薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

课程设计

指导教师：孙秦

学院：航空学院

姓名：程云鹤

学号： 2011300092

班级： 01011105

薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算

一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结

1、弹性力学中的基本假定

（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。 （2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。 （4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。 （5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。 2、平衡微分方程

在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。

在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。根据平衡条件即可建立方程。

(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程

0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,

(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，

0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下

???

?

??

???

=+??+??+??=+??+??+??=+??+??+??000z yz

xz z y xy

zy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)

3、物体内任一点的应力状态

现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，

试求经过P 点的任一斜面上的应力。为此，在P 点附近取一个平面ABC ，平行于这一斜面，并与经过P 点而平行于坐标面的三个平面形成一个微小的四面体PABC ，如图1-2所示。当四面体PABC 无限减小而趋于P 点时，平面ABC 上的应力就成为该斜面上的应力。

命平面ABC 的外法线为'n ，则其方向余弦为

()()()n z n m y n l x n ===,'cos ,,'cos ,,'cos

图1-1

dx

dy

dz

图1-2

dx

dy

dz

三角形ABC 上的全应力p 在坐标轴上的投影用z y x p p p ,,代表.根据四面体的平衡条件进行推到，可以得出

?

?

?

??

++=++=++=.,,yz xz z z xy zy y y zx yx x x m l n p l n m p n m l p ττσττσττσ

(1-2)

设三角形ABC 上的正应力为n σ，则z y x n np mp lp ++=σ，将式1-2代入，并分别用xy zx yz τττ,,代替yx xz zy τττ,,，即得

xy zx yz z y x n lm nl mn n m l τττσσσσ222222+++++=

(1-3)

设三角形ABC 上的切应力为n τ，则由于2

2

2

2

2

2z y x n n p p p p ++=+=τσ，得 22222-n z y x n p p p στ++=

(1-4）

由式1-3和1-4可见，6个应力分量完全决定了一点的应力状态。在特殊情况下，如果ABC 是物体上受面力作用的边界面σs ，则z y x p p p ,,成为面力分量

z y x f f f ,,，于是由式1-2得空间问题的应力边界条件

()()()???

?

???=++=++=++.,,z s

yz xz

z

y s

xy zy

y

x

s

zx yx

x

f

m l n f l n m f

n m l ττσττσττσ (1-5)

应力状态有三种表示方式如下: (1)如图1-2,在图中表示 (2)应力状态矩阵

????

?

?????=z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσσ][

该矩阵为一对称阵。 (3)应力向量

[]T ,,,,,zx yz xy z y x τττσσσσ=

4、物体内任一点的应变状态

过空间一点P 所有方向上的线应变和角应变的集合称为P 点的应变状态，通

过该点作三个相互垂直的线元。该三线元长度改变（线应变）和线元间夹角改变（角应变）的集合就完整地代表了P 点的应变状态。三个线应变为z y x εεε,,，三个角应变为：zx yz xy γγγ,,.

应变状态的表示方式如下: (1)向量形式

[]zx yz xy z y x γγγεεεε,,,,,=

(2)矩阵形式

???????

?????????=z zy zx yz y

yx

xz xy x εγγ

γεγγγεε2

12

12121212

1

][ 5、几何方程和物理方程 （1）空间问题的几何方程

y

u

x v x w z u z v y w z w y v x u xy zx yz z y x ??+??=??+??=??+??=??=??=??=

γγγεεε，，，，， （1-6） 几何方程的矩阵形式为Lu =ε（在V 内），其中L 为微分算子

???????????????

?????????????????????????????

????

??=x z

y z x y z y x L 0

00000000 （2）空间问题的物理方程，在材料力学中根据胡克定律导出如下

()[]

z y x x E σσμσε+-=1，()[]x z y y E σσμσε+-=1，()[]

y x x z E

σσμσε+-=1

， z v y w yz

??+??=γ，x

w z u zx ??+??=γ，y u x v xy ??+??=γ (1-7)

根据关系Θ-=

E

μ

θ21，其中z y x εεεθ++=为体应变，z y x σσσ++=Θ为体积应力，Θ与θ间的比例常数E

μ

21-称为体积模量，可推得物理方程的另一种形式

???

? ??+-+=???? ??+-+=???? ??+-+=

z z y y x x E E E εθμμμσεθμμμσεθμμμσ211211211，，

()()()

xy xy zx zx yz yz E

E E γμτγμτγμτ+=+=+=121212，，

物理方程的矩阵形式为εσD =或σεC =，其中D 为弹性矩阵，C 为柔度矩阵，两矩阵为互逆关系。

()()()?

?

??

???

??

???

?????????????

??????

?

