三角函数求值域整理

专题要点

1.三个初等函数的值域

2.求三角函数的值域或最值应结合函数的图像、周期、单调性． 3．求三角函数的值域或最值一般情况下先化简整理，其整理目标为 ①sin(+)+B y A x ωφ=型；②(sin )y f x =型

4. 辅助角公式sin cos )a x b x x φ++，tan b

a

φ=（其中）

sin cos a x b x x R +≤∈.

5.利用导数求三角函数的值域和最值．

6. sin cos a x b

y c x d

+=

+型.

(1)转化为sin cos A x B x C +=型． (2)利用直线的斜率求解．

7.求三角函数值域或最值时应注意运用换元法，将复杂函数转化为简单函数.

题型一：形如sin (cos +)y a x b a x b =+或型

1. 已知sin ,y a x b x R =+∈，若函数的最大值为3，最小值为1-，求,a b 的值。 解：因为

],sin 1,1x R x ⎡∈∴∈-⎣

①0a >若，由题意可得31a b a b +=⎧⎨

-+=-⎩，解得2

1

a b =⎧⎨=⎩

②0a <若，由题意可得31a b a b -+=⎧⎨+=-⎩

，解得2

1a b =-⎧⎨=⎩

总结：利用三角函数的值域确定参数的值，注意对字母的讨论

题型二：形如2sin sin y a x b x c =++型，配方后求二次函数的最值，应注意sin 1x ≤的约束

2.5()2cos 2sin 2,,66f x x x x ππ⎡⎤

=++∈⎢⎥⎣

⎦，求()f x 的最值 解：1

()cos 22sin 22

f x x x =

++ 25sin 2sin 2x x =-++

，令sin t x =，所以1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎦

⎣ 所以2512,,122y t t t ⎡⎤

=-++

∈⎢⎥⎦

⎣，结合二次函数单调性，知最大值为，最小值为 总结：由于题目中的不是同名三角函数，也不是同角三角函数，所以目标是转化为同名同角

的三角函数，2sin cos212sin x x x =-进行转化，因为选择后者变形会出现二次函数形式，故只需换元就可以进行解决。另外应注意sin 1x ≤的约束

题型三：形如(sin cos )sin cos y a x x b x x c =+++型 3.求函数()(sin 2)(cos 2)f x x =--的最大值，最小值 解：由已知()sin cos 2(sin cos )4f x x x x =-++

令sin cos )4

t x x x π

⎡=+=

+∈⎣

则22113

24(2),222

t y t t t -⎡=-+=-+∈⎣

所以y ⎡⎣在为减函数

当t =max 9

2

y =+

当t =

min 9

2

y =

-

总结：展开出现sin cos ,sin cos x x x x +，常用换元法令sin cos t x x ⎡=+∈⎣

题型四：形如sin cos ()sin cos a x b a x b

y c x d a x d

++=

++或型

4.求函数cos 2cos 1x

y x =

+ 的值域

解法一：cos 2cos 1

x

y x =+，令cos t x =

[11,1,,12122111121,,1221,221-1+3t y t t y t t ⎡

⎫⎛⎤=

∈--⎪ ⎢⎥+⎣

⎭⎝⎦⎡

⎫⎛⎤∴=-∈--⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦

⎤

∞⋃∞⎥⎦

易得函数的值域为（，，）

解法二：由cos 2cos 1x y x =

+可得(12)cos y x y -=11

()22

y y ≠=显然等式不成立

[2

22

2cos ,cos 1,cos 1

121134101(12)31-1+3y x x x y

y y y y y y ∴

=

≤∴≤-∴≤⇒-+

≥⇒≤≥-

⎤

∞⋃∞⎥

⎦

或故函数的值域为（，，）

总结：采用分离常数法（注意三角函数的有界性）或反解出sin x ，化归为sin 1x ≤解决是这类型的常用方法。 问题引申：5.求函数3cos 2sin x

y x

-=+ 的值域

解法一：

222sin cos 32,sin()sin()11,(32)1

2233

22.

y x x y x x y y y ϕϕ+=-+=

+≤≤∴-≤+∴≤⇒-

≤≤+⎡-+⎢⎣

⎦即又3y -12y+80故函数的值域为

解法二：

()(

)21

21

22max min 3cos 2(sin )A 2,3P(sin ,cos 1A 2,3(2)3

,.22.

AC AB y y x

y k x x x x x x y y k x y k y k --=

=----+==-+==⎡⎢⎣

⎦由，利用可得函数表示定点与动点

因为点P 在单位圆上设过定点直线由直线与圆的位置关系可得故原函数的值域为题型五：转化为sin(+)+B y A x ωφ=型

1、（2013年高考陕西卷（理））

已知向量1

(cos ,),,cos2),2

x x x x =-=∈a b R , 设函数()·

f x =a b . (Ⅰ) 求()f x 的最小正周期.

(Ⅱ) 求()f x 在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值.

解:(Ⅰ) ()·

f x =a b =)6

2sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π

-=-=-⋅x x x x x x . 最小正周期ππ

==

2

2T . 所以),6

2sin()(π

-=x x f 最小正周期为π.

(Ⅱ)

上的图像知，在，由标准函数时，当]6

5,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[π

πππππx y x x =∈-∈.

]1,2

1

[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-

=πππ

f f x x f . 所以, ()f x 在0,2π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值分别为21,1-.

思路方法：（1）根据平面向量的数量积的坐标运算先求出函数的关系式，并利用三角恒等变

形公式进行化简，再结合周期的求解公式，求解周期；（2）结合函数的图象求解三角函数在指定定义域上的最值

2．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题）

已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛

⎫=++- ⎪+⎝

⎭∈R .

(Ⅰ) 求()f x 的最小正周期;