基于模糊数学的工程项目风险分析

% &
&
ｒｉ２２ … ｒｉ２ｎ
&
&&＝（ ｂｉ１，ｂｉ２，…ｂｉｍ）
&
&
&
ｒｉｍ２ … ｒｉｍｎ
& ’
徐海丽， 袁大祥 基于模糊数学的工程项目风险分析
本刊 Ｅ－ ｍａｉｌ：ｂｊｂ＠ｍａｉｌ．ｓｘｉｎｆｏ．ｎｅｔ 科技研讨
式中： ＡＢ＝ｍａｘ［ ｍｉｎ（ ａｉｋ， ｂｉｋ） ］ ， 于是得到一级模糊矩阵：
ｒ#
# ｉ２１ #
#
#
#
ｒ#
$ ｉｎ１
ｒｉ１２ … ｒｉ１ｋ
% &
&
ｒｉ２２ … ｒｉ２ｋ
& &
&
&
&
&
ｒｉｎ２ … ｒｉｎｋ
& ’
若将各因素等级按照评价集的指标次序排序， 各因素具有相同的等
级评价矩阵（ Ｒ１＝Ｒ２ ＝…＝Ｒｎ） 。在 工 程 中 Ｋａｒｗｏｗｓｋｉ 等 提 出 的 数 据 被 广 泛
２ 模糊理论的基本概念
２．１ 模糊集
工程项目中潜在的各种风险因素很大一部分难以准确地定量描述，
但都可以利用历史经验或专家知识用语言生动地描述出它们的性质及其
可能的影响。并且， 现有的绝大多数风险分析模型是基于定量分析， 而与风
险分析相关的大部分信息很难定量描述， 却易于定性描述， 这种性质适于
采用模糊数学模型来研究。模糊数学法是利用模糊集理论来分析问题的一
) , ０．３ ０．４０ ０．２６ ０．１３ ０．２５
Ｃ＝Ａ×Ｂ＝［ ０．２， ０．５， ０．３］ ×０．５ ０．３３ ０．２６ ０．１３ ０．４８ ＝ ０．２ ０．２２ ０．１７ ０．１３ ０．４８
［ ０．３５， ０．３３， ０．２６， ０．１３， ０．４８］ 将其归一化为： Ｃ＝［ ０．２２， ０．２１， ０．１８， ０．０８， ０．３１］ 。 根据最大隶属度原则， ｃｌ 最大值为 ０．３１， 可以判断该投标项目风险 级别为低。
因 素 ａｉ 的 重 要 程 度 ， 对 各 因 素 赋 予 一 定 的 权 数 ， 记 为 Ａ＝（ ａ１， ａ２， …，ａｍ） 同
ｎ
’ 样各因素应满足归一化条件， 即 ａｉ＝１。 １
３．７ 二级模糊综合评价
二级模糊综合评价是应用模糊变换原理和最大隶属度原则， 对与评
价对象相关各因素所做出的综合评价。对所有因素进行评价时， 可以得
…
＋
ｕ（Ａ ｘｎ） ｘｎ
Ｘｉ∈Ｘ
式中：“＋”表示“并”， 不是 数 学 符 号“ 加 ”， 是 Ｘ 中 个 元 素 和 它 隶 属 度
的总括。
例如， 在某 工 程 风 险 中 Ａ＝（ １／高 风 险 ， ０．５／中 等 风 险 ， ０．２／低 风 险） ， 表
示 Ａ 的高风险隶属度为 １， 中等风险的隶属度为 ０．５， 低风险的 隶 属 度 仅
摘 要： 介绍了模糊理论， 建立了项目风险分析的模糊评价模型， 通过实例说明了模糊
评价。
关键词： 模糊数学； 工程项目风险分析； 模糊评价
中图分类号： Ｆ２８２
文 献 标 识 码 ：Ａ
１ 问题的提出
工程项目， 特别是大中型工程项目， 是一个极其复杂的开放系统［ １］ ， 由 于 其 投 资 大 、工 期 长 、技 术 复 杂 ， 所 涉 及 的 不 确 定 因 素 多 ， 为 了 提 高 项 目决策分析与评价的可靠性和科学性， 降低项目风险， 就需要在对项目 基 本 方 案 研 究 的 基 础 上 做 进 一 步 风 险 分 析 。项 目 风 险 分 析 是 指 应 用 各 种 风险分析技术分析项目的不确定性， 其目的是评价风险的可能影响。常 用 的 风 险 分 析 方 法 有 调 查 和 专 家 打 分 法 、净 现 值 法 、层 次 分 析 法 、灵 敏 度 分析法等， 很多分析方法往往把不确定性理解为随机性而采用概率论的 方法， 这是不全面的。事实上， 不确定性既有随机性， 更有模糊性。
