离散数学-第六章函数

h· g 16
例3 设有函数f, g, h,均是由实数集R到R的函数,
且f (x)=x+3 ,g (x)=2x+1, h (x) ＝x/2 求复合函数 h •(g•f) , (h•g)•f 。
解: 所求的复合函数都是由R到R的函数
g f ( x) = g ( f ( x)) = g ( x 3) = 2( x 3) 1 = 2 x 7
5
３.函数的相等
定义6.1.2 设f和g都是由集合A到B的函数,如果对 于所有的a↔A ,均有f(a)=g(a),则称函数f和g相等,记作 f=g 。 所以，若在A中有一个元素a，使得f(a)≠g(a),则f≠g 。 设 A 和 B 都 是 有 限 集 ， ＃ A ＝ n ， ＃ B ＝ m ， 设 A={a1, a2, …, an}, B={b1, b2, …, bm}。
唯一地表示一个由A到A的函数，并将其简记为fn .
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例4
解
设A＝{1, 2, 3 ,4}, 定义函数 f：A→A ,为
fn f＝{(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)} ，试求
对任意正整数n,
f n 都是由A到A的函数，
f (1)=2, f (2)=3, f (3)=4, f（4）=1 f 2 (1)=( f· f)(1)=f (f (1))=f (2)=3 f 2 (2)=4, f 2 (3)=1, f 2 (4)=2
#(BA)=(#B)#A
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二、几种特殊的函数
定义6.3.3 设f是一由A到B的函数,
（1）若当ai≠aj 时，有f (ai)≠f (aj), 或 者说当f (ai)＝f (aj) 时, 有ai = aj则称f是由A 到 B的入射（内射、单射）。 （2）若对任意b↔B，必存在a↔A， 使f(a)=b，则称f是A到B的满射。 （3）若f既是内射，又是满射，则称 f是由A到B的双射。 8
例4
（a）是入射，但不是满射；
（b）是满射, 但不是入射； （c）既不是入射，也不是满射； (d）既是入射，又是满射，因此是双射。
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例5、判断下列几个函数属于哪种类型函数？ 1、设A是一个集合，则A上的恒等关系IA
" a(a)=a 称为A上的恒等函数 2、设A、B是两个集合，若存在b使得对任意 a皆有f(a)=b ,则称f是常函数
Df =Dｇ=Ａ ｆ(A)=Rｆ={2, 4, 6} g (A)=Rg={2, 3, 5, 6}
4
对于A的子集S,用f (S)表示S中元素的像组成的集
合（称为S在f作用下的像集合）， 即ｆ(S)={b|b↔B且存在a↔S使f (a)=b}
f({1,2})={2,6}
f({1,2,3})={2,6} f({1,2,3,4})={2,4,6}
一、复合函数 定义6.2.1 设有函数g：A →B和f：B→C，
那么从A到C的复合关系是一个由A到C的函数，记为 f•g。定义为：对于任一a↔A，(f•g)(a)=f(g(a))。 即如果集合B中的元素b是a在g作用下的像，且集合 C中的元素c是b在f作用下的像，那么ｃ就是a在函 数f•g作用下的像。 13
N ）
(3) f3＝{(3, 6),(2, 9),(1, 9),(4, 9),(5, 9)}
（ Y ）
N ）
(4) f4＝{(2, 9),(3, 8),(1, 7),(2, 6),(4, 7),(5, 10)} （
11
２.对下列每一函数，确定是否内射，是否 满射，是否双射。分别将“内”、“满”或 “双”填入相应的括号内。 i 2 i是偶数 (1) f : I I ( 满 ） f1 = 1 i 1 i是奇数 2
例1
设集合A={a1,a2,a3,a4}, B={b1,b2,b3,b4,b5},
C＝{c1,c2,c3,c4} 函数f:A→B和g:B→C，分别定义为
f={(a1, b2), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}, g={(b1,c1), (b2,c2), (b3,c1), (b4,c3), (b5,c3)},
