关键零部件的有限元分析

关键零部件的有限元分析

一、齿轮弯曲强度理论

目前的齿轮弯曲强度计算公式是以路易斯所提出的计算公式为基础，采用各种系数修正材料强度和齿轮的载荷，并考虑齿轮精度的影响，以接近临界载荷的计算法作为主要的方法。路易斯的计算法是把轮齿当作与其内切的抛物线梁来考虑的，以这个抛物线梁的弯曲应力作为齿根应力。如图1所示，垂直于齿面的载荷作用线和齿形中心线的交点A是抛物线的顶点，连接齿形的内切抛物线和齿根过渡曲线的切点的断面BC即是危险断面。当弯曲载荷作用在抛物线梁的顶端时，该梁断面上无论哪个位置的最大应力都是相等的，因此，可以把抛物线在齿形的内切位置作为危险断面，而在这个危险断面的位置上考虑弯曲应力。

图1路易斯法

二、内齿圈的有限元法

（一）有限元的基本概念

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。用有限元法不仅能提高计算精度，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。

有限元求解问题的基本步骤通常为：

第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。

第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。

第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。

第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。

为保证问题求解的收敛性，单元形状应以规则为好，内角避免出现钝角，避免出现畸形，因为畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。

第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。

第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、选代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许值比较来评价并确定是否需要重复计算。

简言之，有限元分析可分成三个阶段，前处理、处理和后处理。前处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。

（二）齿轮建模及数据转换

根据给出的齿轮参数，在solidworks软件中通过齿轮端面的曲线方程逐步建立起齿轮的模型图。截取其中的三个轮齿；数据存储转换为*x_t格式。用ANYSY有限元分析软件读取*x_t格式的数据，通过数据转换，把模型输入到ANSYS中，对有数据丢失的模型进行修复，在ANSYS中形成完整的模型，如图2所示。修复读入的啮合模型步骤如下:先修整模型，保留单根轮廓线，然后由线生成各部分面，面构成体，结果为三个齿条和一个齿顶座，使之能在ANSYS中进行有限元分析。

图2内齿圈建模

（三）无级变速器内齿圈的静力学有限元分析

对直齿圆柱内齿轮定材料参数，加载，网格划分，应力分析。然后给出计算结果云图，对结果的合理性进行分析。

1、齿轮模型的前置处理

（1）材料属性：Structural >Linear〉Elastic >Isotropic;

EX=2e11Pa，PRXY=0.3，ρ=7800kg/m³

（2）单元类型：Structural solid > Brick 8node 185(solid185)

（3）划分网格

采用扫掠网格划分的方法，控制单元格的大小为0.0015，划分网格后的齿轮模型图如图3所示

图3网格划分

2、加载

齿轮边界的约束条件是限制齿轮外圆周的周向和径向位移，以及两个侧面上的法向位移；施加边界约束条件是有限元分析过程中的重要一环。边界条件是根据物理模型的实际工况在

有限元分析模型边界节点上施加的必要约束。边界约束条件的准确度直接影响有限元分析的结果。在有限元分析中确定边界条件一般应做到以下几条：要施加足够的约束，保证模型不产生刚体位移；施加的边界条件必须符合物理模型的实际工况；力求简单直观，便于计算分析。轮齿在受载时，齿根所受的弯矩最大。根据分析，齿根所受的最大弯矩发生在轮齿啮合点，位于单对啮合区最高点。因此，齿根弯曲强度也应该按载荷作用于单对啮合区最高点来计算。由于这种算法比较复杂，通常只用于高精度的齿轮传动。为了便于计算和施加载荷，通常将全部载荷作用于齿顶，作用方向为齿顶圆压力角。为了加载方便，将沿啮合线作用在齿面上的发现载荷n F 在节点处分解为两个相互垂直的分力，即圆周力t F 与径向力r F 。载荷的大小可以根据设计承载的扭矩公式求得。

2tan t r t T

F d

F F α⨯=

=⨯ 式中，t F 为圆周力；r F 为径向力；T =37N ·m 为扭矩（输出最大扭矩）；d 为载荷作用点处齿轮直径。

施加载荷：对齿轮其中一个轮齿的齿顶圆上的节点施加圆周力t F 与径向力r F 。每个节点上施加的力按下式计算。其中圆周力t F 为281N ，径向力r F 为101N ，单个齿轮的齿顶圆节点数为16个，故求得x F =17.6N ，y F =6.3N 。

r

x t

y F F n F F n =

= 3、求解

Menu > Solution > solve > Current Ls ，当显示Solution is done 时，计算结束。

4、后处理

有限元模型的求解不是目的，求解得出的数学模型的计算结果才是所关心的。ANSYS 提供了2个后处理器：通用后处理器和时间历程后处理器。本文对齿轮进行的是静态分析，采用通用后处理器对求解结果进行后处理。

利用ANSYS 求解器对齿轮进行求解：采用通用后处理器对齿轮分析结果进行显示，计算结果如图4和图5。