贝叶斯公式与全概率公式的运用

1-3 全概率公式与贝叶斯公式的运用举例一、全概率公式

A1,A2…A i是一个完备事件组并且P(A i)>0(i=1,2,3…n),则对任意事件B有

P(B)=∑P(A i)P(B|A i)

n

i=1

全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求出最后结果的概率，解题步骤如下：

①找出条件事件里的某一个完备事件组，分别命名为A i

②命名目标的概率事件为事件B

③带入全概率公式求解

下面是具体实例对全概率公式的运用

1、甲盒子里面有4个红球3个白球，乙口袋有2个红球，5个白球，从甲口袋随机拿出一个球放到乙口袋，然后从一口袋中随机拿一个球，求这个球是红球的概率。

解：①完备事件组命名A1=“甲口袋里拿出的是红球” A2="甲口袋里拿出的是白球”

②目标事件B=“从乙里面取出红球”

③全概率公式求解

P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=4

7×3

8

+3

7

×2

8

=9

28

2、甲袋中有5只白球, 7 只红球;乙袋中有4只白球, 2只红球.从两个袋子中任取一袋, 然后从所取到的袋子中任取一球,求取到的球是白球的概率.

解：①完备事件组命名A1=“取到的袋子是甲袋” A2="取到的袋子是乙袋”

②目标事件B=“从袋子里面取出白球”

③全概率公式求解

P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)=1

2×5

12

+1

2

×4

6

=13

24

3、某射击小组共有20名射手,其中一级射手4人, 二级射手8人, 三级射手7人, 四级射手1人. 一、二、

三、四级射手能通过选拔进入比赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2 . 求任选一名射手能通过选拔进入比赛的概率.

解：①完备事件组命名A i=“选到的射手是i级射手”

②目标事件B=“射手通过选拔赛”

③全概率公式求解

P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)+ P(A4)P(B|A4)

=1 4×9

10

+1

4

×7

10

+1

4

×1

2

+1

4

×1

5

=23 40

二、贝叶斯公式

A 1,A 2…A i 是一个完备事件组并且P (A i )>0(i =1,2,3…n ),则对任意事件B[P (

B )>0]有

P(A i |B)=P (A i )P(B|A i )

∑P(A j )P(B|A j )n j=1

贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求出事件过程的某个条件成立的概率，解题步骤如下： ①找出目标条件所在的完备事件组，并命名

②命名已知会发生的结果事件

③带入贝叶斯公式求解

下面是具体实例对全概率公式的运用

4、某学生接连参加同一课程的考试两次，两次相互独立，第一次及格的概率是P ，如果第一次及格，那么第二次及格的概率也是P ，如果第一次不及格，那么第二次几个的概率就是P 2,如果他第二次考试及格了，求第一次考试及格的概率

解 ：①完备事件组命名A 1=“第一次考试及格”A 2="第一次考试不及格"

②目标事件B=“第二次考试及格”

③贝叶斯公式求解

P (A 1|B )=

P(A 1)P(B|A 1)P(A 1)P(B|A 1+P (A 2)P(B|A 2)=P×P P×P+(1−P)P 2=2P P−1

5、 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率。

解 ：①完备事件组命名A 1=“汽车是货车”A 2="汽车是客车"

②目标事件B=“汽车停车修理”

③贝叶斯公式求解

P (A 1|B )=

P(A 1)P(B|A 1)P(A 1)P(B|A 1+P (A 2)P(B|A 2)=23×0.0223×0.02+13×0.01=45

6、甲袋中有4个红球，3个白球，乙袋中2个红球，5个白球，从两个袋子里任取一个袋子出来，然后从这个袋子里面拿出一个球，结果是红球，求这个球是从甲袋取出来的概率。

解 ：①完备事件组命名A 1=“红球是从甲袋取出来的”A 2="红球是从乙袋取出来的"

②目标事件B=“取到红球”

③贝叶斯公式求解

P (A 1|B )=P(A 1)P(B|A 1)

P(A 1)P(B|A 1+P (A 2)P(B|A 2)=47×1247×12+27×12=23