大学物理势能、机械能守恒定律
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而与作功的路径无关，称此力为保守力。 或：若有一个力能满足条件：
F .dr =0
则称此力为保守力。 如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力。
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
[例]一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它伸长的反
方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。
试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克
A外＋A非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）
令 Ek E p E 称为系统的机械能
A外 A非保守内力 E2 E1
----系统的功能原理
式中 E1, E2 分别为作功前后系统的机械能
15 – 8 多普勒效应
v F
o
xa
E pa
参
v F
drv
0 xa
a
kxdx
1 2
kxa2
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
Байду номын сангаас
例：万有引力势能，选取远为势能的零点
FvFv
v F
FvFv
ra a
E pa
v F
drv
a
M地
G
Mm dr
G
Mm
ra
r2
ra
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
势能的值是相对参考点而言的，参考
例如就不能引入摩擦力势能的概念。
m l1
m l2
m
A1m A2
l3
A3
参考点
15–计8算多势普能可勒以效任应选一个你认为方第便十的五章路机径械。波
a mg
例：重力势能，以地面为参考点，势
能选取从a---b点的路径，则：
EPa
参
v F
drv
h
mgdy
mgh
b
a
0
例：弹性势能，以弹簧的平衡位置为
势能零点
保守内力 非保守内力
第十五章 机械波
F1
v
v F12
F21 v
mv1 F13v
m2
F2
F23 v F32
F31
m3 F3
A合＝A外＋A保守内力＋A非保守内力＝Ek2－Ek1
－（Ep2－Ep1）
1A5外–＋8A非多保守普内勒力=效(E应k2－Ek1 ）+【（E第p十2－五章Ep机1）械波】
“同状态的量”合并：
1二5 、– 8功能多原普理勒效应
第十五章 机械波
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究
机的械变能形打 。下了基础。功能原理实际上是系统动能定理
第一个质点：
A（合1）＝Ek(12)
E (1) k1
第二个质点：
A（合2）＝Ek(22)
E (2) k1
、、、、、、、
F1
v
v F12
F21 v
mv1 F13v
下面进一步考虑保守内力作功的特点
一、保守力的功、势能
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .（例如重力、弹性力、 万有引力） 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
y
1. 重力的功
dA = G . dr = ( m g j ).(dx i + dy j )
=
G
Mm
r2
sinθ
ds
M ra
b
rb dr
θ ds
r
m F 地球
a
=
G
Mm
r2
dr
A=
GMm
rb
ra
dr
r2
=
(
GMm
rb
)
(
GMm
ra
)
3. 弹簧弹性力的功
弹簧
自然长度
F
ox
x
F = kx
dA = Fdx = kx dx
A
=
xb xa
kx dx =
(
1
2
kx
2
b
1
2
kx
2
a
)
*保守力的定义： 若力F 对物体所作的功决定于作功的起点和终点
以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位
置称为参考点。
例如规定 E pb 0
E Pa
Aab
参
F
dr
则a点的势能 E pa Aab
a
15 – 8 多普勒效应
注意
第十五章 机械波
只有物体之间的相互作用力是保守力， 才能建立势能的概念。
因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当 参考点选择以后势能的值就是唯一的了。
点选择不同势能的值不同。
如何选择参考点：
a
c
原则上可以任意选
择，但要以研究问题
方便为原则。
b
重力势能 零点可以任意选取。 弹性势能选平衡位置为势能零点。 万有引力势能常以无穷远为参考点。
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
势能是属于相互作用的物体系统所共有， 若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。 “某物体的势能”只是习惯的说法。
Mm ra
G
Mm rb
(3)
三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位 置有关的两个位置函数之差。既然功是能量变化的量 度，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种 能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位 置函数必代表一种能量----位能(或势能)。因它决定于 物体的位置状态（势）
a dr b
ya G
yb
= mg dy
o
x
A = mg dy = ( m g y b m g ya )
若物体从a出发经任意路径回到a点，则有:
A = G . dr = 0
物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零.
2. 万有引力的功
F=
G
Mm
r2
太阳
dA = F. dr
= F dscos(900+θ )
m2
F2
F23 v F32
F31
m3 F3
第n个质点：
A（合n）＝Ek(2n)
E(n) k1
15 – 8 多普勒效应
A合
A（合1）
A（合2） L
A（n） 合
＝[
E (1) k2
E(2) k2
L
E(n) k2
]
[
E (1) k1
E(2) k1
L
E(n) k1
]
Ek2 Ek1
外力
合力 内力
服弹簧力所作的功。
解：
A = F dx
=
1 ( 0.5
52.8
x
+
38.4 x 2)dx
= 19.8 +11.2 = 31（J ）
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
重力的功：
Aab mgha mghb (1)
弹力的功：
Aab
1 2
kxa2
1 2
kxb2
(2)
万有引力的功：
Aab
G
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
1上5 式–写8成多一般普形勒式效： 应
第十五章 机械波
Aab E pa E pb E p L (4)
上式只给出了势能之差的表达式。（4）式右边的两 项都加以或减以一个常数，等式仍成立。
这说明：
1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值
2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
§ 2.1-3 教学基本要求
1 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 .
2 掌握动能定理 、功能原理和机械能守恒 定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法.
