高等数学(同济第六版)课件 第七章 微分方程总结
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求物体在任一时刻的位移和速度（假设物体有向上 的初速度2米/秒，且阻尼力忽略不计）
解 弹簧的恢复力 f kgx;
F (t)16gcos4t,
f
F
(t)
m
d2x dt 2
,
8
gx
16
gcos4t
19.6
d2 dt
x
2
,
o x
x
8
gx
16
g
cos4t
19.6
d2 dt
x
2
,
Fra Baidu bibliotek
(B) y* x(a sin x bcos x) c cos 2x (C ) y* a sin x bcos 2x c sin 2x (D) y* ax sin x bx cos 2x
三、试解下列各题
1.求微分方程
y x dy dx
y2 dy dx
满足y(0)=2的特解.
（2）常数变异法 （3）积分因子法
4. 伯努利(Bernoulli)方程
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
令z y1n , 化为一阶线性微分方程.
三、可降阶的高阶微分方程 1. y(n) f ( x) 2. 不显含x型的. 3. 不显含y型的.
1 y
,
法线方程：Y y 1 ( X x), y
2x( yy x) x2 y2, y x1 1,
法线在x轴上截距：X yy x,
3.有一弹性系数为k=8(千克/米）的弹簧，其上端 固定，下端挂一重19.6千克的物体，达到平衡位 置，现使物体受一向下的外力F(t)=16cos4t(千克）
1
f ( x) 2xy 2 y, y 2xy 2 y,
2xy y 0, y x1 2,
2. 求通过点(1,1)的曲线方程，使此曲线上任意
点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点法线
在x轴上截距乘积的二倍。
解 设所求曲线为y=f(x)
在点(x,y)处的法线斜率：
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
dx f ( x) dy y
解法:
设
u
y x
解法: 设 u x y
3. 一阶线性微分方程
dy p( x) y q( x) dx dx p( y)x q( y) dy
y p( x) y q( x)
（1）通解为 y e p( x)dx[ q( x)e p( x)dxdx C ]
2.以 y 3xe2x 为一个特解的二阶常系数齐次
微分方程为_________________
3.微分方程
d2y dx2
2
y
1
的通解为_______________
4.当n满足 ___时，y P( x) y Q( x) yn 为贝努利方程。
5.微分方程 3 y( x) 4 y( x) 2 y( x) 0 的通解为___
微分方程部分总结
一、基本概念
1.微分方程。 2.微分方程的解。 3.微分方程的解、通解、特解。 4.初始条件、初值问题。 5.微分方程的积分曲线。
二、一阶微分方程的解法
1. 可分离变量的方程： 可化为g(y)dy = f(x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
2. 齐次方程： 可化为 dy f ( y ) dx x
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程,
使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 0 故f(x)=0
五、应用题：
1.求通过点 (1,2)的曲线方程，使此曲线在 [1,x] 上所形成的曲边梯形面积的值是此曲线段终点的 横坐标 x 与纵坐标 y 乘积的二倍减去4
解 设所求曲线为y=f(x)
由题意
x
f (t)dt 2xy 4,
二、选择题
1.微分方程 ( x 2xy y2 )dy y2dx 0 是（B）
（A）可分离变量的方程 （B）线性方程
（C）伯努利方程
（D）齐次方程
2. 微分方程 y 5 y 6 y xe2x的一个特解形式是_D__。
( A) Ae2x (Bx C ) (B) ( Ax B)e2x
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
4
x
8cos4t
d2 dt
x
2
,
x4x 8cos4t,
x t0 0,
x t0 2,
四、高阶线性微分方程 1. 解的结构
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理1 如果函数 y1( x)与 y2( x)是方程(1)的两个解, 那么 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常数）
(C ) x2( Ax B)e2x
(D) x( Ax B)e2x
3.函数y=C–x与微分方程
x
d2 dx
y
2
dy dx
1的关系为_C__。
（A） 是通解
(B) 是特解
（C）是解但即不是通解也不是特解 (D)不是解
4.方程 y y sin x cos2x 的一个特解具有形式(B) ( A) y* a sin x bcos x c cos 2x
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
五、二阶常系数线性微分方程的解法
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y
解 弹簧的恢复力 f kgx;
F (t)16gcos4t,
f
F
(t)
m
d2x dt 2
,
8
gx
16
gcos4t
19.6
d2 dt
x
2
,
o x
x
8
gx
16
g
cos4t
19.6
d2 dt
x
2
,
Fra Baidu bibliotek
(B) y* x(a sin x bcos x) c cos 2x (C ) y* a sin x bcos 2x c sin 2x (D) y* ax sin x bx cos 2x
三、试解下列各题
1.求微分方程
y x dy dx
y2 dy dx
满足y(0)=2的特解.
（2）常数变异法 （3）积分因子法
4. 伯努利(Bernoulli)方程
dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
dx
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时，方程为非线性微分方程.
