现代信号处理_07[sby]

2
* T
式中 R p = E{X X }为r(0),r(1),…,r(p)构成的Toeplitz矩阵. 若y(n)的均值为零,则 ρ 也是y(n)的方差. 4
{
}
(3)
最小方差谱估计
MVSE基本原理 基本原理
算法推导( 算法推导(续)
求滤波器的系数,有两个原则: 求滤波器的系数,有两个原则: 在某一给定频率ω i 处,x(n)无失真通过,这等效于要求: ,x(n)无失真通过,这等效于要求: 无失真通过
* rxx ( p ) * * rxx ( p 2) rxx ( p 1) * rxx (0) rxx (1) rxx (1) rxx (0)
( 2)
11
自相关矩阵的特征分解
且定义信号向量: 且定义信号向量: e i = [1, exp( jω i ),..., exp( jω i p )]T , i = 1,2,..., M 则由(1)-(3), 有
5
式中
A( z ) z =e jωi = ∑ a (k ) exp( jω i k ) = e H (ω i )a = 1
k =0
p
(4)
最小方差谱估计
MVSE基本原理 基本原理
算法推导( 算法推导(续)
利用Lagrange乘子法求解 式,得最小方差滤波器系数为 乘子法求解(5)式 得最小方差滤波器系数为 利用 乘子法求解
a MV = R 1e(ω i ) p e H (ω i )R 1e(ω i ) p
相应的最小方差为
ρ MV =
从而, 从而,估计的最小方差谱为
PMV (ω ) =
1 e H (ω i )R 1e(ω i ) p
1 e H (ω )R 1e(ω ) p
P 应该注意, 并不是真正意义上的功率谱, 应该注意,MV (ω )并不是真正意义上的功率谱,因为 PMV (ω ) 的积分并不等于信号的功率, 对ω 的积分并不等于信号的功率,但它描述了真正谱的 相对强度. 相对强度.
9
基于矩阵特征分解的谱估计
自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计
10
自相关矩阵的特征分解
设信号 设信号x(n)由M个复正弦加白噪声组成 Ai,ω i 分别是第 i 由 个复正弦加白噪声组成, 个复正弦的功率和频率, 个复正弦的功率和频率 则x(n)的自相关函数为 的自相关函数为
2 rxx (k ) = ∑ Ai exp( jω i k ) + ρ wδ (k ) , ( ρ w = σ w ) i =1 M
eiH VM +1 = 0 , i = 1,2,..., M (6)
令 则根据定理1 则根据定理1有 其中
z = exp( jω i )
V( z ) = ∑ v M +1 (k ) z k = 0
k =1 M
(7 )
VM +1 = [v M +1 (1),..., v M +1 ( M )]T
15
R p = ∑ A i ei eiH + ρ wI
i =1 M
基本原理(续) 基本原理(
(3)
(4)
式中第一,二项分别为信号阵和噪声阵,前者最大秩为M. 式中第一,二项分别为信号阵和噪声阵 前者最大秩为 设 p ≥ M ,对Rp进行特征分解得: 进行特征分解得:
R p = ∑ λi Vi V + ρ w ∑ Vi V = ∑ (λi + ρ w )Vi V +
第三章
随机信号的功率谱估计
郑宝玉
1
内 容
经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
2
最小方差谱估计
MVSE基本原理
三点说明
最小方差功率谱估计 最小方差功率谱估计(MVSE),又称最大似然谱估 , 计,但实际上它并不是最大似然谱估计; 但实际上它并不是最大似然谱估计; 提出者[Capon,1969]也把这个方法叫做高分辨率谱估 提出者[Capon,1969]也把这个方法叫做高分辨率谱估 计方法,但实际上其分辨率并不高于 模型法 模型法; 计方法,但实际上其分辨率并不高于AR模型法; 尽管这样,但由于其思路独特,仍有了解的必要. 尽管这样,但由于其思路独特,仍有了解的必要. 下面,讨论该方法的导出过程. 下面,讨论该方法的导出过程.
下面讨论空间谱估计问题
6
最小方差谱估计
MV谱与AR谱的关系 MV谱与AR谱的关系 谱与AR
分解, 对自相关矩阵的逆矩阵 R p1 作Cholesky分解,有 分解
R 1 = A p Pp 1A H p p
(8)
分别是0阶 阶 模型系数和激励功率 即方差) 模型系数和激励功率(即方差 其中 A p,Pp 分别是 阶~p阶AR模型系数和激励功率 即方差 组成的矩阵, 组成的矩阵,即
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基于矩阵特征分解的谱估计
自相关矩阵的特征分解 基于子空间的频率估计与信号估计 - PHD方法 PHD方法 - MUSIC方法 MUSIC方法
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Pisarenko谐波分解 Pisarenko谐波分解(PHD) 谐波分解(PHD)
理论基础
若p=M, 则(5)式中Rp仅有一个噪声向量VM+1,它所 对应的 式中 仅有一个噪声向量 它所 特征值就是噪声方差 ρ w ,该特征值也是Rp的最小特征 ).可以证明 可以证明, 值(因为此时 λ p +1 = 0 ).可以证明,这时有 定理 1 噪声向量VM 与信号向量 i(i=1,…,M)都正交 即 与信号向量e = 都正交,即
由于自相关矩阵Rp的特征向量 V1 ,..., Vp +1 构成一组正交基, 因此有
span{e1 ,..., eM } = span{V1 ,..., VM } (11b)
注意: 的情况, 注意 (11)对应于M<p的情况,在这种情况下,若再使用 对应于 的情况 在这种情况下, (8), 则求出的 则求出的V(z)将有 M个多余零点.故不宜再使用 将有p- 个多余零点.故不宜再使用(8) 将有 计算. 计算.
