一个圆轮滚动问题的讨论
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ＣＵＩ Ｃ
ｌ Ｕ Ｉｊ
Ｃ ｈｎ Ｉ８ Ｅｄ ｃａｔｏｎ Ｉ ｏｖ １ Ｈｅｒ ｄ ｕ ｉ ｎｎ ｓｔｏｎ ａＩ
理 论 前 沿
一
个 圆轮 滚 动 问题 的讨 论 ①
姜 芳 （ 北京林 业大学 工学 院 北 京 １ ０ ８ ０ ３） ０
摘 要： 一半径 为 的均质 圃轮放在粗糙的水平地 面上 ， 有初始平移的速度 和初 始的 角速度 ‰ ， Ｖ 且 ０≠Ｒｏ 圈轮 不受其它主动 力或主 动 ￣ ｏ， 外 力偶作 用， 讨论 了卧艳的运 动及对应的 受力情况 。 第一 阶段 ， 两轮作又滚 又滑的平 面运 动 ， 受滑动摩擦 力作 用， 到质心平移的速度 直 与圃轮 转动的 角速 度 ∞ 满足 ｖ ＝ ｃ 第二 阶段 圃轮作纯滚 动， ｒ Ｒ ｏ； 若不考虑滚动摩阻的 影响 ， 圃轮 不受静 摩擦 力作 用， 一直 以 和 ∞ 匀速运
动状 态 ， 中心 的 速 度 将 达 到 ｖ 轮 。
２． 圆轮 ｔ时刻 以后 的运动 分析 ３ ２． １不 考 虑 滚 动 摩 阻 的 影 响 ３． 从 ｔ时 刻 开 始 ， 圆轮 将 作 纯 滚 动 ， 因此 轮 与地 面 的接 触 点Ｐ的 速 度 ｖ 零 ， 与 地 为 轮 静 摩擦 力 。 不 考 虑 滚 动摩 阻的 影 响 ， 为 若 认
放 在 粗 糙 的水 平 地 面上 。 其 质心 ｃ 设 的初 速
度 为 ｖ 方 向 水 平 向 右 ； 时 有 顺 时 针 方 向 ， 同
程 中作 用有 二 ： 方 面 阻 碍 圆 轮 的 平移 ； 一 另
一
２ 理 论 分 析
如 图２ 示 ， 初 瞬 时 圆轮 与 地 面 的 接 所 设
方 面 又 使 圆 轮 加 速 转 动 。 就 意 味 着 从 这
转 动 的初 始 角速 度 ， Ｖ ≠ 且 ｏ ‰ 。 圆轮 ２． 圆轮 初 瞬时 的运 动分析 若 １
初瞬时开始 ， 质心 平 移 的速 度 将 越 来 越 小， 圆轮 转动 的 角 速 度 将 越 来 越 大 ， 至 直 Ｖ＝ Ｃ ∞ ， 作纯 滚 动 。 积 分式 （ ） （ ） 有 ： 现 ７ 、８ ，
这 就 是 原 题 的 求 解 过 程 ， 轮 从 初 瞬 圆
时 经 过 时 间 ｆ 后 将 进 入 只 滚 不 滑 的 纯 滚 以
２． 圆轮 从 又滚 又 滑至 纯滚 动 过程 的动 力 ２ 学 分 析 对 圆 轮 作 受 力 分 析 ： 力 ｍ ， 向 支 重 ｇ 法 持 力 ， 动 摩 擦 力 ， ， 向 与 ｖ 方 向 相 滑 方
动下去 ， 满足惯性 定律 ； 若考 虑滚 动摩 阻的作 用， 轮 将 受静摩擦 力和 滚动摩阻 力偶的作 用减速 作纯滚动， 圃 直至停止 ， 损失的动能将转化 为
滚 动摩 阻 力偶 矩 的 功 。
关键 词 ： 圈轮 纯滚动 滑动摩擦 力 静摩擦 力 滚动摩阻 中图分 类号 ： １ ４ Ｏ３ ３． 文 献标 识码 ： Ａ
式 中 ， 为 Ｐ点 的速 度 ； 为 质心 Ｃ的速 度 ， 初瞬 时 ， ｃ＝Ｙ ＹＣ Ｐ点相 对 点 的 在 ｖ Ｏ｝ Ｐ 为
譬 Ｄ
（） 、 一 １ ０ 一
（） …１ １
（２ １）
代入纯滚动条件 Ｖ ｃ＝Ｒｃ 得 ： ｏ，
速 度 ， 初 瞬 时 ， ｐ ＝Ｒ 。 在 Ｖ 。 ‰ 式 （ ） 水 平 方 向 投影 ， １沿 有
时 通 常 会 给 学 生 布 置这 样 一 道 作 业 题…： 如 分 方 程 和 动 能 定 理 对 该 问题 作 一简 要 的分
图 ｌ 示 ， 质 圆 轮 的 半 径 为 Ｒ ， 量 为 １， 所 均 质 ２ １ ＂
析。
等 Ｄ
、 （ ８ ）
显然 滑 动摩 擦 力 ，在 圆轮 的此 运 动过
ｖ Ｐ＝Ｖ Ｐ ｃ—Ｖｃ＝Ｖ 一Ｒ（ ０ ｏ ｏ （） ２ 假 设 ＞Ｒｏ 则 ｖ ｃ ０， ＞０ ，方 向 水 平 向 右， 圆轮 相 对 地 面 有 水 平 向 右 的 滑 动 ， 因此 在初瞬时轮 作又滚又滑的平面运动 。