５ 结语
模 糊 数 学 对 处 理 定 性 、模 糊 的 变 量 有 独 到 之 处 ， 并 能 提 供 合 理 的 数 学规则去解决变量问题， 得出相应的数学结果又能以一定的方法转为语 言描述， 这一特性适于研究工程项目中普遍潜在的风险。基于模糊理论 的工程项目风险分析模型， 通过建立因素权重集和模糊隶属度函数， 得 到模糊综合评价集， 可以帮助项目实施人员根据风险的重要程度采取相 应 的 措 施［ ７］ ， 它 既 可 以 立 足 于 现 在 ， 为 目 前 的 风 险 管 理 服 务 ； 也 可 以 保 持一定的超前性， 能对未来发展变化的风险进行预测， 为项目风险分析 提供了一种较科学的方法。
到模糊评价集：
ｂ!
" １１ "
Ｃ＝Ａ×Ｂ＝（ ａ１， ａ２，…ａｍ） ×"""ｂ２１ " " " ｂ" # ｎ１
３．８ 评价结果
…
ｂ１２ … ｂ１ｋ
$ %
%
ｂ２２ … ｂ２ｋ
% %
%
…
…
%
%
%
ｂｎ２ … ｂｎｋ
% &
根据最大隶属度原则， 在 Ｃ 中取最大隶属度 ｃ１ 所对应的评价指标 ｖ１
ｋ
作为最佳评价结果， 即 ｖｓ＝｛ ｖｌ｜ｖｌ→ｍａｘ（ ｃｉ） ｝ 。
ｍ
( 化后， 得 ａｉｊ＝１。 １
３．５ 一级模糊综合评价
一级综合评价实际上是为了处理因素的模糊性， 通过综合一个因素
的各个等级， 对评价对象取值的贡献， 来作为一种单因素的评价。
ｒ"
) ｉ１１
)
Ｂｉ＝Ａｉ ×Ｒｉ＝（
ａｉ１，
ａｉ２，
…，
ａｉｍ）
)
ｒ) ｉ２１ ×)
)
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)
ｒ)
$ ｉｍ１
ｒｉ１２ … ｒｉ１ｎ
ｋ
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Ｂ ｂ " % "
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… …
ｂ１２ … ｂ１ｋ
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ｂ２２ … ｂ２ｋ
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…
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ｂｎ２ … ｂｎｋ
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３．６ 建立因素权重集
一级模糊综合评级反映单因素不同等级对评价对象的影响， 现考虑
表 ２ 风险评价
因素
等级
１
２
３
ｕ１，
商务风险
高
中等
低
ｕ２
技术风险
高
中等
低
ｕ３
业主信誉风险
高
中等
低
专家根据“商务风险”中各组成因素的侧重程度进行各因素分配， 加 权 后 建 立 的 权 重 集 Ａ１＝（ ０．４５， ０．３， ０．２５） ； 同 理 ， 可 以 得 到 技 术 风 险 、业 主 信 誉 风 险 各 因 素 的 权 重 集 为 ： Ａ２＝（ ０．１５， ０．３５， ０．５） ， Ａ３＝（ ０．２， ０．１５， ０．６５） 确 定每个因素等级对于评价集的评价指标的隶属函数为：