第六章
函
数
本章讨论的函数，是一种特殊的关系。它对关系的概念作了 两条限制，即要求由A到B的关系满足对于A中每一元素a，在B中 必须有一个元素且只能有一个元素与之对应。 由于函数也是关系，因此关系的所有性质和运算对于函数均 是成立的。但反过来，由于函数是一种特殊的关系，因此它又有 其自身特殊的一些性质。例如，逆函数、复合函数既是逆关系和 复合关系，但又有其不同于一般关系之处，读者对这些必须有清 晰的认识。
3、设R是集合A上的等价关系，则函数gR :
A→A/R， " a， gR（a)=[a]R,称为A关于R的规 范映射 10
练习
源自文库
6－1
B={6, 7, 8, 9,
１.设A＝{1, 2, 3, 4, 5} ,
10}, 判断下列由A到B的关系哪些是函数,哪些不是函
数。在相应的括号中键入“Y”或“N”。 (1) f1＝{(1, 10),(2, 9),(3, 8),(4, 7),(5, 6)} （ Y ） (2) f2＝{(3, 6),(1, 8),(2, 6),(4, 7)} （
… …
故f 4n=I A，f 4n＋1=f , f 4n＋2=f 2 , f 4n＋3=f 3
,
即对任意正整数n，f4n＋i=fi （i＝1, 2, 3, 4）
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三、
复合函数的性质
设有函数f：A→B g：B→C
定理6.2.3
(1）如果f和g都是入射，则g•f也是入射; （2）如果f和g都是满射，则g•f也是满射;
定义6.1.1 设有集合A、B， f是一由A到B的关系，如果 对于每一个a↔A，均存在唯 一的b↔B， 使得a f b（或 (a，b)↔f），则称关系f是由 A到B的一个函数。记作f： A→B。特殊地，当A=B时， 称F是A上的函数。
2
例2 对例1中关系的序偶进行调整或修改，使
f＝{(1,2),(2,6),(3,6),(4,4)} 或g={(1,3),(2,2),(3,6),(4,5)}
因此g•f ={(a1,c2),(a2,c2),(a3,c1),(a4, c3)} 注意：复合函数g•f就是复合关系f•g 。要注意的是为 了方便，当将其看作复合函数时，在其表示记号中颠倒f 和g的位置而写成g•f。 14
二、函数复合运算的性质
定理6.2.1
设f是一个由集合A到B的函数，
IA和IB分别是A和B上的恒等函数，则有f•IA=IB•f＝f。
由上可知 h•(g•f)=(h•g)•f
1 7 = h g ( x 3) = x 3 = x 2 2
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设有函数f1：A1→A2 , f2：A2→A3 ,…，fn： An→A
n＋1
,则不加括号的表达式fn•fn-1• … •f1
唯一地表示一个由A1到An+1的函数。
若有函数f:A→A,则对任意正整数n， f f f
2x 7 7 h ( g f )( x) = h ( g f ( x)) = h (2 x 7 ) = = x 2 2
2x 1 1 又 (h g )( x) = h( g ( x)) = h(2 x 1) = = x 2 2
(h g ) f ( x) = (h g )( f ( x))
则f和g都是由A到B的函数。 若f是一由A到B的函数，且(a,b)↔f，则常记 作f(a)=b。
3
２. 函数的定义域和值域
函数的定义域 Df=A,而不会是A的真子集。 函 数的值域满足Rf B.但对于函数f,常将 Rf记作ｆ(A) 即ｆ(A)=Rf ={b|b↔B且存在a↔A使f (a)=b}
例如 例2中f (2)=6, f (4)=4, g (1)=3, g (3)= 6
f2={(a,1),(b,2),(c,1)}
f3={(a,1),(b,1),(c,2)} f4={(a,1),(b,2),(c,2)} 所以# (BA)=8 。
f6={(a,2),(b,2),(c,1)}
f7={(a,2),(b,1),(c,2)} f8={(a,2),(b,2),(c,2)}
因此,
