2013-2014(1)线性代数试题(A)解答

广州大学2013-2014学年第一学期考试卷解答
课 程：《线性代数Ⅱ》 考 试 形 式：闭卷考试
学院:____________ 专业班级:__________ 学号:____________ 姓名:___________
一、填空题（每小题3分，本大题满分15分）
1．行列式304
503221
--中元素2的代数余子式为 0 .
2．设=A (1 2 1)，=B ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-011123321，则=AB (8 5 5) .
3．已知矩阵21
1421633a ⎛⎫ ⎪
=+ ⎪ ⎪⎝⎭
A 的秩()2R =A ，则a 必须满1a ≠.
4．设向量组T 1(,0,)a c =α，T 2
(,,0)b c =α，T
3(0,,)a b =α线性无关，则a ，b ，c 必须满足关系式0abc ≠.
5．设方阵A 满足方程23a -+=A A E O ，且已知A 的一个特征值为1=λ，则常数
=a 2 .
二、选择题（每小题3分，本大题满分15分）
1．设A 为m n ⨯矩阵，B 为p k ⨯矩阵，若AB 有意义，则必有（ A ）. （A ）n p =； （B ）m p =； （C ）n k =； （D ）m k =. 2．设A 为可逆矩阵, 则1(*)-=A （ A ）.
（A ）1||A A ； （B ）||A A ； （C ）1
1||
-A A ； （D ）1||-A A .
3．线性方程组12341234
12342736
352249472
x x x x x x x x x x x x
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪+++=⎩
（ B ）. （A ）只有唯一解； （B ）有无穷多解； （C ）没有解； （D ）无法判断. 4．若向量组1,,ααm L 线性相关，且11m m k k ++=0L αα，则（ D ）.
（A ）1,,m k k L 全为0； （B ）1,,m k k L 全不为0； （C ）1,,m k k L 不全为0； （D ）前述情况都可能出现.
5．设向量组A ：12,,,s L ααα与向量组B ：12,,,t L βββ等价，则（ C ）. （A ）s t =； （B ）s t ≠； （C ）()()R A R B =； （D ）以上都不对. 三、（本题满分12分）
设1200010000240012⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求8A . 解：令11201⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，2
2412⎛⎫
= ⎪⎝⎭A ，则 21121214010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，------2分
41141418010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ， 811818116010101⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
A ，------5分 2
2224248164121248⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A ，------7分 422222322222()(4)44====A A A A A ，
8423262722222()(4)44====A A A A A ，------10分
88
1151682141511600010
000220022⎛⎫
⎪⎛⎫ ⎪
==
⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭
A O A O
A .------12分
计算行列式ab ac ae
bd cd de bf cf ef
---.
解：原式1
11
1
111
1
1
abcdef -=-- ------3分
111
020
20
abcdef -= ------5分 111
200
02
abcdef -=- ------6分 4abcdef =.------8分
五、（本题满分8分）
已知1000110001100012⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭
A ，求1-A . 解：按方法1
(,)(,)r
-−−
→A I I A 求1-A ：------2分 100010001
1000100(,)0110001000
1
20001⎛⎫ ⎪-
⎪= ⎪
- ⎪-⎝⎭A I 1
00010000
10011000010111000021111r ⎛⎫
⎪
⎪
−−→
⎪
⎪
⎝⎭
11112
22210001000110001001110
00100001r
⎛⎫
⎪
⎪
−−→ ⎪
⎪⎝⎭
，------7分 所以1
111122
22100011001110-⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A .------8分
求齐次线性方程组123412341
23420,3630,51050
x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪
+--=⎨⎪++-=⎩的一个基础解系.
解：对方程组的系数矩阵施行初等行变换:
1211361351015-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A 121100400040r -⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭120100100000r -⎛⎫
⎪−−→ ⎪ ⎪⎝⎭
.------6分
原方程组的同解方程组为
124320
0x x x x +-=⎧⎨
=⎩
.------8分 分别令241,0x x ==和240,1x x ==，求得基础解系为
12100-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，21001⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
ξ.------12分
七、（本题满分12分）
验证1(1,1,0)=-a ，2(2,1,3)=a ，3(3,1,2)=a 为3R 的一个基，并把
1(5,0,7)=b ，2(9,8,13)=---b 用这个基线性表示.
解：T T T T T
1231212359(,,,,)11108032713-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭a a a b b 12359034517032713r -⎛⎫ ⎪−−
→- ⎪ ⎪-⎝⎭
1235903451700224r
-⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭120830309900112r -⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭
100230103300112r
⎛⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭
，------8分
由此可知，123,,a a a 的秩为3，从而123,,a a a 线性无关，为3
R 的一个基，------10分
且有112323=+-b a a a ，2123332=--b a a a .------12分
求矩阵563101121-⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪⎝⎭
A 的特征值和特征向量.
解：方阵A 的特征多项式为
563
||111
21
λλλ
λ---=----I A ------2分
26301221λλλλ--=----26301044
λλλ--=--3(2)λ=-， 方阵A 的特征值为1232λλλ===.------6分
解方程组(2)-=I A x 0. 由
3631212121000121000r ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
I A ，
得基础解系
T 1(2,1,0)=-p ，T 2(1,0,1)=p .
因此，方阵A 对应于1232λλλ===的全部特征向量为
1122k k +p p (12,k k 不同时为零).------12分
设,A B 为n 阶矩阵，证明
||||=-⋅+A B
A B A B B A
.
证明：
A B B A
+=+A A B
B A B
------2分
-=
+A B O
B A B
------4分
||||=-⋅+A B A B .------6分。