［ ０．３， ０．４， ０．２６， ０．１３， ０．２５］
) , ０．３ ０．４０ ０．１７ ０．１０ ０．２０
Ｂ２＝Ａ２×Ｒｉ＝［ ０．１５， ０．３５， ０．５］ ×０．５ ０．３３ ０．２６ ０．１１ ０．１０ ＝ ０．２ ０．２２ ０．０５ ０．１３ ０．４８
［ ０．３５， ０．３３， ０．２６， ０．１３， ０．４８］
) , ０．３ ０．４０ ０．１７ ０．１０ ０．２０
Ｂ３＝Ａ３×Ｒｉ＝［ ０．２， ０．１５， ０．６５］ ×０．５ ０．３３ ０．２６ ０．１１ ０．１０ ＝ ０．２ ０．２２ ０．０５ ０．１３ ０．４８
［ ０．２， ０．２２， ０．１７， ０．１３， ０．４８］ ４．２ 二级模糊评价
根 据 有 经 验 的 专 家 对 商 务 风 险 、技 术 风 险 、业 主 信 誉 风 险 ３ 个 因 素 的 权 系 数 为 评 判 对 象 ， 加 权 后 建 立 权 重 集 ， Ａ ＝（ ａ１， ａ２， ， ａ３） ＝ （ ０．２， ０．５， ０．３） ：
ｉ＝１
４ 模糊评价举例
某工程承包商对施工投标项目进行风险评价： 施工投标项目的风险 因素 Ｕ＝｛ ｕ１， ｕ２， ｕ３｝ ＝｛ 商务风险， 技术风险， 业主信誉风险｝ ； 评价集 Ｖ＝｛ 高 风险， 较高风险， 中等风险， 较低风险， 低风险｝ ； 因素的等级集表示为：
ｕ１＝｛ ｕ１１， ｕ１２， ｕ１３｝ ｕ２＝｛ ｕ２１， ｕ２２， ｕ２３｝ ｕ３＝｛ ｕ３１， ｕ３２， ｕ３３｝ 其含义见表 ２。
子集 Ａ 的隶属度越低， 显然， 当 μＡ（ ｘ） ＝０ 时， 表示元素 ｘ 肯定不属于模 糊
子集 Ａ； 当 μ（Ａ ｘ） ＝１ 时表示元素 ｘ 肯定属于模糊子集 Ａ。
那么， 论域 Ｘ＝｛ ｘ１， ｘ２， ｘ３， …ｘｎ｝ 中的模糊子集（ 模糊集） 可表示为：
Ａ＝
ｕ（Ａ ｘ１） ｘ１
＋
ｕ（Ａ ｘ２） ｘ２
Ｖ＝｛ ｖ１， ｖ２， ｖ３， …， ｖｋ｝ 如： Ｖ＝｛ 很大， 大， 一般， 较小， 小｝
３．３ 建立因素等级评价矩阵
每一个因素都有 ｍ 个等级， 每个因素等级对于评价集的评价指标都
有一定的影响， 其影响程度可用隶属度函数表示， 将它们写成矩阵形式为：
… … … … … …
ｒ"
# ｉ１１
#
Ｒｉ＝
科技情报开发与经济
ＳＣＩ－ ＴＥＣＨ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ ＤＥＶＥＬＯＰＭＥＮＴ ＆ ＥＣＯＮＯＭＹ
２００８ 年 第 １８ 卷 第 １ 期
文章编号： １００５－ ６０３３（ ２００８） ０１－ ０１３４－ ０２
收稿日期：２００７－ １０－ ２４
基于模糊数学的工程项目风险分析
徐海丽， 袁大祥
（ 三峡大学经济与管理学院， 湖北宜昌， ４４３００２）
采用， 见表 １。 表 １ Ｋａｒｗｏｗｓｋｉ 推荐的模糊隶属度函数［ ６］
模糊语言变量
很大
０
大
０
中等
０
或多或少有些 ０
少
１．０
隶属度函数
０
０ ０．１ ０．５ ０．８ １．０
０ ０．１ ０．３ ０．７ ０．９ １．０
０．２ ０．７ １．０ ０．７ ０．２ ０
０ ０．３ ０．５ ０．８５ ０．９５ １．０