‘ 唐ｆ ｒ Ｐ ＋ １ ：
：—
约 束 系统 ， 动 力 和 约 束 力 又 均 不 做功 ， 主 那
Ｖ Ｃ＝Ｙ 一磨ｆ Ｏ
∞ ：‰ ＋
与 平 面 间 的 动 摩 擦 因 数 为 厂 ， 对 于 质心 相
才 能 只 滚 不 滑 地 向前 运 动 ， 求 该 瞬 时 圆 并
ｃ 回转 半 径 为 Ｐ ， ： 的 问 经过 多 长时 间 ， 圆轮 触 点 为Ｐ， 由平 面运 动求 速 度 的基 点法 ， 有
Ｖ Ｐ＝Ｖ ｃ＋Ｖ （） １
（） ９
轮 中心 ｃ 速 度 。 的 在 解 题 过 程 中 ， 生 经 常 会 有 如 下 两 学 个 疑 问 ； 是 圆 轮 到 达 纯 滚 动 状 态 以 后 将 一
如 何 运 动 ？ 是 实 际 生 活 中 圆轮 最 后 会 停 二 止 ， 能 归于 零 ， 作 纯 滚 动 的 圆轮 为理 想 动 而
文章编号 ： ６ —９ ９ （ ０ ）５ ａ一０ ０ －０ １ ７ ２ １ ０ （） １ ２ ３ ７５ ２ Ｏ
ａ ｃ＝唐
ａ ：
１ 问题 的 提 出
理 论 力学 课 程 在 讲 完 动 量矩 定 理 一 章
么损 失 的 动 能 哪 里 去 了 ？ 图 １ 如 。
（） ７
下 面 运 用 运 动 学 的 知 识 、 面 运 动 微 平
反。 运动 分析 ： 质心 平移 的加 速 度 和 圆
圆轮 列 写平 面 运 动微 分方 程 ， ： 有
若存 在 摩 擦 力 ， 定 是 一 轮 转 动 的 角 加 速 度 ｎ ， 向 如 图３ 示 。 方 所 对 面 间无 相 对滑 动 ，
口 Ｆ ＝
０＝ —ｍｇ
那 （） 圆 轮 与 地 面 为 刚 性 接 触 ， 么 这 个 静 摩 擦 ３ 来自百度文库
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理 论 前 沿
一
个 圆轮 滚 动 问题 的讨 论 ①
姜 芳 （ 北京林 业大学 工学 院 北 京 １ ０ ８ ０ ３） ０
摘 要： 一半径 为 的均质 圃轮放在粗糙的水平地 面上 ， 有初始平移的速度 和初 始的 角速度 ‰ ， Ｖ 且 ０≠Ｒｏ 圈轮 不受其它主动 力或主 动 ￣ ｏ， 外 力偶作 用， 讨论 了卧艳的运 动及对应的 受力情况 。 第一 阶段 ， 两轮作又滚 又滑的平 面运 动 ， 受滑动摩擦 力作 用， 到质心平移的速度 直 与圃轮 转动的 角速 度 ∞ 满足 ｖ ＝ ｃ 第二 阶段 圃轮作纯滚 动， ｒ Ｒ ｏ； 若不考虑滚动摩阻的 影响 ， 圃轮 不受静 摩擦 力作 用， 一直 以 和 ∞ 匀速运
动状 态 ， 中心 的 速 度 将 达 到 ｖ 轮 。
２． 圆轮 ｔ时刻 以后 的运动 分析 ３ ２． １不 考 虑 滚 动 摩 阻 的 影 响 ３． 从 ｔ时 刻 开 始 ， 圆轮 将 作 纯 滚 动 ， 因此 轮 与地 面 的接 触 点Ｐ的 速 度 ｖ 零 ， 与 地 为 轮 静 摩擦 力 。 不 考 虑 滚 动摩 阻的 影 响 ， 为 若 认
放 在 粗 糙 的水 平 地 面上 。 其 质心 ｃ 设 的初 速
度 为 ｖ 方 向 水 平 向 右 ； 时 有 顺 时 针 方 向 ， 同
程 中作 用有 二 ： 方 面 阻 碍 圆 轮 的 平移 ； 一 另
一
２ 理 论 分 析
如 图２ 示 ， 初 瞬 时 圆轮 与 地 面 的 接 所 设
方 面 又 使 圆 轮 加 速 转 动 。 就 意 味 着 从 这
转 动 的初 始 角速 度 ， Ｖ ≠ 且 ｏ ‰ 。 圆轮 ２． 圆轮 初 瞬时 的运 动分析 若 １
初瞬时开始 ， 质心 平 移 的速 度 将 越 来 越 小， 圆轮 转动 的 角 速 度 将 越 来 越 大 ， 至 直 Ｖ＝ Ｃ ∞ ， 作纯 滚 动 。 积 分式 （ ） （ ） 有 ： 现 ７ 、８ ，
这 就 是 原 题 的 求 解 过 程 ， 轮 从 初 瞬 圆
时 经 过 时 间 ｆ 后 将 进 入 只 滚 不 滑 的 纯 滚 以
