｘ
欲证 不 等 式 ⑦ ，即证 ：
牧稿 日期 ：２ １ － ５ １ ０１０— １
作者简介 ：卫福 山 （９ ０ ） １ ８ 一 ，男，安徽寿县人 ，中学一级教师 ，硕士 ，主要从事 中学数学教 学与解题研究
３ ７
塑
≤， ０③
整 得 ） 等 一、 理 （ ： ｝ ２／ ＋ 丁・
生特 剐是参加竞赛的学生学 习与掌握 ． 关键词 ：不等 式；简单初等证明 ；比较 分析；相似 不等式
对如 Ｆ 一个不等式 ： 的
， 于 ≤半 由 ｛
） ， ＝
于 拒ｏ ｌ 是 （孚 ， ，
从而不等式③ 即：￡＋ ｌ一２ ／ ｛ ０ ： 、 丁 ≤ ，④
］ ＋ ＋ ） （ 击 一 击 ３
—
≥ ９
３孚． ＝
过 对不 等式① 左边 的变形 处理 与 文 ［ ］ 同 ，总体 来说 技巧 较 ３不
大 ，学生难 以想到 ；本文 的证 明是 在充分 注意到含 有三个 正数
从而原不等式得证． 三 、一些类似 的不等式
的代 数式 “ｂ ， ＋ｂ ａｃ 曲 ｃ＋Ｃ， ０ Ｏ ，（ ＋ｂ＋ｃ２ ＋ｂ ＋ ｃ”等之间联
ａ ． ｂｃ
即 ２ ｘ＋ｚ ＋ｙ（＋ｚ一一ｙ ≥（ ） 证（＋ｙ ｙ＋ ｘ）ｙｙ＋ ｘ） 丁 ｚｘ ｚ ８ ・
ｘｙ＇ ’ ｚ
从 中我们 可以看 出正确使用三 元不等式 ，常可使 得问题迎
刃而 鳃 ， 二 、 不 同证 阴 方 法 的 比较 分 析
也 即 证 （ｙ ＋ｙ ｘ ｚ＋就 ） ２ （ｙ ＋ ｙ ＋描 ）≥ （ｙ ） ＋ ｘ ｚ ｘｚ ＋
Ｎ ．’ ２ ｛ Ｏ１ Ｏ １
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｈ ｎ ｓ ｔｅ ａｉｓ Ｅｄ ｃ ｔ ｎ ｏ ｒ ａ ｆＣ ｉｅ ｅ Ｍａｈ ｍ ｔ ｕ ａｉ ｃ ｏ
２ １ ０ ’年
第 １期
． 量 ．． ． ，
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蒌
囊 磐
卫 福 山 （ 海 市松 江二 中） 上
０
［ ］杨先 义．一个不等 式的推广 ［］ 数 学通讯 ，２ ０ （９ ： １ Ｊ． ０２ １）
２ ９．
代击 换
设 ＿ ｉ 一 ＝Ｉ ＿ —Ｌ
， 击
’— ，— 一 ｉ 一 丁 ＝ ＿ ＿ —Ｌ
， 击
’＿ ，÷ ｉ 百
十
・
［ ］梁丽平 ，安振平．一个代数 不等式 的两种初等证 法［ ］ ２ Ｊ． 中学数 学研 究，２ ０ （ ） １４ ． ０ ３ ３ ：４ — ２ ［ ］马 占山 ，薛卫 华．一个不 等式 的 简单初等 证 明［ ］ 数 ３ Ｊ．
ｘ ｚ’ ｙ
由 于 （ ）ｙ＋ｚ （ ） ＋Ｙ ） ＋ｙ ） ＋ （ ） ＋ ＝（ ＋ｚ （ ｚ＋ 一
÷ｙ ｚ÷ ｚ 茏一 ｘ ｚ， ｙ
＝
其变形 ：（ｂ＋ 。 ｃ ）≥ ３ｂ （ ＋ｂ＋ｅ ． ａ ５ ＋ ａ ２ ａｃ ａ ）
恒 等式 ：（ ８＋６ （ ）６＋ｃ （ ）ｃ＋８ ＝（ ＋ｂ＋ｃ （ｂ＋６ ｃ ） ） ｎ ）ａ ｃ＋ ａ 一
学通 讯 ，２ １ （ 半 月） ３ ０ ０ ５下 ：３ ．
证 ： 于Ｊ ＋ ＋ 击 １ 明 由 击 ＪＣ ， ＋ Ｊｂ＋ ＋
一一 ＝—Ｌ ， ｘ ＋ｙ＋ ’
