中级微观经济学-范里安版本ppt课件

个凸集。
证明留作练习。
• 性质2 凸投入要求集等价于拟凹生产函数。 V（y）是凸集，当且仅当生产函数f（x）是一个
拟凹函数。 证明要点：拟凹函数等价定义：上等值集是凸集
V。(y) x : f(x) y
•
是凸集正是构建这样一个上等值集
。
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• 正则技术： 对所有y≥0而言，V（y）是一
个非空的闭集 V（y）是非空的假定要求，总存在某种可 想到的方法来生产出任意给定水平的产出 。 • 技术替代率（TRS）
或使用ＡＢ各生产一次。
则投入要求集为 V (2) 2, 4,3,3,4, 2
如果更大的产出ｙ，要素组合的选择性更多
.
如果允许自由处置，则称生产技术具有单 调性：
单调性：如果x 在 V（y）中，并且 x' x
则 x' 也在 V（y）中。 思考自由处置的现实背景：处置或储藏
不需要成本，至少不能影响到原有技术的 施行。
以写作f (x) g(h(x)) ，其中h 是一次齐次函 数，g 是单调函数。
• 位似函数的图示
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• 性质：齐次函数和位似函数的替代率都独
立于规模。 CES生产函数：
1
ya1x1 a2x2
性质：替代弹性不变
TRS(x1)1,
x2
1
|TRS|1
x2
x1
ddllnn|xT2R/Sx1|
1
.1
• 性质2 当 1、0源自文库- 时，CES生产函数分别趋 于线性生产函数、柯布道格拉斯生产函数 、以及里昂惕夫生产函数。
x2 1 a TRS
x1
a
lnx2 ln1aln|TRS|
x1
a
dlnx2 / x1
dln|TRS|
1
.
• 规模报酬 前面“复制”生产过程的例子实际上是“按
比例增加”投入，那么规模报酬不变意味着： 下列任何一个条件被满足，即称为规模报酬
不变
1．对所有非负t；y在Y 中意味着ty 在Y 中 2．x在V（y）中意味着tx在V（y）中，对所 有t≥0 ？ 3． f (tx) tf(x) ，对于所有t≥0。即生产函 数f(x)是一次齐次的。
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• 生产技术的组合 技术A：一个单位的要素1和两个单位
的要素2，可以生产一个单位的产出。 技术B：两个单位的要素1和一个单位
的要素2，可以生产一个单位的产出。 写成投入集的形式
V (1) 1, 2,2,1
若要生产两单位产出，应使用多少投 入要素？
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• 生产方法： 重复两次技术Ａ，或重复两次技术Ｂ，
• 课后习题
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范里安：《微观经济学》
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本章内容
一、生产技术的数学刻画 二、单调性 三、凸技术 四、技术替代率与替代弹性 五、规模报酬 六、齐次与位似生产函数 七、CES生产函数
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一、生产技术的数学刻画
1、几个相关概念
投入和产出的度量，注意投入和产出都是流
量的概念。
与生产技术相关的几个概念
1）净产出：y j
y
o j
T(y, x1, x2) yx1ax12a f (x1,x2)x1ax12a
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例子：里昂惕夫技术的特点
Y{(y,x1,x2)在R3中:ymin(ax1,bx2)} V(y){(x1,x2)在R2中:ymin(ax1,bx2)} Q(y){(x1,x2)在R2中:ymin(ax1,bx2)}
T(y,x1,x2)ymin(ax1,bx2) f(x1,x2)min(ax1,bx2)
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• 凸技术 思想：我们想要生产“大”量的产出
，并且可以复制“小”的生产过程
定义：凸性
如果x 和 x' 都在V（y）中，那么，对 所有0≤t≤1的t 而言，tx (1 t)x' 在V（y）
中。那就是，V（y）是一个凸集。
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• 性质1 凸生产集意味着凸投入要求集。如果生产
集Y 是一个凸集，那么相联的投入要求集也是一
当且仅当y 有效时，T (y) 0
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例子：柯布-道格拉斯技术的特点
Y={(y,-x1,-x2)在R3中:y≤x1ax12-a} V(y)={(x1,x2)在R2+中:y≤x1ax12-a} Q(y)={(x1,x2)在R2+中:y=x1ax12-a} Y(z)={(y,-x1,-x2)在R3中:y≤x1ax12-a,x2=z}
那么，何时规模报酬不变会被违反？
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• 违反规模报酬不变的情形： 1．向下调整，即细分生产技术不总是可行的 2．非整数数量向上调整也不可行 3．产出加倍后，会有更有效的生产方式——
对应规模报酬递增的概念。 规模报酬递增。如果对所有t>1，f (tx) tf(x) ，一
项技术就表现出规模报酬递增。 4．存在不能复制的投入品，此时对应规模报
产出只有一种时，定义生产函数
f（x）=y在R中：y是在Y中与-x相关联的最大产出
.
• 例子：净产出束为（y，-x），其中x是可 以生产y 单位产出的一个投入向量。
相关概念：
投入要求集：至少可以生产y 单位产出的
所有投入束的集合
V（y）= x在Rn+中：（y，-x）在Y中
等产量线：等产量线给出所有刚好生产y
y
i j
生产计划：各种物品的净产出写成一个向量
生产可能性集：所有技术上可行的生产计划
的集合
受限制的或短期生产可能性集：由 来表
示；这由所有与约束水平 相一致的可行的净产
出束组成
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• 短期生产可能性集 生产计划 y, l, k 资本在短期内固定 k=k 则短期可能性集写为
Y (k) (y, l, k)在Y中：k=k
酬递减的情形
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例子：探讨柯布-道格拉斯生产技术的规模报酬
• 齐次函数的概念： 如果对所有t>0，f (tx) tkf(x)则称函数
是k 次齐次的。
• 规模报酬与生产函数的齐次性之间的对应 关系?
• 齐次函数的图示如下
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• 位似函数是一个一次齐次函数的单调变换 。即若函数f(x)是位似的，当且仅当它可
单位产出的投入束。
Q（y）= x在Rn+中：x在V(y)中并且x不在V（y，）中，y，>y
.
• 技术有效：
Y 中的生产计划y 是（技术上）有效的：要
求没有用同样的投入生产出更多的产出或用更少 的投入生产出相同产出的方法，生产计划就是有 效的。
表述方式： 变换函数：描述技术上有效的生产计划的集 合 T : Rn R
全微分法得出同样的结果
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• 练习：柯布-道格拉斯技术的技术替代率 (TRS)使用隐函数法，求得
x2(x1)f/x1a x2
x1
f/x2 1ax1
技术替代率测量等产量线的斜率
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• 替代弹性：测量等产量线的曲率。替代弹性度量 当产出保持不变时，要素比率的百分比变动除以 技术替代率的百分比变动。
x2 / x1
x2 / x1 TRS
TRS
• 取极限形式后，写成
TRS x2 / x1
dx2 / x1
dTRS
经济含义：可以通过厂商追求成本最小化的一阶
条件来重新审视替代弹性的含义。
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• 使用对数微商，可以重新写为
dlnx2 / x1
dln |TRS |
例：柯布道格拉斯生产函数的替代弹性
TRS a x2 1 a x1
思想：假定正在某一个点上进行生产 ，如果要增加一种要素而减少另一种要素 的用量，并且保持产出不变。如何决定两 种要素间的替代率？
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• 隐函数法推导
f(x1,x2(x1))y
f (x*) f (x*) x2 (x1*) 0
x1
x2 x1
x2 (x1*) f (x*) / x1
x1
f (x*) / x2