由一道课本习题引发的思考

［ｓ０ １ ２］ 争ｉ一ｃ …ｓ） ｎ 帆（ ２１
：丁
相同的方法求解 ， 是否可 以归类于某一题型等。
（ ） 式练 习得 到充 分 重视 的 问题 三 变
１Ｒ （ｉ２＋ ｏｏｃｓ０一１ｎ２ ｔ 。ｓ ０ ｃｔｔｏ２ ） 丁 ｃ ｎ 。
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黑ｎ （ ｉ０ｏ ｃ２一 Ｚ （ ｓ ｓ ＋ｓ 。０ ｝ ｔ ｎ ２ ｓ Ｉ ｊ ｎ ｃ ｓ） ｉ
图 １
解 法 ２ 如图 １设 Ｂ ＝ ， Ｃ ＝ ： ， Ｃｘ则 Ｄ Ｖ
ｚ于是 ，
ｓ ｃ． ／ Ｄ ｃ、
＝
￣ ％ ｘ： ， 仅当 ＜ｘ４２ｚ２２ 且 Ｒ 一Ｒ 当 －
Ｚ
２ 时即 ＝ ／ － 、
， 等号成立 ， 时矩形 Ａ Ｃ 此 ＢＤ
圈 ３
有 最 大面 积 ， ２ ２ 形 也 变 成 了一 个 正方 形 。 是 Ｒ 矩
的 时候 ， 积 最 大 。 面
解 法 ２ 如 图 ２ 同解 法 １ 设 Ａ ＝ ， 据 对 称 性 ： ， ， Ｂ ｘ根
有 Ｂ ： Ｂ２ ／ Ｃ２ ： 、 ０
ｚ尺 —。 ＝ ｚ 即 ＝
≤２ ： ｚ ｘＲ ： ，当且仅当 ＋ Ｒ
时 ，矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 面 积 最 大 。
Ｒ￣ｏ ｄ ｔ
＝
题 目的条件使之成立等等 。 这就是探究挖掘 的重点 ，
也 是 我 们 通 常所 说 的变 式 练 习 。 数 学 教 学 中 ， 式 在 变
由于 ０ （ ， ＜ｔ Ｉ ＜ 所以， 一００即 导 练 习 是 习题 教 学 的 重 要 内容 ，也 是 能 否 让 学 生 深 化 当 ２ ， ＝ ＝
问题 考 查 的 对 象 ， 后 寻 找 解 题 的 办法 ， 时 要 注 意 然 这 解 法 的 多样 性 ， 选择 的灵 活性 ， 后 便 可解 题 了 。 然 解题
解 ： 接 Ｏ ， ／Ｃ Ｂ Ｏ 则 Ａ Ｃ Ｏ ｓ 连 Ｃ设 Ｏ ＝， Ｄ＝ Ｂ＝ Ｃ・ｉ ｎ
ＣＯＢ＝ ｓｎＯ． Ｒ ｉ ＯＢ＝ ＯＣｅ Ｓ ＣＯＢ＝Ｒｃ ｓ Ｏ ｏ Ｏ。
ＡＢ＝０Ｂ一（ ＝ ｏ Ｏ Ｍ Ｒｃ ｓ ￣Ｒｃ ｔ ｓｎ ｏ 仅 ｉ ０．
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱＳ
Ｄ・ ＝ ｓ ０ （ ｃ ｓ一 ｃｔ 【ｉ０ ＡＢ Ｒ ｉ － Ｒ ｏ０ Ｒ ｏ ０ｓ ） ｎ ｎ ： ｓ ０ｏ ０ ｃｔ 【ｉ ０ Ｒ （ｉ ｃｓ 一 ｏ ０ ｓ ２ ） ｎ ｎ
论， 反思与 以前所解那些题有无关联 ， 是否可以采用
（ ） 何 利 用课 本 习题 的 问题 二 如
有了正确的定位 ， 我们就要看利用 的问题 了。近 年来的高考题 中， 不乏从课本改编来的试题 ， 这说明
课 本 习 题是 命 题 的源 头 ， 应受 到 重视 。利用 课 本 习 理
圈 ４
题， 首先应解决 的是分析的问题 。 通过分析问题 ， 搞清
我们 的做 法 通 常 是 ：讲 完 新 课 之 后把 课 后 习题 布置 给 学 生 ， 后 根 据 学 生做 题 的情 况 进 行 讲评 ， 然 这 对 新 课 的巩 固学 习具 有 一 定 的 积 极作 用 ，也 从 另 一
