三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质

【高频考点解读】

1．画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2，π

2上的性质． 【热点题型】

题型一 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 例1、函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫

π4－x 的定义域为( )

A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪

x ≠π4，x ∈R B.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪⎪

x ≠－π

4，x ∈R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∈R ，x ∈R D.⎩

⎨⎧⎭

⎬⎫x ⎪

⎪ x ≠k π＋3π

4，k ∈R ，x ∈R 解析：∵x －π4≠k π＋π2，∴π≠k π＋3

4π，k ∈Z.

答案：D 【提分秘籍】

1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π

2

(k ∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是

⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4

，

正切函数不存在减区间．

2．求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，再根据三角函数的单调区间，求出x 所在的区间，应特别注意，考虑问题应在函数的定义域内．注意区分下列两种形式的函数单调性的不同．

(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4；(2)y ＝sin ⎝⎛⎭

⎫π

4－ωx . 3．三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx ，而偶函数一般可化为y ＝

A cos ωx ＋b 的形式．

4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π

|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正

周期为π

|ω|

.

【举一反三】

函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋5π

2是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为2π的偶函数 C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数

解析：因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π

2＝－2sin x 是奇函数，T ＝2π. 答案：A 【热点题型】

题型二 三角函数的定义域 值域

例2、 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________． (2)已知sin x ＋sin y ＝23，则2

3＋sin y －cos 2x 的取值范围是( )

A.⎣⎡⎦⎤

112，73 B.⎣

⎡⎦⎤－1，7

3 C.⎣⎡⎦⎤112，1

D.⎣⎡⎦⎤

112，79

【提分秘籍】

1．求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目

(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；

(2)形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．

【举一反三】

求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值．

【热点题型】

题型三 三角函数的单调性 例3、求下列函数的单调区间： (1)y ＝1

2sin ⎝⎛⎭

⎫π4－2x 3；(2)y ＝－⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4.

【提分秘籍】

1．熟练掌握正、余弦函数y ＝sin x 、y ＝cos x 单调区间是迅速正确求解正、余弦型函数的单调区间的关键．特别提醒，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z.

2．在求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，若ω<0，则通过诱导公式先将ω化正再求．

【举一反三】

已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π<φ≤π，若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π

2

时，f (x )取得最大值，则( )

A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数

B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数

C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数

D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数

【热点题型】

题型四 三角函数的奇偶性与周期性、对称性

例4、 (1)若函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π

2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( ) A ．f (x －2)一定是奇函数 B ．f (x ＋1)一定是偶函数 C ．f (x ＋3)一定是偶函数 D ．f (x －3)一定是奇函数

(2)函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2的最小正周期为( ) A.π4 B.π

2

C ．π

D ．2π (3)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭

⎫－π

3，0对称，且α∈(0，π)，则α＝( ) A.π3 B.π4 C.π2 D.π6