f 3 (1)= (f•f 2)(1)=f (f 2(1))=f (3)=4 类似地f 3 (2)=1, f 3 (3)=2, f 3 (4)=3 f 4 (1)= (f•f 3)(1)=f (f 3 (1))=f (4)=1 类似地f 4 (2)=2, f 4 (3)=3, f 4 (4)=4 因此f 4=IA，f 5= IA•f=f , f 6= f 2, f 7=f 3 , 类似的f 8= IA，f 9= IA•f=f , f 10= f 2, f 11=f 3
例2 设A＝{a,b,c,d}, B={1,2,3} , 函数f:A→B
定义为f={(a,1),(b,3),(c,2),(d,2)}
IA
IB
f·A I 则f•IA＝IB•f＝f。
IB · f
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定理6.2.2
设有函数 f：A→B，g：
B→C和 h：C→D，则有 h•(g•f)＝(h•g)•f
g· f
g•f是内射， g•f不是满射 。
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定理6.2.4
设有函数f：A→B 和g：B→C
(1) 如果g•f是入射，则f是入射； (2) 如果g•f是满射，则g是满射；
(3) 如果g•f是双射，则f是内射而g是满射。
证明
（1）反证法
假设f不是内射, 则存在元素ai , aj ↔A, ai ≠ aj , 但f(ai)=f(aj) , 令f(ai)=f(aj) =b,且令g(b)=c, 则g•f(ai)=g(f(ai))=g(b)=c g•f(aj)=g(f(aj)=g(b)=c g•f(ai)=g•f(aj) 这与g•f 是内射相矛盾。
A中n个元素的取值方式是 m n 种, 因此由A到B的函 数有m n个, 记ＢA={f|f: A→B}, 则#(BA)=(#B)#A
6
例3 设A={a, b, c}, B={1, 2}, 构造出
所有由A到B的函数,并验证#(BA)=(#B)#A
解: 由A到B的函数如下: f1={(a,1),(b,1),(c,1)} f5={(a,2),(b,1),(c,1)}
(2)
f2 : R R
f3 : N N
2
f 2 (r ) = 2r 15
（ 双 ）
n2
(3)
f 3 (n1 , n2 ) = n1
f 4 (n) = 2n
（ 满 ） （ 内 ）
(4)
f4 : N N
12
6.2 复合函数和逆函数
由A到B的函数实际上也是一个由A到B的关系,因 此对函数可以进行关系的复合运算,而且我们发现所 得的复合关系也仍然是一个函数,因此,我们引进复合 函数的概念。
解 （1）f是内射， 因为当x1 ≠ x2 时，x13 ＿ 2 ≠x23 ＿ 2
f不是满射，例如8↔I,但8没有像源。 （2）g是内射， 因为当x1≠x2 时，x1＋1 ≠x2＋1
g是满射，因为对任意y↔I，有f (y－1) = y。
(3）g•f(x)=g(f(x)=g(x3－2)=x3－2＋1=x3－1
（3）如果f和g都是双射，由g•f也是双射。 证明：(1)
ai aj
f ( ai ) f (a j )
g ( f (ai )) g ( f (a j ))
g· f
此即 g•f(ai) ≠ g•f(aj) ，故g•f是内射
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(2) 对于集合C中任一元素c，必存 在b↔B ，使得g(b)=c。
a
b
c
对于b,又必存在a↔A ,使得f(a)=b , 于是有g•f(a)=g(f(a))=g(b)=c , 由c的任意性得g•f是满射。
(3)
由(1)和(2)知g•f必是双射。
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例5 设有函数f：I→I和g：I→I （I是整数集）
f(x)=x3
＿
2 ,
g(x)=x＋1
试判断f, g, g•f是否内射,满射或双射。
对函数的概念再作些限制，我们又可得到入射、满射、双射 三类特殊的函数。 主要内容如下: 6.1 函数 6.2 复合函数与逆函数
6.3
集合的基数
6.4
基数的比较
1
6.1
一、 函数的概念
1.函数
函
数
例１.设A＝{1, 2, 3, 4},B={2, 3, 4, 5, 6},A到B的 关 系 ={(2, 2),(2, 4),(2, 6),(3, 3),(3, 6),(4, 4)}