模糊数学在实际生活中的应用

浅谈模糊数学及在实际中的一些应用

摘要：美国数学家查德早在1965年发表论文《模糊集合》，标志着模糊数学的诞生。这门新兴学科的产生使得心理学、语言学等过去与数学不相关的学科能够用数学化进行处理和描述，大大地扩展了数学的应用范围。目前，模糊数学体系已基本形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统中，模糊性与精确性构成了一复杂的矛盾体，模糊数学成为描述模糊信息强有力的数学工具。在深入研究中发现，在决策对象与约束条件较为模糊的情况下，将模糊数学理论应用于决策研究，便成为模糊决策技术工具，大大降低了决策研究的难度系数，从而获得更好的决策结果。本次研究主要阐述模糊数学的产生及基本理论，从而分析模糊数学在考古、医学、模糊识别等领域的实际运用。

关键字：模糊数学；发展；应用；

Abstract: American mathematician Chad as early as in 1965 published "fuzzy set", marks the birth of fuzzy mathematics. The generation of this new discipline in the past such as psychology, linguistics and mathematical unrelated disciplines can use mathematical processing and description, enlarges the application range of the mathematics. At present, fuzzy system has basically formed. System subject to prompt the development of fuzzy mathematics, in multivariable system, fuzziness and accuracy make a contradiction of the complex, fuzzy mathematics to describe fuzzy information powerful mathematical tool. Found in the study, objects and constraints in the decision under the condition of relatively fuzzy, fuzzy mathematics theory was applied to the decision-making research, become fuzzy decision technology tools, greatly reduced the difficulty coefficient of decision-making research, in order to gain better decisions. This research mainly elaborated and the basic theory of fuzzy mathematics, so fuzzy mathematical analysis in archaeology, medicine and the practical application of fuzzy recognition and other fields.

Key words: fuzzy mathematics; Development; Application

一、模糊数学的产生和发展

经典集合论表明，集合是由确定的元素组成，元素本身具有确定性，且元素与集合的关系也是十分明确的，要么属于，要么不属于，不存在这之间的情况。但是，现实生活中，很多事物具有模糊性、不确定性，这样的集合理论局限于模糊概念的处理。数学家们为了能够解决模糊概念的问题，经过苦苦专研，最终美国控制论专家扎德教授创立了模糊数学，并提出了“模糊数学集合论”。目前，模糊数学体系已基本形成。系统学科的发展需要促使模糊数学的产生，在多变量的大系统中，模糊性与精确性构成了一复杂的矛盾体，模糊数学成为描述模糊信息强有力的数学工具。

模糊数学的历史已有22年之久，这门新兴学科的发展迅速，将心理学、语言学等过去与数学不相关的学科联系起来，大大地扩展了数学的应用范围。随着模糊数学理论研究和发展，模糊数学的应用也得到了很大的扩展，广泛应用于心理学、社会学、生态学、语言学等学科领域。在深入研究中发现，在决策对象与约束条件较为模糊的情况下，将模糊数学理论应用于决策研究，便成为模糊决策技术工具，大大降低了决策研究的难度系数，从而获得更好的决策结果。

二、模糊数学的基本理论及其方法

扎德在论文“Fuzzy Sets ”正视了经典集合论中元素与集合的关系：要么属于，要么不属于。[3]而生活中事物之间的关系并不是“非此即彼”那么简单，具有一定的复杂性和不确定性，因此他提出了“模糊数学”的概念来对事物间的关联进行描述，因此模糊数学的理论便是以模糊集为基础。

（一）集合及其特征函数

1、集合

论域E 中具有的属性P 元素作为一个整体称为集合。

（ⅱ）集合的运算

集合中常用的运算包括：交（∩）、并（∪）、补

2、特征函数

对于论域E 上的集合A 和元素x ，如有以下函数：

()()的特征函数为集合则称当当A ,0,1x A

x A

x x A A μμ⎩⎨⎧∉∈=

特征函数表达了元素x 对集合A 的隶属程度。可以用集合来表达各种概念的精确数学定义和各种事物的性质。

（二）模糊集合

查德以精确数学集合论为基础，推出“模糊集合”的概念，用作表现模糊事物，在模糊集合中建立运算及其运算规律。在模糊集合中，元素与集合的关系不单单只是“属于”或“不属于”，从属条件不再是“0”或“1”，有明确的界限，而是介于“0”和“1”之间，存在过度的元素。

1、概念的模糊性

许多概念集合具有模糊性，例如：

年龄：年轻、年老

成绩：好、差

外貌：美、丑

身高：高、矮

头发：长、短

2、隶属度函数

如果一个集合的特征函数

()A x μ不是{0,1}二值取值，而是在闭区间[0，1]中取值，则()A x μ是表示一个对象

x 隶属于集合A 的程度的函数，称为隶属度函数。 ()()⎪⎩

⎪⎨⎧∉<<∈=A x A

x x A x x A A 当在一定程度上属于当当,0,10,1μμ

隶属度函数用精确的数学方法描述了概念的模糊性。

3、模糊子集 ① 设集合A 为集合U 的一个子集，x 为U 中的任意元素，用隶属度函数()A x μ来表示x 对A 的隶属程度，则称A 是U 的一个模糊子集，记为

{(),}A i i A x x μ=。模糊子集通常简称模糊集。其中模糊集 A 是由隶属函数()

A x μ唯一确定，一般将二者看为等同的。

② 模糊集可以用下式表示

1° Zadeh 表示法