Stirling公式参数_的一个精确估计

引理 2 [5 ] 当 n Ε 1 为整数时 , (Ⅰ ) B n′ ( x ) = nB n - 1 ′ ( x ) ( 0 < x < 1) , ( Ⅱ ) | B 2 n ( x ) | Φ| B 2 n | ,
(Ⅲ ) ( - 1) n +1 B 2 n > 0 , (Ⅳ ) B 2 n - B 2 n ( x ) 与 B 2 n 同号 .
k
i =1
∑2 i (2 i -
B2i
) B 2 k - B 2 k (ξ 1 + 1) n2 i - 1 2 k ( 2 k - 1) n2 k - 1
式 ( 8) 中用 k + 1 代替 k 得 δ n = 比较 ( 8) , ( 9) 两式得
) ) B 2 k - B 2 k (ξ B2 k B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ 1 + . 2 k- 1 = 2 k ( 2 k - 1) n2 k - 1 ( 2 k + 2) ( 2 k + 1) n2 k +1 2 k ( 2 k - 1) n ) ) - B 2 k (ξ B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ . 2 k- 1 = ( 2 k + 2) ( 2 k + 1) n2 k +1 2 k ( 2 k - 1) n ) 与 B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ) 异号 ,由于 ( 引理 2) 当 k Ε 1 时 B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ) 与 B 2 k +2 同号 , B 2 k 因此 B 2 k (ξ ′ ′
∫
n
+∞
B 2 k ( t) 2k d t = 2 kt
i =1
∑(2 i ) !
B2i
( 2 i - 2) !
n
k- 1
2i- 1
) - B 2 k (ξ
∫ 2 kt
1
2k
dt ( 8)
∑
B2i 1 1 ) - B 2 k (ξ 2 k- 1 = 2 i ( 2 i - 1) n2 i - 1 ( 2 k 2 k - 1) n
x G1 ( x )
2
10080[ (α x + 12) - 0. 25 x ]
2
2
2
.
令 α = 1Π 3 ,当 0 < x Φ 1Π 2时, 2 4 6 G1 ( x ) = 2226 - 15607 x Π 3 - 902 x Π 3 - 40 x Π 9 > G ( 1Π 2) = 8159Π 9 > 0 . 从而 f ′ 1 ( x ) > 0 ,因而得 f 1 ( x ) > 0 ,同时注意到式 ( 11) ,所以当 n Ε 2 时 ,式 ( 7) 的右边不等式成立 ,直 接可以验证当 n = 1 时也成立 ,从而证明式 ( 7) 右边不等式成立 . 通过计算可得
1 ) . 1999 年 ,徐利治教授 [3 ] 又利用 ( 3) 得到一个新的不等式 12 n - 1 1 1 ) < n ! < rn ( 1 + ) 12 n 12 n - 0. 5
[4]
rn ( 1 +
( 4)
并指出 ( 4) 中的常数 0. 5 是最佳的 . 2000 年 ,谢庭藩教授
rn ( 1 +
又证明了当 n Ε 10 时
( 5)
1 1 1 1 ) < n ! < rn ( 1 + ) + + 12 n 288 n2 + 249. 2 n 12 n 288 n2 + 222. 4 n
而且 ( 4) 中的常数 222. 4 是最佳的 . 本文将利用 Euler — Maclauring 公式得到 θ一个精确公式 θ n - n ) , 则当 k Ε 1 时 , 定理 1 记 rn = n e 2πn , n ! = rn exp ( 12 n θ= 1 12 B 2 k 12 B 2 k +2 1 1 (θ 1 1 ∈ ( 0 ,1) ) 2 + 4 - …+ 2 k- 2 + θ 2 k ( ) ( 30 n 105 n 2k 2k - 1 n 2 k + 2) ( 2 k + 1) n 1 + 1 293 < n ! < rn 12 n - 0. 5 + 720 n 1 + 1 12 n - 0. 5 + 1 3n ( 7) ( 6)
应用级数理论证明 θ的一个双边不等式
1 1 1 1 2 < θ < 1 2 + 4 30 n 30 n 60 n
∞ ∞
( 2)
1997 年 ,徐利治教授
[2 ]
建立了一个等式
n ! = rn exp
k = n j=2
∑∑
j - 1 2 j ( j + 1)
- 1
k
j
( 3)
并由此推出了 rn < n ! < rn ( 1 +
0 引 言
记 rn = n e
n
- n
2πn ,熟知的关于阶乘估计 Stirling 公式是
n ! = rn exp (
θ
12 n
) .
