材料力学之四大基本变形

1、剪切强度的工程计算 工程上往往采用实用计算的方法
F A
上式称为剪切强度条件
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
许用剪应力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
2、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力
bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布 也非常复杂，工程上往往采取实用计算的 办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压 面上
9 kN
（2）列剪力方程和弯矩方程
M0 RB l M0 RA l
M0 AC段 : Q1 R A l M0 M 1 RA x x l
(0 x a )
CB段 : Q2 R A M0 l M0 x M0 l
集中力偶不使剪力图变化
M 2 RA x M 0
max
T Wp
扭转圆轴的横截面 上切应力分布规律
相对扭转角
单位长度 相对扭转角
T dj dx GI p

j
l

T ( rad m) GI p
Tl j GI p
j 180 T 180 ( m) l GI p
返回
例3-1: 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功率NB= 10KW，A、 C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ， NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
M D yb (5.56 103 N m)(0.045m) 7 b 2.83 10 Pa 28.3MPa 6 4 Iz 8.84 10 m
M B yc (3.13 103 N m)(0.095m) 7 c 3.36 10 Pa 33.6MPa 6 4 Iz 8.84 10 m
(a x l )
（3）画剪力图和弯矩图
M
max

Mb l
0
集中力偶使弯矩图突变
例：图a所示外伸梁，用铸铁制成，横截面为T字形，并承受均布载荷q作用。试校核 梁的强度。已知载荷集度q＝25N /mm，截面形心离底边与顶边的距离分别为y1＝ 45mm和y2＝95mm，惯性矩Iz＝8.84×10-6m4，许用拉应力[σt]=35MPa，许用压应力 [σc]＝140 MPa。
B
先计算外力偶矩
A
C
x
m A 9550
NA 4 9550 76.4 Nm n 500
mA
N 10 mB 9550 B 9550 191 Nm n 500
NC 6 mC 9550 9550 114 .6 Nm n 500
计算扭矩： AB段 BC段 T1设为正的 T2设为正的 T1
1000 84 . 88 MPa 3 40 4 (1 0.5 ) 16
max
T Wp
min max
10 20
42.44 MPa
例3-3：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭 转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，
G=80GPa。求该轴长度。
Tl 解： j GIp
0.272 mm ( 缩短）
例1-3：图示空心圆截面杆，外径D＝20mm，
内径d＝15mm，承受轴向载荷F＝20kN作用， 材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数ns＝ 1.5。试校核杆的强度。
解：杆件横截面上的正应力为
3 4F N 4(20 10 N) 2 2 A ( D d ) [(0.020m)2 (0.015m)2 ]
解： 1．危险截面与危险点判断 梁的弯矩如图b所示，在横截面D 与B上，分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩， 因此，该二截面均为危险截面。 截面D与B的弯曲正应力分布分别如图c与d所示。截面D的a 点与截面B的d点处均受压；而截面D的b点与截面B的c点处则均受拉。
由于 M D M B ， ya yd ,因此，
四大基本变形复习
1.轴向拉伸与压缩 2.剪切 3.扭转 4.弯曲
1.轴向拉压
受力特征：受一对或缩短，横截面沿轴线平行移动
P
P
P
P
杆内纵向纤维的伸长量是相同的，或者说横 截面上每一点的伸长量是相同的。
轴向拉压小结
1.轴力：拉正压负。轴力图
x
M
T2
X
0
mc
T1 mA 0
0
M
X
T1 mA 76.4Nm
T2 114.6Nm
例3-2：内外径分别为20mm和40mm的空心圆
截面轴，受扭矩T=1kN· m作用，计算横截面上
A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。
CL5TU11
解：
A
TA 1000 15 63 . 66 MPa 4 Ip 40 4 (1 0.5 ) 32
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
横截面上 某点正应力
My Iz
max
M WZ
该截面惯性矩
某截面上最大 弯曲正应力发生在截 面的上下边界上：
IZ WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴. WZ ymax
一、变形几何关系
y ( y)d d d
d
FN N 2.横截面上的应力： 或 = A A FN l Nl 3.变形公式：l 或l EA EA
4.强度条件：
max [ ]
5.材料的力学性能： ~ 曲线 两个强度指标，两个塑性指标
例1-1 图示为一悬臂吊车， BC为 实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积
CL2TU10
解: N1 N2 N3 2 A2 30 252 18.75KN
N 1l1 N 2 l2 N 3l3 l E A1 E A2 E A3
18750 0.2 0.4 0.2 9 2 2 2 210 10 0.02 0.025 0.012 4 4
挤压力
P bs bs Abs
许用挤压应力 挤压面面积
例 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆 的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。 构件受力和变形分析： 假设下板具有足够 的强度不予考虑 上杆（蓝杆）受拉 d b P

y
dx
z
y
y
CL8TU3-2
bh IZ 12
3
bh , WZ 6
4
2
IZ
IZ
d
64
4
, WZ
4
d
4
3
32
(1 )
4
(D d )
64

