新阈值函数

设有一观测信号： )

()()(t n t s t x +=

（3-1）

其中x(t)为含噪信号，s(t)为原始信号，n(t)为加入的噪声。

对x(t)作离散小波变换，可得： N

j k j k j k j n s x ,,2,1,0),,(),(),( =+=ωωω

（3-2）

其中ωx (j,k)，ωs (j,k)，ωn (j,k)分别是含噪信号、原始信号和噪声信号在第j 层上的小波系数，分别记作ωj,k ，μj,k ，v j,k ；j 为小波变换的最大分解层数；N 为信号的长度。如果可以准确估计出原始信号的小波系数μj,k ，则可以通过小波重构就可以获得准确的原始信号，因此小波去噪问题就化为了原始信号的小波分解系数μj,k 的估计问题。

小波阀值去噪方法的基本思想是：当ωj,k 小于某一阀值时，ωj,k 主要由噪声引起，可认为ωj,k ≈v j,k ，并将其舍去；当ωj,k 大于某一阀值时，小波系数主要有信号引起，可认为ωj,k ≈μj,k 。

小波阀值去噪方法的关键步骤是阀值处理，这部分发至的估计和阀值函数的选取。D.L Donoho 提出的软、硬阈值函数分别如式(3-3),(3-4)。 ⎪⎩

⎪⎨

⎧<≥-=λωλ

ωλωωμk j k j k j k j k

j ,,,,,,0),)(sgn( （3-3）

⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λ

ωλωωμk j k j k j k

j ,,,,,0,

（3-4）

其中sgn()为符号函数，阀值λ为N log 2σ，σ为噪声的标准差，可通过最

小尺度上的小波系数来估计，其估计值6745

.0)

(*2,1k median ωσ=

，其中median(|ω1,k |)

表示取第一层小波变换系数ω1,k 幅值的中间值，N 为信号长度。

软、硬阈值方法虽然在实际中的得到了广泛的应用，也去得了较好的效果，但他们本身存在着较多的缺点：

（1）软阈值法 该阈值方法函数在小波域内对于大于阈值的小波系数采取恒定值压缩，这与噪声分量随着小波系数增大而逐渐减小的趋势不相符。

（2）硬阈值法 该阈值函数在整个小波域内只对小于阈值的小波系数进

行处理，对大于阈值的小波系数不加处理，与实际情况下大于阈值的小波系数也存在噪声信号的干扰不相符，势必影响信号重构的精度。

针对软、硬阈值法的缺陷，提出了一种新的改进阈值函数： ⎪⎩

⎪⎨

⎧<≥-=λωλ

ωαλωωμk j k j k j k j k

j ,,,,,,0),)(sgn(

（3-5）

它是介于软、硬阈值发之间的一个灵活选择。其中ɑ∈[0，1] 为一调整参数，

特别地，如果ɑ=0，则上式为硬阈值方法，ɑ=1时为软阈值方法。但其中的待定参数ɑ需要根据信号的实际情况通过反复试验来确定合适的值。这给其实际应用增加了困难，针对这个情况，本文从信号熵的关系出发，给出了小波熵最大条件下的最优软阈值去噪方法。

以上是前提

接下来是算法步骤：

寻找最佳待定参数的算法如下：

（1）计算被噪声污染的信号的小波变换；选择合适的小波和小波分解层数，得到相应的小波分解系数ωj,k ；

（2）对分解得到的小波系数ωj,k 运行新阈值函数式

⎪⎩

⎪⎨⎧<≥-=λωλωαλωωμk j k j k j k j k

j ,,,,,,0),)(sgn(进行阈值处理，分别通过式

⎪⎩⎪⎨⎧<≥-=λωλωαλωωμk j k j k j k j k

j ,,,,,,0),)(sgn(和式⎪⎩⎪⎨⎧<≥=λ

ωωλ

ωk j k j k j k j v ,,,,,,0得到有用信号的小

波系数估计值μj,k 和滤掉的噪声小波系数估计值v j,k ；

（3）根据离散随机变量的最大熵原理，对于不同的参数α ，分别由式

∑∑∑∑∑

∑∑∑∑∑

++++++-=-===i

i

mi i

i i i

i j m

j i

i

mi i

i i i

i j s

sj m

j s

sj s E E E E W 2

2

22

12

,1

2

2

22

12

,1

ˆˆˆˆlog

ˆˆˆˆlog

ωωω

ω

ωωω

ω

和

式

∑

∑

∑∑∑∑∑∑∑∑==++++++-=-=m

j m

j i

i

mi i

i i i

i j i

i

mi i

i i i

i j n

nj n

nj n v v v

v

v v v

v

E E E E W 112

2

22

12

,2

2

22

12

,ˆˆˆˆlog

ˆˆˆˆlog 计算有用信号的小波熵W s 和滤掉的噪声的小波熵W n ，再根据W=W s +W n 求出

信号的小波熵之和。当小波熵之和最大时，得到α为最佳参数值，此时的式

⎪⎩

⎪⎨⎧<≥-=λωλωαλωωμk j k j k j k j k

j ,,,,,,0),)(sgn(即为最优阈值函数。