( 1)
式中的 θ = θ( n) ∈ ( 0 ,1) ,许多学者对 exp (
1997 年 ,彭求实
[1]
θ
12 n
) 有很多的讨论 ,目的是使 n !有更精确的估计 .
F ( n)
k
引理 3
[5 ]
) 上有连续的 ( 2 n + 1) 阶导数 ,则 ( Euler — Maclauring) 设 F ( x ) 在 [1 , + ∞
F ( 1)
∫
1
n
F ( t) d t =
2
+ F ( 2) + … + F ( n - 1) +
Rk =
2
n
-
i =1
∑(2 i ) ![ F
第 23 卷 第 3 期 佳 木 斯 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 2005 年 07 月 Journal of Jiamusi University (Natural Science Edition)
文章编号 :1008 - 1402 (2005) 03 - 0331 - 04
i =1
∑2 i (2 i -
B2i
) B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ 1 2i- 1 + ) 1 n ( 2 k + 2) ( 2 k + 1) n2 k +1
( 9)
第3期
赵岳清 :Stirling 公式参数 的一个精确估计
333
) 与 B 2 k 同号 与 B 2 k +2 异号 ,所以 B 2 k (ξ ) | = | B 2 k | - | B 2 k (ξ ) | Φ| B 2 k | 0 Φ| B 2 k - B 2 k (ξ ′ ′ ) | = | B 2 k +2 | - | B 2 k +2 (ξ ) | Φ| B 2 k +2 | . 式 ( 10) 中用 k + 1 代替 k 得 0 Φ| B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ ′ ) B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ 则θ 1 ∈ ( 0 ,1) . B 2 k +2
θ = 12 n δ n = 1 -
12 B 2 k 12 B 2 k +2 1 1 . 1 2 + 4 - …+ 2 k- 2 + θ ( 2 k + 2) ( 2 k + 1) n2 k 30 n 105 n 2 k ( 2 k - 1) n
定理 1 证毕 . 定理 2 的证明 在定理 1 中取 k = 3 得到 1 1 1 1 1 1 1 ) < n ! < rn exp ( ). rn exp ( + + 12 n 360 n3 1260 n5 1680 n7 12 n 360 n3 1260 n5 3 5 1 x x x ) - ( ) , 令 f 1 ( x ) = ln ( 1 + + α x - 0. 5 + 12Π x 12 360 1260 3 5 7 1 x x x x ) - ( ) , f 2 ( x ) = ln ( 1 + + β x - 0. 5 + 12Πx 12 360 1260 1680 易知 f 1 ( 0 + ) = f 2 ( 0 + ) = 0 ,
B2i
(2 i - 1)
( n) - F
(2 i - 1)
( 1) ] + Rk
其中
∫
1
n
B 2 k ( t ) (2 k) ( t) d t = F (2 k) !
∫
1
B 2 k +1 ( t ) (2 k +1) ( t) d t . F ( 2 k + 1) !
