薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

课程设计

指导教师：孙秦

学院：航空学院

姓名：程云鹤

学号： 2011300092

班级： 01011105

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结

1、弹性力学中的基本假定

（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。 （2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。 （4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 （5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。 2、平衡微分方程

在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。

(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程

0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,

(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，

0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎬⎫

=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yz

xz z y xy

zy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)

3、物体内任一点的应力状态

现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，

试求经过P 点的任一斜面上的应力。为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，如图1-2所示。当四面体PABC 无限减小而趋于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。

命平面ABC 的外法线为'n ，则其方向余弦为

()()()n z n m y n l x n ===,'cos ,,'cos ,,'cos

图1-1

dx

dy

dz

图1-2

dx

dy

dz

三角形ABC 上的全应力p 在坐标轴上的投影用z y x p p p ,,代表.根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出

⎪

⎭

⎪

⎬⎫

++=++=++=.,,yz xz z z xy zy y y zx yx x x m l n p l n m p n m l p ττσττσττσ

(1-2)

设三角形ABC 上的正应力为n σ，则z y x n np mp lp ++=σ，将式1-2代入，并分别用xy zx yz τττ,,代替yx xz zy τττ,,，即得

xy zx yz z y x n lm nl mn n m l τττσσσσ222222+++++=

(1-3)

设三角形ABC 上的切应力为n τ，则由于2

2

2

2

2

2z y x n n p p p p ++=+=τσ，得 22222-n z y x n p p p στ++=

(1-4）

由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC 是物体上受面力作用的边界面σs ，则z y x p p p ,,成为面力分量

z y x f f f ,,，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件

()()()⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫=++=++=++.,,z s

yz xz

z

y s

xy zy

y

x

s

zx yx

x

f

m l n f l n m f

n m l ττσττσττσ (1-5)

应力状态有三种表示方式如下: (1)如图1-2,在图中表示 (2)应力状态矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ][

该矩阵为一对称阵。 (3)应力向量

[]T ,,,,,zx yz xy z y x τττσσσσ=

4、物体内任一点的应变状态

过空间一点P 所有方向上的线应变和角应变的集合称为P 点的应变状态，通

过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P 点的应变状态。三个线应变为z y x εεε,,，三个角应变为：zx yz xy γγγ,,.

应变状态的表示方式如下: (1)向量形式

[]zx yz xy z y x γγγεεεε,,,,,=

(2)矩阵形式

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z zy zx yz y

yx

xz xy x εγγ

γεγγγεε2

12

12121212

1

][ 5、几何方程和物理方程 （1）空间问题的几何方程

y

u

x v x w z u z v y w z w y v x u xy zx yz z y x ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=

γγγεεε，，，，， （1-6） 几何方程的矩阵形式为Lu =ε（在V 内），其中L 为微分算子

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂

∂∂∂∂

∂∂=x z

y z x y z y x L 0

00000000 （2）空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下

()[]

z y x x E σσμσε+-=1，()[]x z y y E σσμσε+-=1，()[]

y x x z E

σσμσε+-=1

， z v y w yz

∂∂+∂∂=γ，x

w z u zx ∂∂+∂∂=γ，y u x v xy ∂∂+∂∂=γ (1-7)