个角度加速 了学生对新知识学习的消化吸收 ，但它
的局 限 性 是 不能 充 分 发 挥 教 材 习题 的作 用 ，不 能 利 用 有 效 的 资 源去 激 发 学 生更 大 的学 习热 情 ，也 就 只 能 是 就 课本 教 课 本 。 面对 这 种 情 况 ， 们 希 望 找 到更 我
于是 Ｏ ＡＤ・ｏ／ Ｄ Ａ＝ ｓ ０ ｏ ． Ａ＝ ｃ ｔ＿ Ｏ Ｒ ｉ ｃ ｔ ＿ ｎ
。 ． ．
不但要求规范 ， 而且叙述过程应该精练 ， 符合相应 的 逻辑关系。解完一道题并不是简单的结束 ， 如何利用 好习题关键在于解题后的反思 ， 反思解题过程是否合
理 ， 思 解 法 是 否 有其 他 形 式 ， 思 能 否 得 出 新 的 结 反 反
也即 ＡＢ ＝－ ￣
－
２
２
Ｒ， Ｃ Ｘ ２ Ｒ时 矩 形 的 面积 最 大 。 Ｂ ：／－
探究二 ： 图 ３扇形 Ｏ 如 ， ＭＮ 中 ， ￣ＭＯ ＝ ０ ， Ｎ ９ 。 半
径 为 Ｒ， 四边 形 Ｂ Ｃ是 矩 形 ， Ｃ分 别 在 Ｏ 、Ｎ Ａ、 Ｍ Ｏ 匕， 点 ＭＮ Ｌ＿ 求 矩 形 ０ 日 Ｂ 试 ｃ面积 的最 大 值
Ｏ Ｒ ｓ 。 Ａ＝ ２ 魄 ｓ ｉ 矩形 ｏ Ｂ Ａ ｃ的匾 瞅 ２ ｎ删 ｓ２ ｉ ， Ｏ Ａ硼 萌 毗
ＢＣ两点 在 半 圆直 径 上 ，根 据 圆 和矩 形 的对 称 性 知 ， 、 Ｏ Ｂ＝Ｏ ， ＡＯ ＝ ， ＡＢ Ｒ ｉ０ Ｃ ２） ＝ ｏ Ｃ设 Ｂ Ｏ 则 － ｓ ， ＝ （ ２ ｃｓ， ｎＢ 曰
探 究一 ： 一 段 半 径 为 Ｒ 的半 圆 形 木 料 锯 成 截 把 面 为 矩 形 的木 料 ， 形 的 一 边 在 半 圆 直 径 上 ， 截 矩 矩 所
形的面积最大值是多少？ 解 法 １如 图 ２矩形 Ａ Ｃ ： ， Ｂ Ｄ的 Ａ、 Ｄ两点 在 圆弧上 ，
解 ： Ｚ Ｂ Ｏ Ｉ Ｂ Ｒ ｉＯ Ａ Ｒ ｏ０ ｏ － ・ 设 ＡＯ ＝ ，］ ＝ ｓ ， ＝ ｃ ｓＳＡ＝ ￣Ａ ｎＯ ， ￣ ＡＢ
生 的学 习效 率 。
（ ） 何对 待 课 本 习题 的 问题 一 如
在 数 学 教 学 中 ， 别 是 在 强调 课 堂 改 革 的今 天 ， 特 引 导学 生 发现 问题 的不 同解法 ， 究 不 同方 向 的发 散 探 思 路 ， 以帮 助 学 生从 不 同 角度 思 考 问 题 ， 而 提 高 可 从 思维 的广度 和 深 度 ， 效 地 解 决学 生从 单 一 方 向思 考 有 问题 的局 限 。现 在 的数学 问题 一般 都 有不 同的解 法 ， 在 适 合学 生 接 受 的基 础上 ， 调 一 般解 题方 法 和 规律 强
面积 的最 大值 。
好 的处 理 课 本 习 题 的 方法 ，这 实 际 上 又 回到 了教 材 处 理 的 问题 。因 此 ， 教 材 的 处理 过 程 中 ， 们 应 该 在 我 充 分 考 虑 到 教材 习题 ，把 如 何 去利 用 它 作 为 教 材 处
理的一个重点 ， 因为这样有助 于新知识的掌握 。 至于 如何处理 ， 就要视教师个人 的情况而定。
Ｂ ｓ ＝ Ｒ ｉ ， Ｃ Ｂ ｏ Ｏ ２ ｃ ｓ ，所 以 ＳＢ ＝ Ｄ・ Ｄ ｉ ２ ｓ ０ Ｂ ＝ Ｄｃ ｓ＝ Ｒ ｏ Ｏ ｎ ｎ Ｃ ∞
８ 《 ）
图 ２
Ｃ