令z y1n , 化为一阶线性微分方程.
三、可降阶的高阶微分方程 1. y(n) f ( x) 2. 不显含x型的. 3. 不显含y型的.
1 y
,
法线方程：Y y 1 ( X x), y
2x( yy x) x2 y2, y x1 1,
法线在x轴上截距：X yy x,
3.有一弹性系数为k=8(千克/米）的弹簧，其上端 固定，下端挂一重19.6千克的物体，达到平衡位 置，现使物体受一向下的外力F(t)=16cos4t(千克）
1
f ( x) 2xy 2 y, y 2xy 2 y,
2xy y 0, y x1 2,
2. 求通过点(1,1)的曲线方程，使此曲线上任意
点与原点的距离平方等于该点横坐标与该点法线
在x轴上截距乘积的二倍。
解 设所求曲线为y=f(x)
在点(x,y)处的法线斜率：
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) (3) y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f2( x) (4) 定理4 设 y1* , y2* 分别是方程(3)与(4)的特解, 则 y1* y2* 是方程 y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f1( x) f2( x) 的特解。
dx f ( x) dy y
解法:
设
u
y x
解法: 设 u x y
3. 一阶线性微分方程
dy p( x) y q( x) dx dx p( y)x q( y) dy
y p( x) y q( x)
（1）通解为 y e p( x)dx[ q( x)e p( x)dxdx C ]
2.以 y 3xe2x 为一个特解的二阶常系数齐次
微分方程为_________________
3.微分方程
d2y dx2
2
y
1
的通解为_______________
4.当n满足 ___时，y P( x) y Q( x) yn 为贝努利方程。
5.微分方程 3 y( x) 4 y( x) 2 y( x) 0 的通解为___
微分方程部分总结
一、基本概念
1.微分方程。 2.微分方程的解。 3.微分方程的解、通解、特解。 4.初始条件、初值问题。 5.微分方程的积分曲线。
二、一阶微分方程的解法
1. 可分离变量的方程： 可化为g(y)dy = f(x)dx
解法 g( y)dy f ( x)dx
2. 齐次方程： 可化为 dy f ( y ) dx x
2.求微分方程 y 4 y 3 y 0 的积分曲线方程,
使其在点(0,2)与直线x-y+2=0相切.
四、设f(x)是二阶可微函数，且 f ( x) f ( x) f ( x) 0
证明若f(x)在某不同两点处的函数值为0， 则f(x)在该两点之间恒为零。
设x1, x2使f ( x1 ) f ( x2 ) 0
f ( x) f ( x) f ( x) 0 ( x1 x x2 )
r2 r 1 0
r1,2
1 (1 2
5)
故f ( x) C1er1x C2er2x f ( x1) f ( x2 ) 0 C1er1x1 C2er2x1 0
C1er1x2 C2er2x2 0 C1 C2 0 故f(x)=0
五、应用题：
1.求通过点 (1,2)的曲线方程，使此曲线在 [1,x] 上所形成的曲边梯形面积的值是此曲线段终点的 横坐标 x 与纵坐标 y 乘积的二倍减去4
解 设所求曲线为y=f(x)
由题意
x
f (t)dt 2xy 4,
二、选择题
1.微分方程 ( x 2xy y2 )dy y2dx 0 是（B）
（A）可分离变量的方程 （B）线性方程
（C）伯努利方程
（D）齐次方程
2. 微分方程 y 5 y 6 y xe2x的一个特解形式是_D__。
( A) Ae2x (Bx C ) (B) ( Ax B)e2x
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理3 设y*是非齐次线性方程(2)的特解， Y是齐次线性方程(1)的通解, 则 y=Y+y* 是非齐次线性方程(2)的通解。
4
x
8cos4t
d2 dt
x
2
,
x4x 8cos4t,
x t0 0,
x t0 2,
四、高阶线性微分方程 1. 解的结构
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y 0
(1)
y(n) p1( x) y(n1) pn1( x) y pn( x) y f ( x) (2)
定理1 如果函数 y1( x)与 y2( x)是方程(1)的两个解, 那么 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常数）
(C ) x2( Ax B)e2x
(D) x( Ax B)e2x
3.函数y=C–x与微分方程
x
d2 dx
y
2
dy dx
1的关系为_C__。
（A） 是通解
(B) 是特解
（C）是解但即不是通解也不是特解 (D)不是解
4.方程 y y sin x cos2x 的一个特解具有形式(B) ( A) y* a sin x bcos x c cos 2x
定理2：若 y1( x)与 y2( x)是方程
y p( x) yq( x) y 0 (1)的两个线性无关
的特解, 则 y C1 y1 C2 y2就是方程(1)的通解.
五、二阶常系数线性微分方程的解法
一、填空题
综合练习
1.曲线族 y Cx2 所满足的一阶微分方程是_x_y__ 2 y