自然数数列前n项和公式证明

自然数平方与立方数列前n 项和公式证明

huangjianwxyx

以下公式，尤其是二、三公式的推导体现了递推消项数学思想。

一、证明：Sn=∑=n

k k 1=1＋2＋3＋…＋n ＝(1+n)n/2 证：(略)

二、证明：Sn=∑=n k k 12=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6

证：Θ(n ＋1)³－n³=(n³＋3n²＋3n ＋1)－n³=3n²＋3n ＋1，则：

2³－1³=3×1²＋3×1＋1（n 从1开始）

3³－2³=3×2²＋3×2＋1

4³－3³=3×3²＋3×3＋1

5³－4³=3×4²＋3×4＋1

6³－5³=3×5²＋3×5＋1

…

(n ＋1)³－n³=3×n²＋3×n ＋1（至n 结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n ＋1)³－1³=3×[1²＋2²＋3²＋…＋n²]＋3×[1＋2＋3＋…＋n]＋n

∴ (n ＋1)³－1=3Sn ＋3×[n(n ＋1)/2]＋n

∴Sn=1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ [n(n ＋1)(2n ＋1)]/6

三、证明：Sn=∑=n

k k 13=13+23+.....+n 3=n 2(n+1)2/4=[n(n+1)/2] 2

证：Θ (n+1) 4-n 4=[(n+1)2+n 2][(n+1)2-n 2]=(2n 2+2n+1)(2n+1)=4n 3+6n 2+4n+1则：

24-14=4*13+6*12+4*1+1 （n 从1开始）

34-24=4*23+6*22+4*2+1

44-34=4*33+6*32+4*3+1

...

(n+1) 4-n 4=4*n 3+6*n 2+4*n+1（至n 结束）

上面左右所有的式子分别相加，得：

(n+1) 4-1=4*(13+23+.....+n 3)+6*(1²＋2²＋3²＋…＋n²)+4*(1+2+3+...+n)+n ∴4*(13+23+.....+n 3)= (n+1) 4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n =[n(n+1)]2

∴Sn=13+23+.....+n 3=[n(n+1)/2] 2