Ｕ＝｛ ｕ１， ｕ２， ｕ３…ｕｎ｝ ｕ（ｉ ｉ＝１， ２， ３， …， ｎ） 代 表 各 影 响 因 素 ， ｎ 为 影 响 因 素 的 个 数 ， 这 些 因 素 通常具有不同程度的模糊性。例如， 在某工程项目中［ ５］ ， Ｕ＝｛ ｕ１， ｕ２， ｕ３， ｕ４｝ ， 分别表示为： 项目自 身 性 质（ ｕ１） ， 项 目 外 部 环 境（ ｕ２） ， 项 目 内 部 环 境（ ｕ３） ， 项目参与各方（ ｕ４） ； 每个因素按照对评价对象的影响程度可以分为 ｍ 个 等级。因素中的各等级所处的状态可能用模糊语言“较好， 好， 一般， 差”
素对集合的隶属度从只取｛ ０， １｝ 中的值扩充到可以取区间［ ０， １］ 中的任一
数值。因此， 在模糊集中， 一个元素的从属关系， 不是简单地用风险辨识
“是”或“否“”真”或“伪”来回答， 而是一个渐变的过程。
２．２ 隶属度
定义： 论域 Ｘ 上的一个模糊子集 Ａ 完全被一个映射 μＡ： Ｘ－ － ＞［ ０， １］
０．９ ０．７ ０．３ ０．１ ０
０
３．４ 建立因素等级的权重集
设 ｕ（ｉｊ ｉ＝１， ２， ３， …， ｎ； ｊ＝１， ２， ３…ｍ） 表示第 ｉ 个因素的 第 ｊ 个 等 级 ， 它
相 应 的 权 重 为 ａｉｊ， 则 对 于 ｕｉ 的 等 级 权 重 集 为 Ａｉ＝（ ａｉ１， ａｉ２， … ， ａｉｍ） ， ａｉｊ 归 一
所 决 定 ， 并 称 模 糊 集 的 特 征 函 数 μＡ 为 Ａ 的 隶 属 函 数 ， μＡ（ ｘ） 称 为 Ｘ 中 的
元素 ｘ 对模糊子集 Ａ 的隶属程度， 简称隶属度。μ（Ａ ｘ） 值越接近 １， 表示元
素 ｘ 对 模 糊 子 集 Ａ 的 隶 属 度 越 高 ； μＡ（ ｘ） 值 越 接 近 ０， 表 示 元 素 ｘ 对 模 糊
或者“较 高 ， 高 ， 一 般 ， 较 低 ， 低 ”等 来 表 示 ， 此 状 态 集 合 即 为 因 素 等 级 集 ，
记为 ｕｉ＝｛ ｕｉ１， ｕｉ２， ｕｉ３…ｕｉｍ｝（ ｉ＝１， ２， ３， …， ｎ） 。 ３．２ 建立评价集
评价集是评价者对评价对象可能做出的各种总的评价结果所组成
的集合， 记为：
为 ０．２。显然此处隶属度 Ａ 表征了模糊性［ ３］ 。
３ 项目风险分析的模糊评价模型
项目风险分析的模糊评价模型是基于模糊理论和最大隶属度原则
１３４
对多因素系统的特征进行总体评价的一种方法， 可分为以下 ８ 个步骤。
３．１ 建立因素集
因素集是影响评价对象的各种因素所组成的普通集合［ ４］ ， 记为：
种方法。普通集合只能表示“非此即彼”的现象， 不能表示“亦此亦彼”的现
象［ ２］ ， 而现实生活中的模糊现象或模糊概念普遍存在。在经济评价过程中，
有很多影响因素的性质和活动无法用数字来定量地描述， 它们的结果也是
含糊不定的， 无法用单一的准则来评判。美国控制论专家 Ｚａｄｅｈ 首先引入
模糊集的概念， 其基本思想是把普通集合中的绝对隶属关系灵活化， 使元
) * ０．３ ０．４０ ０．１７ ０．１０ ０．２０
Ｒｉ＝ ０．５ ０．３３ ０．２６ ０．１１ ０．１０ ０．２ ０．２２ ０．０５ ０．１３ ０．４８
４．１ 一级模糊评价
+ , ０．３ ０．４０ ０．１７ ０．１０ ０．２０
Ｂ１＝Ａ１×Ｒｉ＝［ ０．４５， ０．３， ０．２５］ ×０．５ ０．３３ ０．２６ ０．１１ ０．１０ ＝ ０．２ ０．２２ ０．０５ ０．１３ ０．４８