求不定积分的几种方法

求不定积分的几种方法

摘要:求不定积分的方法有很多种,针对不同类型的函数采用最适合的方法往往会起到事半功倍的效果,本文就不定积分的求解方法进行了归类，结合实例讨论了这些方法在不定积分求解中的可行性，对快速正确求解不定积分有一定意义。

关键词：不定积分直接积分法分部积分法方程法

Abstract: There are many kinds of methods to solve the indefinite integral. For different types of function using the most suitable method often can play a multiplier effect. In this paper, indefinite integral solutions are divided into several different types and the feasibility of the method of indefinite integral is discussed by integrating the practical examples, which is of certain significance to rapidly, correctly solving indefinite integral.

Key words: indefinite integral; direct integration method; integration by parts; equation method

不定积分是一元微积分中非常重要的内容之一，是积分学中最基本的问题之一，又是求定积分的基础，牢固掌握不定积分的理论和运算方法，不仅能使学生进一步巩固所学的导数和微分概念，而且也将为学习定积分，微分方程和多元函数的积分学以及其他课程打好基础，因此切实掌握求不定积分的方法非常重要。求不定积分的方法有很多，可用基本方法，如直接积分法求解、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法；也可用特殊解法，如方程法、方程组法等方法求解。下面将介绍几种常见的基本方法和特殊解法。

一、基本方法

1 直接积分法

直接积分法是求不定积分的基本方法，是基本途径，也是其他积分方法的基础，这一方法是直接利用积分法则和公式得出结果，或将被积函数做恒等变形，使之符合基本法与公式，然后再利用积分法则与公式做出结果。

例1 求不定积分

解：把该式分子相乘得到

分项后得到-+dx-dx

然后，利用基本公式求得结果为x-ln|x|+-2

注：在分项积分后，每个不定积分的结果都含有任意常数。由于任意常数的代数和仍为任意常数，故只需在最后一个积分符号消失的同时，加上一个积分常数就可以了。

例2 求不定积分

解：因为此不定积分的被积函数是，由于分母是而=1，所以被积函数

+sec2x+csc2x从而= +=tanxcotx+c

注：此类题目的解题思路：尽量使分母简单，为此分子或分母乘以某个因子，把

分母化为sin k x（或cos k x）的单项式，或将分母整个看成一项。一般通用方法为将“1”化为某个特定的等式。

例3 求不定积分,

解：在分子上加上cosx，再减去cosx得到

再利用上例中的解法可得=2=2ln||ln|sinx|+C

②在分子上减去1，再加上1得到==+=x+arctanx+c

注：此类题目的解题技巧是将被积函数加（减）项，把积分变成几个比较简单的积分进行计算。

从上面的几个典型例子来看，直接积分法往往需要对被积函数进行适当的恒等变形，或化简，或拆项，使被积函数变成可积函数代数和形式，此种方法求不定积分比较常见。

2 第一换元积分法（凑微分法）

求一个函数的不定积分是积分学的一个基本问题，解决这类问题的方法多种多样，其中有一种方法就是第一换元法，换元法是求不定积分的基本方法。第一类换元积分法主要适用于复合函数，将被积变量凑成复合函数的中间变量的形式，再利用直接积分法求出积分。

第一类换元积分法:若且u = (x)有连续的导数,则有:(x)dx=

第一类换元积分法的关键是：将被积表达式凑成两部分，(x)dx，从而形成一部分是u = (x)的函数,将另一部分(x)dx凑成微分du,这样就可以从积分公式

中求出积分，再回代，就完成了积分。

例4 求不定积分

解：将dx凑为dx=d(1+2x),则

=（凑微分）

==+C（令1+2x=u）

=+C（还原u=1+2x）

注：凑微分时经常对被积表达式的系数进行调整，但要注意它必须是等值变换。例5 求不定积分 xdx

cos

2

解：设u=2x,du=2dx,dx=2

1du,则 ⎰xdx 2cos =21⎰udxu cos =21sinu+C=2

1sin2x+C 例6 求不定积分dx x x ⎰+)

ln 21(1 解：因为被积函数可分解为

x ln 211+和)ln 21(21x + 所以

dx x x ⎰+)ln 21(1==++⎰dx x

x ln 21)ln 21(21c x x d x ++=++⎰ln 21ln 2

1)ln 21(ln 21121 可见，凑微分法就是把被积式子中某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式[1]。

3 第二换元积分法

第二类换元积分法是通过适当选择置换式,使代换后的积分易于积出，它主要用来解决几种简单的无理函数的积分问题。

第二类换元积分法：设函数x=ϕ(t)单调可导，且ϕ(t)≠0，如果

⎰⎰+='='-C x F dt t t f d t t f )]([)()]([t )()]([1ϕϕϕϕϕ其中t=)(1x -ϕ是x=ϕ(t)的反函数。

第二类换元积分法是恰当选取积分变量x 作为新积分变量t 的一个函数：

x=ϕ(t)，并要ϕ(t)具有反函数。也就是使原积分变为基本积分表中已有的形式或便于求解的积分，从而求出结果。根据被积函数表达式的不同，第二类换元法又分为去根号法和倒代换法。

3.1去根号法

（1）简单的根式变换 ,可令；

例如：求，可令，

（2）三角代换 ，令xasint 或xacost ；；令xasect 或xacsct ；；令xatant 或xacott

（3）双曲代换 xasht 或xacht

例如：，可设xasht ；dx x a x

⎰-22，可设xacht 比用三角代换简便

（4）⎰dx x x R )cos ,(sin ，一般采用万能代换，设。当然，对具体的问题也要采用灵活的方法处理。