e(ω i ) = [1, exp( jω i ),..., exp( jω i p)]T ω 附近的频率分量被拒绝, ω 在 i 附近的频率分量被拒绝,即在 i 附近使ρ 为最小. 为最小. 为同时满足这两个原则,必须满足下式: 为同时满足这两个原则,必须满足下式: min{a H R p a} (5) H e (ω i )a = 1 这就是"最小方差"谱估计的来历 的来历. 这就是"最小方差"谱估计的来历.
i =1 H i i =1 H i i =1 H i M p +1 M i = M +1
∑ρ
p +1
Vi ViH (5) w
的特征向量,特征向量相互正交 特征向量相互正交, 式中Vi 是对应于特征值 λ i 的特征向量 特征向量相互正交, 即
1 ViH V j = 0 (i = j ) (i ≠ j )
exp( j 2ω1 ) exp( j 2ω 2 ) exp( j 2ω M ) A2 = rxx (2) (8) exp( jMω1 ) exp( jMω 2 ) exp( jMω M ) AM rxx ( M )
5)再由(1)得: 故可求得
r (0) = ∑ Ai + ρ w
于是,我们得到MV谱与AR谱之间的一个重要关系: 于是,我们得到MV谱与AR谱之间的一个重要关系: MV谱与AR谱之间的一个重要关系
p 1 1 == ∑ PMV (ω ) k = 0 PAR (ω )
其中
PAR (ω ) =
σ k2
m =0
∑ ak (m) exp( jωm)
k
2
8
内 容
经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 最大熵谱估计算法 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计
k =0
( 2)
X = [ x(n 1), x(n 2),..., x(n p )]T a = [a (0), a (1),..., a( p )]T
y(n)的均方值,也就是y(n)的功率,由下式给出 的均方值,也就是 的功率, 的均方值 的功率 由下式给出:
ρ = E y (n) = E {y H (n) y (n)} = E {a H X* X H a} = a H R p a
i =1
M
(9)
(10)
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ρ w = ∑ Ai rxx (0)
i =1
M
MUSIC方法 MUSIC方法
理论基础
若噪声子空间的向量不止一个, 若噪声子空间的向量不止一个,用类似的方法可以证明有 定理2 信号向量ei与噪声子空间的向量Vk都正交,即
ei , Vk = 0 i = 1,..., M ; k = M + 1,..., p + 1 (10a)
2 σ 0 1 a (1) 1 p a p ( 2) a p (1) 1 Ap = , Pp = a p (3) a p ( 2) 1 a p ( p) a p ( p 1) a p ( 2) a p (1) 1
来自百度文库
σ 12
2 σ2
2 σ p
3
最小方差谱估计
MVSE基本原理 基本原理
算法推导
将随机信号x(n)通过 通过FIR滤波器 滤波器A(z): 将随机信号 通过 滤波器 p
A( z ) = ∑ a (k ) z k
k =0
(1)
p
则其输出为 其中
y ( n) = x ( n ) * a ( n) = ∑ a ( k ) x ( n k ) = X T a
基本原理
(1)
为白噪声的功率. 式中正弦信号的幅度为 Ai , ρ w 为白噪声的功率. 如果由(p+1)个rxx(n)组成自相关矩阵: 如果由( +1)个 组成自相关矩阵: 组成自相关矩阵
* rxx (0) rxx (1) rxx (0) rxx (1) Rp = rxx ( p 1) rxx ( p 2) r ( p) rxx ( p 1) xx * rxx ( p 1)
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自相关矩阵的特征分解
基本结论
从上面讨论可以看出: 从上面讨论可以看出: Rp的所有特征向量V1, …, Vp+1形成p+1维向量空间 维向量空间, 维向量空间 相互正交. 且V1, …, Vp+1相互正交. p+1维向量空间分成两个子空间: 维向量空间分成两个子空间: 维向量空间分成两个子空间 张成信号子空间(主分量 主分量) - 由主特征向量 V1, …, VM 张成信号子空间 主分量 其特征值分别为 λ1 + ρ w ,..., λM + ρ w - 由特征向量 VM+1,…, Vp+1 张成噪声子空间 其特征值均为 ρ w 信号向量 1,…eM和主特征向量V1, …, VM张成相同的子 信号向量e 空间-信号子空间. 空间-信号子空间. 结论: 结论:可在信号或噪声子空间进行谱估计和频率估计 下基于噪声子空间的估计问题. 下面考虑p=M和p>M下基于噪声子空间的估计问题. =
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最小方差谱估计
MV谱与AR谱的关系( MV谱与AR谱的关系(续) 谱与AR谱的关系
将(8)代入(7),得 (8)代入(7), 代入(7)
p k 1 2 H 1 H 1 H = e (ω )R p e(ω ) = e (ω ) A p Pp A p e(ω ) = ∑∑ ak (m) exp( jωm) / σ k2 PMV (ω ) k =0 m =0
Pisarenko谐波分解 Pisarenko谐波分解(PHD) 谐波分解(PHD)
PHD算法的步骤 算法的步骤
1)求x(n)的自相关函数并构成自相关矩阵Rp,且设 p=M 求 的自相关函数并构成自相关矩阵 且设 2)对Rp进行特征分解,得特征值 λ1 ,..., λM +1 及特征向量 对 进行特征分解, V1 ,..., VM +1 排序并找出最小的特征值 λM +1及相应的 VM +1 3)将 3)将VM +1 代入(7),形成 M 阶多项式并求该多项式的根, 代入(7), 阶多项式并求该多项式的根, 得到x(n)的M 个频率 ω1 ,...,ω M 得到 的 4)由(1)有 exp( jω1 ) exp( jω 2 ) exp( jω M ) A1 rxx (1) 由 有
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MUSIC方法 MUSIC方法