，
十Ｙ
其 中 ，Ｙ ＞０ ， ，则 ０＝
Ｙ 十三
，ｂ＝上
，ｃ＝上
［ ］李歆 ． ４ 也谈 一个不等式 的简单初等证 明［ １ 学通讯 ， Ｊ．数
个变元）加 以证明．文 ［ ］ ２ 及本文 的证法在处理 含有三个 正数 的
我们 可 以找 到很多类 似的不 等式 ，它们有完全 类似 的证 明 系的基础 之上 ，将 原不等式 ① 的证 明转化 为解不等 式 （ 有一 方法 ，现列举部分供读者研究． 含
问题 １ （ ［ ］ ：已知 ，Ｙ 文 ５） ，ｚ是： ￣ Ｒ ＋Ｙ ｉ ｔ ： Ｅ ＋ｚ＝１ ，求
注 ：通过合 适 的变形 将 已知等式转 化为 只含有 ｔ＋ｂ＋ｃ的 ７ ， 不等式 ，通过解不等式得 出结论 ．
例 ２ 已知 。 ，ｃ 正数 ，且 Ｔ ，ｂ 是 Ｔ 丁 １ ，
问题３ 设。 ｂ ｃ ０ 且Ⅱ ｂ ｃ １ 求证：ｆ ０ ： ， ， ＞， ＋ ＋ ：， 、 ＋ ・ ｎ １ ／
（ ｝＋
＋） ． ｃ≥
问题 ３即 ２ ０ ０ ８年南京大学 自主招 生试 题 ，可 以利用 函数的
求 ：＋＋≥ ． 证 。ｂｃ 手
分 析 ：已知条件 “ 丁
凸 凹性及均值不等式等加以证明．
参考文献 ：
１ｒ 丁 丁 Ｃ ” 可 分 十 ｌ １ ， 作 式 上 十 十 ＿ ｃ １
问题 ２是宋庆老师在文 ［ ］ 出的一个猜想 ，实际上在不 等 ６提
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
使 得 使 用 不等 式后 方 向一 致 是 解 决此 题 的 关键 ．
证明：将已知等式变形为（ ＋ ＋ ） ２Ⅱ ＋ ｃ ｃ ） ａｃ ４ 。 ６ ｃ （６ ｂ ＋ ０ ＋ ｂ ＝ ， 一
即（ ＋ｂ ｃ ２ ）２ ）２ ） ４ ａ ＋ｃ ＋４ ，（ 口 ＋ ）一（ 一日 （ 一ｂ （ 一ｃ 一 （ ＋ｂ ） ＝０
显然 问题 ２比不 等式①要 弱 ，当然 读者可 以研究 问题 ２的
其他 证法 ． ’
令 ＝＋ ＋， 合 ⑥ 一２ 手） ＋ ≤ ， 。ｂ ｃ结 ⑤ 得 （ ４ ０ 一 一
变形得 （ ＋６ ） 一３ ≤ ０ （ ） ，注 意 到 ＞０ ， 故 ≤ ３ ，即 ０ ＋６＋ｃ≤ ３ ．
［ （ ｘ， ２ ｝ ｙ② ＋ ｚ
由 于 （ｙ＋ｙ ＋ｚ ）≥ ３￣ （ ＋Ｙ ） ｘｚ ｘ ｚ ｘｚ ｘ ＋２ ：３ｙ ，
结合文献 ［］ ［ ］ １～ ４及本文给出的证 明 ， 不等式① 目 为止 有 前
五种 证明方法 ，下面笔 者将通过 比较分析这 五种证 明方法 ，并
指出各 自的特 点及适用范 围。 ［ ］ 文 １是利 用高等数学微积分 中偏 导数 的相 关理 论求不 等式①左 边的最小值 ，这对 中学数学教 师 及学生还是有一定 困难 的 ；文［ ］ 出了两种初等证法 ，一种 是 ２给
一
而 ＋ ｔ２ ｌ 等 ｔ ｗ－ ｆ ｙ“ 等 ２ ＿ － ）ｉ ＝ ２ ，Ｓ Ｊ ￣
即 ：［￣（ ｌｚ≥ 证 －２１ ７ 一 －） （ ） ２ ８
分解 因式 ，结合 ＋ ｚ＝１ ｙ＋ ，
不等式的另一种初等证明 证 明 ：将 不等式①左边通分 ，并将分母乘 到不 等式 的右边 ， 说明不等式④ ，继而不 等式③ 、② 也成立 ，于是所证 不等式① 成立 ．