§2--3势能、机械能守恒定律
F .dr =0
则称此力为保守力。 如某力的功与路径有关，则称这种力为非保守力。
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
[例]一根特殊弹簧，在伸长x m时，沿它伸长的反
方向的作用力为(52.8x +38.4x2)N。
试求把弹簧从x=0.50拉长到 x =1.00 时，外力克
A外＋A非保守内力=(Ek2+ Ep2）-（Ek1 + Ep1）
令 Ek E p E 称为系统的机械能
A外 A非保守内力 E2 E1
----系统的功能原理
式中 E1, E2 分别为作功前后系统的机械能
15 – 8 多普勒效应
v F
o
xa
E pa
参
v F
drv
0 xa
a
kxdx
1 2
kxa2
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
Байду номын сангаас
例：万有引力势能，选取远为势能的零点
FvFv
v F
FvFv
ra a
E pa
v F
drv
a
M地
G
Mm dr
G
Mm
ra
r2
ra
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
势能的值是相对参考点而言的，参考
例如就不能引入摩擦力势能的概念。
m l1
m l2
m
A1m A2
l3
A3
参考点
15–计8算多势普能可勒以效任应选一个你认为方第便十的五章路机径械。波
a mg
例：重力势能，以地面为参考点，势
能选取从a---b点的路径，则：
EPa
参
v F
drv
h
mgdy
mgh
b
a
0
例：弹性势能，以弹簧的平衡位置为
势能零点
保守内力 非保守内力
第十五章 机械波
F1
v
v F12
F21 v
mv1 F13v
m2
F2
F23 v F32
F31
m3 F3
A合＝A外＋A保守内力＋A非保守内力＝Ek2－Ek1
－（Ep2－Ep1）
1A5外–＋8A非多保守普内勒力=效(E应k2－Ek1 ）+【（E第p十2－五章Ep机1）械波】
“同状态的量”合并：
1二5 、– 8功能多原普理勒效应
第十五章 机械波
前面引入了势能的概念，这为我们系统、全面研究
机的械变能形打 。下了基础。功能原理实际上是系统动能定理
第一个质点：
A（合1）＝Ek(12)
E (1) k1
第二个质点：
A（合2）＝Ek(22)
E (2) k1
、、、、、、、
F1
v
v F12
F21 v
mv1 F13v
下面进一步考虑保守内力作功的特点
一、保守力的功、势能
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .（例如重力、弹性力、 万有引力） 非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
y
1. 重力的功
dA = G . dr = ( m g j ).(dx i + dy j )
=
G
Mm
r2
sinθ
ds
M ra
b
rb dr
θ ds
r
m F 地球
a
=
G
Mm
r2
dr
A=
GMm
rb
ra
dr
r2
=
(
GMm
rb
)
(
GMm
ra
)
3. 弹簧弹性力的功
弹簧
自然长度
F
ox
x
F = kx
dA = Fdx = kx dx
A
=
xb xa
kx dx =
(
1
2
kx
2
b
1
2
kx
2
a
)
*保守力的定义： 若力F 对物体所作的功决定于作功的起点和终点
以便给出其它点的势能值。这个被规定的势能零点位
置称为参考点。
例如规定 E pb 0
E Pa
Aab
参
F
dr
则a点的势能 E pa Aab
a
15 – 8 多普勒效应
注意
第十五章 机械波
只有物体之间的相互作用力是保守力， 才能建立势能的概念。
因为只有保守力的积分是与路径无关的，因而当 参考点选择以后势能的值就是唯一的了。
点选择不同势能的值不同。
如何选择参考点：
a
c
原则上可以任意选
择，但要以研究问题
方便为原则。
b
重力势能 零点可以任意选取。 弹性势能选平衡位置为势能零点。 万有引力势能常以无穷远为参考点。
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
势能是属于相互作用的物体系统所共有， 若没有相互作用的系统，无从谈势能的概念。 “某物体的势能”只是习惯的说法。
Mm ra
G
Mm rb
(3)
三式左面是保守力的功，右面是与质点始末位 置有关的两个位置函数之差。既然功是能量变化的量 度，左面是功，右面必代表某种能量的变化。而这种 能量的变化又总是等于两个位置函数之差，故这种位 置函数必代表一种能量----位能(或势能)。因它决定于 物体的位置状态（势）
a dr b
ya G
yb
= mg dy
o
x
A = mg dy = ( m g y b m g ya )
若物体从a出发经任意路径回到a点，则有:
A = G . dr = 0
物体沿任意闭合路径一周，重力所作的功为零.
2. 万有引力的功
F=
G
Mm
r2
太阳
dA = F. dr
= F dscos(900+θ )
m2
F2
F23 v F32
F31
m3 F3
第n个质点：
A（合n）＝Ek(2n)
E(n) k1
15 – 8 多普勒效应
A合
A（合1）
A（合2） L
A（n） 合
＝[
E (1) k2
E(2) k2
L
E(n) k2
]
[
E (1) k1
E(2) k1
L
E(n) k1
]
Ek2 Ek1
外力
合力 内力
服弹簧力所作的功。
解：
A = F dx
=
1 ( 0.5
52.8
x
+
38.4 x 2)dx
= 19.8 +11.2 = 31（J ）
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
重力的功：
Aab mgha mghb (1)
弹力的功：
Aab
1 2
kxa2
1 2
kxb2
(2)
万有引力的功：
Aab
G
势能 与物体间相互作用及相对位置有关的能量 .
1上5 式–写8成多一般普形勒式效： 应
第十五章 机械波
Aab E pa E pb E p L (4)
上式只给出了势能之差的表达式。（4）式右边的两 项都加以或减以一个常数，等式仍成立。
这说明：
1）真正有意义的是势能差而不是势能的绝对值
2）基于以上原因，我们可以规定某一位置处势能为零，
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
§ 2.1-3 教学基本要求
1 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 .
2 掌握动能定理 、功能原理和机械能守恒 定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法.
§2--3势能、机械能守恒定律