2 定理的证明
定理 1 的证明 取 F ( t ) = ln t ,则 F
(2 k - 1)
( t) =
k
( 2 k - 2) !
t
2 k- 1
,F
(2 k)
( t) =
( 2 k - 1) !
t
2kFra Baidu bibliotek
n
,由引理 ( 3) 得
nln n - n + 1 = ln2 + … + ln ( n - 1) + ln nΠ 2-
i =1
∑
B 2 i (2 i - 2) ! [ - (2 i - 2) !] + 2i- 1 (2 i ) ! n
定理 2 当 n Ε 1 , rn
收稿日期 :2005 - 04 - 27 基金项目 : 浙江省自然科学基金资助项目 (M103083) . 作者简介 : 赵岳清 (1965 - ) ,男 ,浙江台州人 ,台州学院数学系讲师 ,主要从事数值逼近 、 数值计算研究 .
332
佳 木 斯 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 )
293 是最佳的 . 720
2005 年
并且式中的系数
1 引 理
为了证明定理 1 ,我们需要下述引理 引理 1 设 n Ε 1 记 δ n = ln n ! - ln rn , 则 limδ n = 0.
n →∞
( 12 n ) θ ∈ ( 0 ,1) , 所以 limδ 证明 : 由 ( 1) 得 ln n ! = ln rn + θ Π n = 0. 引理 1 证毕 . n →∞
f′ 1 ( x) =
(11)
12 - α x 2 2 (α x + 12) - 0. 25 x
2 2
2
1 x x + 12 120 252
2 2 2 4 2 6
2
4
= =
) + ( - 5781 + 2016α - 840α ) x + ( 10 - 960α + 84α ) x - 40α x x [42 ( 293 - 720α (12) 2 2 2 10080[ (α x + 12) - 0. 25 x ]
Vol . 23 No. 3 J uly 2005
Stirling 公式参数θ的一个精确估计
赵岳清
1 ,2 (1. 浙江大学 数学系 , 杭州 310028 ; 2. 台州学院 数学系 ,浙江 临海 317000)
摘 要: 应用著名 Euler — Maclauring 公式 , 给出了 Stirling 公式参数θ的精确估计 , 并得到阶乘的一 个双边不等式 ,改进了文献 [ 1 , 2 ] 中的一些结果 . 关键词 : Stirling 公式 ; 阶乘 ; 贝努利函数 ; 贝努利数 中图分类号 : O173. 1 文献标识码 : A
k
∫
1
B 2 k ( t ) (2 k) F ( t) d t . (2 k ) !
n
所以 δ Π 2) ln n + n - ln n = ln n ! - ( n + 1 令 n → ∞得 0 = - ln 上面两式相减得 :
k
2π = - ln
k
2π + 1 +
i =1
∑(2 i ) ![
1
B2i
设 B n ( x ) 是贝努利函数 数.
[5 ]
, B n = B n ( 0) 是贝努利数 ( B 0 = 1 , B 1 = - 1Π 2 , B 2 = 1Π 6 , B 4 = - 1Π 30 , B 6
= 1Π 42 , B 8 = - 1Π 30 , …; 当 n Ε 1 时 , B 2 n +1 = 0) ,记 B n ( x ) 是 B n ( x ) 在 [0 ,1) 上经周期延拓后的周期函
k i =1
(10)
记θ 1 =
从而得 δ n = 即
∑
) B2i B 2 k +2 - B 2 k +2 (ξ ′ 1 = 2i- 1 + 2 k +1 2 i ( 2 i - 1) n 2 k ( 2 k - 1) n
k
i =1
∑2 i (2 i -
B2i
1) n
2i- 1
1
+
θ 1 B2 k 2 k +1 . 2 k ( 2 k - 1) n
(2 i - 2) !
n
+∞ 2i- 1
- (2 i - 2) !] +
∫2 kt
1
B 2 k ( t)
2k
dt.
2π + 1 +
i =1
∑
B2i [ - ( 2 i - 2) !] + (2 i ) !
k
∫
B 2 k ( t) 2k d t. 2 kt
+∞
n
δ n =
=
i =1 k
∑
i =1
B 2 i ( 2 i - 2) ! 2i- 1 (2 i ) ! n