单证 明．
［ ］ 宋 庆 ．两 个优 美的 无 理 不 等 式 ［］ ６ Ｊ ．中 学数 学研 究 ，
２ ０ （ ） ８ ０ ８ １ ：４ ．
３ ８
２１ （ 半月） ９ ０ ０ ９下 ：２ ．
于 是即 证 ＿ ＋ 上
Ｙ＋
ｚ＋
＋ ｒ ≥妻 ， ＿
＋Ｙ ｚ
［ ］安振 平．高中问题 １３及解答［ ］ ５ ７ Ｊ ．中等数 学，２ ０ （ ） ０６４ ：
４８ ４９． －
以上不等式 即 １ ６ ９ ３年莫斯科数学 奥林 匹克试题 ，很 多期刊 与数学竞赛 资料上 均有其证 明 ，下 面利用 基本不等 式给 出其简
一
对称 不等式的证明 中经常用到 ，下面再举几个例子． 例１ （ ２ 第 ０届伊朗数 学奥林 匹克竞赛试题 ） 。 ，ｃ ， 证 设 ，６ ∈ 且 ＋ Ｉ ｂ ＝４ ｂ －Ｃ＋ａ ｃ ，求证 ：口 － ＋ｂ＋ｃ≤ ３ ． 分析 ：联 系已知与求证及三元基本不等式 ，把条件 中 ＋ｂ＋ ｃ，ａ ｃ均 转 化 为 含 有 ｎ＋ｂ＋ｃ的 形 式 ，但 ＋ｂ ｂ ＋ｃ ≥
利 用换 元 法 ，特别 地 ，对于 条件 “ ＋Ｙ＋ｚ＝１ ”作代 换 “ ＝
—
＿ ＋— ＿ 一 上，
ｚ＋ ｘ
＋ 兰
＋Ｙ
＝ ± ±墨 ＋ ± ±兰 ＋ ± ± 一 ３
Ｙ＋ｚ ｚ＋ ｘ÷Ｙ
Ｔ
—
口 十 ０ 十 Ｃ
＿Ｌ一 ， ＝— 一Ｃ ， ＝— 一 Ｃ ”对处理一些整式分式 ｛ Ｙ 口十Ｄ十 口十０＋
Ｙ＋ｚ
转 化 问题 中 经 常 用 到 ，另 一 种 是 采 用 调 整 法 ，其 实 质 是 通 过 不
ｚ击 ＋ ＋ ） ） 一 （ ｓ
＝
妨假 定 的序 ，将多元 代数式 的最值 问题转化 为单元 代数式 的最 值 问题 ；文 ［ ］ ３ 是多次使用三元基本不 等式 ，但其前提是 对不等 式① 左边 的变形处理 ；文［ ］ ４ 仍然是使 用三元基本不等式 ，只不
、
；Ｖ ￣∈， ｊ 然调增 一 ３ （ ２ － ０ 上 单递 ， 显 从 等 ≤孚 ） ・３一 ＿ 而 ｆ 。 丁－２ ｏ ＋ Ｖ ， 等
注 ：以上 证明 中主要 用到如下 的三元不 等式及三元 代数恒
，
等式 ：
（ 。 ） 即 １ ）÷）÷ 争 ≥争 ３ａ 不等式 ：设 ８ ，￡∈ ，则 ３ ＋ｂ ＋ｃ）≥ （ ＋ｂ＋ｅ ≥ 证（ （ 。 ）＋ （） （ｂ＋舂￡＋ｃ ） ，ｂ ÷ １ （ ÷ （ ） ・ ａ．
蠹蕞
菱 囊
摘要 ：从一 个不等 式的简单初等证 明 出发 ，并对 几种 不 同 的初 等证 明方 法加 以 比较 分析 ，通过 若干 实例 厦一 些类似不等 式 ，指 出这些相似 不等 式的证 明方 法上的相似 性 ，便 于高 中学
３＋ ・ ｘ２ ｙ ｚ
令＝
≥ｘ）ｌ （）ｙ （ ２ ｝。 ｚ ｙ ＋ ＋ 】， ｚ ｘ
由 已知 易 得 ｏ ，Ｃ （ ，２ ， ，６ ０ ）
式① 的基 础上结合 三元基本不等式 以上结论显然成立 ，即
＿ ｂ＋
于 ２ 。 ２ ６（一 ） 鱼 （ 是（一 ） — ） ｃ ≤ｆ ＿ （ ２
３⑥
≥ （ ｎ｝ （ ｃ ｓ 一） 一） ） （ 一
≥ （ ＝ ， ３ ２