２． 圆轮 从 又滚 又 滑至 纯滚 动 过程 的动 力 ２ 学 分 析 对 圆 轮 作 受 力 分 析 ： 力 ｍ ， 向 支 重 ｇ 法 持 力 ， 动 摩 擦 力 ， ， 向 与 ｖ 方 向 相 滑 方
动下去 ， 满足惯性 定律 ； 若考 虑滚 动摩 阻的作 用， 轮 将 受静摩擦 力和 滚动摩阻 力偶的作 用减速 作纯滚动， 圃 直至停止 ， 损失的动能将转化 为
滚 动摩 阻 力偶 矩 的 功 。
关键 词 ： 圈轮 纯滚动 滑动摩擦 力 静摩擦 力 滚动摩阻 中图分 类号 ： １ ４ Ｏ３ ３． 文 献标 识码 ： Ａ
式 中 ， 为 Ｐ点 的速 度 ； 为 质心 Ｃ的速 度 ， 初瞬 时 ， ｃ＝Ｙ ＹＣ Ｐ点相 对 点 的 在 ｖ Ｏ｝ Ｐ 为
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（） 、 一 １ ０ 一
（） …１ １
（２ １）
代入纯滚动条件 Ｖ ｃ＝Ｒｃ 得 ： ｏ，
速 度 ， 初 瞬 时 ， ｐ ＝Ｒ 。 在 Ｖ 。 ‰ 式 （ ） 水 平 方 向 投影 ， １沿 有
时 通 常 会 给 学 生 布 置这 样 一 道 作 业 题…： 如 分 方 程 和 动 能 定 理 对 该 问题 作 一简 要 的分
图 ｌ 示 ， 质 圆 轮 的 半 径 为 Ｒ ， 量 为 １， 所 均 质 ２ １ ＂
析。
等 Ｄ
、 （ ８ ）
显然 滑 动摩 擦 力 ，在 圆轮 的此 运 动过
ｖ Ｐ＝Ｖ Ｐ ｃ—Ｖｃ＝Ｖ 一Ｒ（ ０ ｏ ｏ （） ２ 假 设 ＞Ｒｏ 则 ｖ ｃ ０， ＞０ ，方 向 水 平 向 右， 圆轮 相 对 地 面 有 水 平 向 右 的 滑 动 ， 因此 在初瞬时轮 作又滚又滑的平面运动 。
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约 束 系统 ， 动 力 和 约 束 力 又 均 不 做功 ， 主 那
Ｖ Ｃ＝Ｙ 一磨ｆ Ｏ
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与 平 面 间 的 动 摩 擦 因 数 为 厂 ， 对 于 质心 相
才 能 只 滚 不 滑 地 向前 运 动 ， 求 该 瞬 时 圆 并
ｃ 回转 半 径 为 Ｐ ， ： 的 问 经过 多 长时 间 ， 圆轮 触 点 为Ｐ， 由平 面运 动求 速 度 的基 点法 ， 有
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轮 中心 ｃ 速 度 。 的 在 解 题 过 程 中 ， 生 经 常 会 有 如 下 两 学 个 疑 问 ； 是 圆 轮 到 达 纯 滚 动 状 态 以 后 将 一
如 何 运 动 ？ 是 实 际 生 活 中 圆轮 最 后 会 停 二 止 ， 能 归于 零 ， 作 纯 滚 动 的 圆轮 为理 想 动 而
文章编号 ： ６ —９ ９ （ ０ ）５ ａ一０ ０ －０ １ ７ ２ １ ０ （） １ ２ ３ ７５ ２ Ｏ
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１ 问题 的 提 出
理 论 力学 课 程 在 讲 完 动 量矩 定 理 一 章
么损 失 的 动 能 哪 里 去 了 ？ 图 １ 如 。
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下 面 运 用 运 动 学 的 知 识 、 面 运 动 微 平
反。 运动 分析 ： 质心 平移 的加 速 度 和 圆
圆轮 列 写平 面 运 动微 分方 程 ， ： 有
若存 在 摩 擦 力 ， 定 是 一 轮 转 动 的 角 加 速 度 ｎ ， 向 如 图３ 示 。 方 所 对 面 间无 相 对滑 动 ，
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那 （） 圆 轮 与 地 面 为 刚 性 接 触 ， 么 这 个 静 摩 擦 ３ 来自百度文库