所以，截 当ｓ２ ｌ ｝ 时， 积 所 矩形 ｉ０ ， ｎ＝ 即 面 最
大， 时Ａ 此 Ｒ， Ｃ 、厂 尺最 大 面积 是 。 Ｂ ＝／ ２
学习的重要手段。我们 可以通过改变条件 、改变结
时 ， 咖 最 大 ， 最大 值 是 Ｒ （ｓ — ｏ ｏ 其 一 ｃｃ ｃｔ
二
论、 变换图形等方式来造就新的题 目， 给学 生创造 阶
梯式 的问 题 让 学 生 去攀 登 ，这 样 才 会 使 学生 的创 造 能力 得 到 提 高 ， 维 灵 活 性 得 到 提升 。 思
ｃｓ 仅一 ０ 一１脓 。０ ｏ（ ２ ） ｔ【
Ｓｌ ｎ
通 过 解 题 后 的 反思 ， 我们 还 应 考 虑 到 一 个 问 题 ， 那 就 是 此 问 题 还 能不 能变 更 结 论 ，或 者 改变 题 目的 某 一 条 件 ， 论 怎 样 变 化 ， 不 改 变 结 论则 如 何 改 变 结 若
的基础上 ， 师应该注重对学生 的有效引导 ， 教 让学生
在 自觉 的 基 础上 去 领 悟数 学 问题 的解 决 方 法 。
（ 者 单位 ： 肃 省 华 亭县 第二 中学 ） 作 甘
插２｝ 旬 （学 究 ３霜学 下 刊教 研 ）
｛
２ １ 年第 ３ ０１ 期
；
教 学 相
麓
由一道 课 本 习题 引发 的思 考
晓 泉
一
、
对 课 本 习题 的 探 究
ＳＡ Ｍ
Ｂ・ ＢＣ＝ Ｒ２ｉ ｃ ｓ ＝Ｒ ｉ２０ ２ ｓｎＯ ｏ Ｏ ｓｎ
数 学 习题 课教 学 是 数 学 教学 的 主 要 内 容 ，充 分
利用教材 ， 挖掘教材习题 的利用价值 ， 对其进行深入
（ ） 四 一题 多解 有 利 于发 散 学 生 的 思 维 ， 高 学 提
生 的 学 习水 平
二 、 学 思 考 教
．
由以上 探 究 过 程 可 以 看 出 ， 要教 师细 心 钻 研 ， 只
对 教 材 的 习题 进 行 深 入 的 探讨 和研 究 ，就 能 达 到 活
用教材的 目的， 从而更好地发挥教材的作用 ， 提高学
Ｂ ＝ Ｒｓ ０ ２ ｃｓ＝ Ｒ ｓ ２ ， 此 ， ２ ＝ ０ 时 ， Ｃ ２ ｉ ・Ｒ ｏ０ ２ ｎ ０ 因 ｎ ｉ 当 ０９。
Ｊ 的 值 最 大 ， ２ 此 时 矩 形 Ａ Ｃ ｓ 是 Ｒ， Ｂ Ｄ变 成 一 个 正 方形 。 所 以 ， 当把 截 面 为 圆形 的 木 料 截 成 一 个 正 方 形
探 究三 ： 图 ４ 扇形 Ｏ 如 ， ＭＮ中 ， ／ＭＯ ＝ （ ＜ ＜ Ｎ Ｏ ）半 径 为 Ｒ， 边 形 Ａ Ｃ 是 矩 形 ， Ｂ两 点 在 ， 四 ＢＤ Ａ、
２ １ 年 第 ３期 ０１
稀首 下 刊（ 学 究）插２ 旬 教 研 ｝ ２
Ｏ 上 ， 在上 ， 在 Ｏ Ｍ Ｇ点 Ｄ点 Ｎ上 。 求 矩 形 ＡＢ Ｄ的 试 Ｃ
探 究 ， 而 提 高 学 生 的 解 题 能 力 。 以 人 教 版 高 中数 从 现 学 第 一 册 （ ）５ 下 Ｐ ２第 ４题 为例 来 进 行 说 明 。
原 题 ： 一 段 半径 为 Ｒ 的 圆 木 锯 成 横 截 面 为 矩 把 形 的 木 料 ， 样锯 法 能使 横 截 面 的 面 积 最 大？ 怎 解 法 １ 如 图 １矩 形 Ａ Ｃ ： ， Ｂ Ｄ是 ０ ０的 内 接 矩 形 ， 则 Ｂ 是 ００ 的 直 径 ， 设 ＬＤ Ｃ Ｏ 于 是 有 Ｃ Ｄ Ｂ ＝， Ｄ＝