D
64
4
WZ
D
32
3
(1 )
（1）求支座反力
M A 0 , M 0 RB l 0 M B 0 , R A l M 0 0
3.扭转
Mn A'
g
Mn
A
B j
x
B'
受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的 力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。 变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动. 扭转角: 任意两截面间的相对角位移。 返回 轴：以扭转变形为主的杆件。
小结
扭转圆轴的 切应力计算 公式：

T Ip
最大切应力公式
9 kN
C
z
4 kN 52 B A z C D C 88 1m 1m 1m 2.5 kN 10.5 kN M ( kN m) 2.5 88 t C截面： 288 . MPa 2.5 Iz 2.5 52 c 17.0 MPa I z 4 4 52 27.3 MPa B截面： t Iz 4 88 c 461 . MPa Iz
返回
截面法求剪力和弯矩
y
RAx A a P2 P1
截面法：
切、留、代、平
B
m
x
RB
RAy RAx a
x
P1 Q
m
M 对截面中心建立力矩平衡方程
RAy
M 0
RAy P 1 Q 0
M P 1 x a RAy x 0
Y 0
Q RAy P 1
M RAy x P 1 x a
由此得
c,max a 59.8MPa [ c ]
t ,max c 33.6MPa [ t ]
满足强度要求。
例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，
试校核此梁的强度。
A
4 kN 52 B C D 88 1m 1m 1m
1 3 F1 17.32 KN F1 2Q 20KN F2 2
由作用力和反作用力可知：
C
30
A
BC杆的受力为拉力，大小等于 F1
AB杆的受力为压力，大 小等于 F2 最后可以计算的应力：
N1 F1 20KN 200MPa BC杆： 1 2 A1 A1 100m m
拉杆危险截面 t P
最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。 N P 80 1000 拉杆强度计算： 125MPa A b d t 80 16 10 铆钉受剪切 工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4 铆钉强度计算:
4Q 4 P / 4 80 1000 2 99.5 MPa 2 2 d d 16
(1)
max
T (2) Wp
9
6 80 10 0 . 05 I jG p (1) 180 得： l 6 max Wp ( 2) 90 10 2
2.33 m

4.弯曲
我们只研究矩形截面梁的弯曲
矩形截面梁有一个纵向对称面 当外力都作用在纵向对称面内，弯曲也发生在该对称面 内，我们称之为平面弯曲。 因此，我们可以用梁轴线的变形代表梁的弯曲。
1.45 108 Pa 145MPa
材料的许用压力为
6 235 10 Pa 8 s 1.56 10 Pa 156 MPa [ ] 1.5 ns
工作应力小于许用应力，说明杆件能够 安全工作。
2.剪切
剪切变形的特点
外力与连接件轴线垂直
连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
B
y
F1 F2
Q
x
N 2 F2 17.32KN AB杆： 2 A A 200m m2 86.6 MPa 2 2
例1-2：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆
杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径
d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ 2=30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l
C
30
A
A2 =
200mm2，假设起吊物重为
B
Q = 10KN，求各杆的应力。 首先计算各杆的内力： 需要分析B点的受力 F cos 30 F2 0 X 0 1
y
F1 F2
Q
x
Y 0
F1 cos60 Q 0
F1 2Q 20KN
1 F2 3 F1 17.32 KN 2
a d
即梁内的最大弯曲压应力σc,max发生在截面D的a点处。至于最大弯曲拉应力 σt,max究竟发生在b点处，还是c点处，则须经计算后才能确定。概言之，a,b,c三 点处为可能最先发生破坏的部位，简称为危险点。
2.强度校核
M D ya (5.56 103 N m)(0.095m) 7 a 5.98 10 Pa 59.8MPa 6 4 Iz 8.84 10 m