-------------+-=

μμμμμμμμ

μμμ

μ

μμμ

μ

μμ

μμμ12210

0012210000001221000

00011100011

10

00111)21)(1()01(E D 4、边界条件

（1）根据物体内任一点的应力状态可得空间问题的应力边界条件，即式1-5 (2)空间问题的位移边界条件为

()()()w w v v u u s s s ===,,

(1-9)

5、按位移求解空间问题

按位移求解问题，是取位移分量为基本未知函数，并要通过消元法，导出弹性体区域内求解位移的基本微分方程和相应的边界条件。将几何方程代入物理方程，得出用位移分量表示应力分量的弹性方程，再将该弹性方程代入平衡微分方程得按位移求解时所需用的基本微分方程。 6、按应力求解空间问题

按应力求解空间问题，是取应力分量为基本未知函数。对空间问题来说就是，就是要从15个基本方程中消去位移分量和形变分量，得出只包含6个应力分量方程，进行求解。

(1-8)

二、板弯问题基本概念及微分方程

1、有关概念

(1)在弹性力学里，两个平行面和垂直于这两个平行面的柱面或棱柱面所围成的物体，称为平板，或简称板，如下图所示。这两个平行面称为板面，而这个柱面或棱柱面称为侧面或板边。两个板边之间的厚度δ称为板的厚度，而平分厚度δ的平面称为板的中间平面，或简称为中面。如果板的厚度δ远小于中面的最小尺寸b ，这个板就称为薄板，否则就称为厚板。

(2)当薄板受有一般载荷时，总可以把每个载荷分解为两个分载荷，一个是平行于中面的所谓纵向载荷，另一个是垂直于中面的所谓横向载荷。对于纵向载荷，可以认为它们沿薄板厚度均匀分布，因而它们所引起的应力、形变和位移，可以按平面应力问题进行计算。横向载荷将使薄板弯曲，它们所引起的应力、形变和位移，可以按薄板弯曲问题进行计算。

(3)薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移，称为挠度。这里只讨论薄板的小挠度弯曲理论。 2、薄板弯曲问题的计算假定

为了建立薄板的小挠度弯曲理论，除了引用弹性力学的5个基本假定外，还补充提出了3个计算假定。

(1)垂直于中面方向的线应变，即z ε可以不计。

取0=z ε，则又几何方程中的

0=??z

w

，从而得),(y x w w =。即横向位移w 只是x ，y 的函数，不随z 而变。因此，在中面的任一根法线上各点都具有相同的横向位移，也就等于挠度。

(2)应力分量yz xz ττ,和z σ远小于其余3个应力分量，因而是次要的，它们所引起的变形可以不计（注意：这三个次要应力分量本身都是维持平衡所必需的，不能

不计）。

因为不计xz τ及yz τ所引起的形变，所以有0=zx γ，0=yz γ。于是由几何方程1-6可以得

0,0=??+??=??+??z v y w x w z u 。从而得y

w

z v x w z u ??-

=????-=??， (2-1)

由于0,0,0===yz zx z γγε，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。

在上述计算假定中虽然采用了0,0,0===yz zx z γγε，但在以后考虑平衡条件时，仍然必须计入3个次要的应力分量yz xz ττ,和z σ。因此，在薄板的小挠度弯曲理论中，放弃了关于zx z γε,和yz γ的物理方程。因为不计z σ所引起的形变，所以薄板的物理方程成为

()()?

???

??

???+=-=-=

xy xy x y y y x x E E E

τμγμσσεμσσε)1(2,1,1

(2-2)

(3)薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即0)(,0)(00====z z v u 。

因为y

u

x v y v x u xy y x ??+??=??=??=

γεε,,，所以由上式得出中面内的形变分量均为零，即0)(,0)(,0)(000======z xy z y z x γεε

(2-3)

也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成为弹性曲面的一部分，但它在xy 面上的投影形状却保持不变。

3、将纵向位移，各应变分量和应力分量分别都用挠度w 来表示

薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，只取挠度),(y x w w =作为基本未知函数。

(1)将纵向位移u ，v 用挠度w 表示。

由

y

w

z v x w z u ??-

=????-=??，得),(),,(21y x f z x w u y x f z y w v +??-=+??-=由计算假定

(1-3)，得0),(,0),(21==y x f y x f 。于是纵向位移表示为 z y

w v z x w u ??-=??-

=, (2)将主要应变分量xy y x γεε,,用w 表示。把①中所得的u,v 代入几何方程中的对应

项得z y

x w

y u x v z y w y v z x w x u xy y x ???-=??+??=??-=??=??-=??=222222,γεε， (a)

(3)将主要应力分量xy y x τσσ,,用w 表示。由薄板的物理方程2-2求解应力分量得

xy xy

x y y y x x E

E E γμτμεεμσμεεμσ)

1(2),(1),(122+=+-=+-=

(b)

把式a 中所得应力分量代入上式得

),(122222y w x w Ez x ??+??--=μμσ),(122222

x w y w Ez y ??+??--=μμσy

x w

Ez xy ???+-=21μτ (2-4) (4)将次要应力分量yz xz ττ,用w 表示。可以应用平衡微分方程的前两式进行求解，且因为不存在纵向载荷，体力分量0,0==y x f f ，由此得

x

y z y x z xy y zy yx x zx ??-??-=????-??-=??τσττσ

τ, 把的表达式2-4代入得

w x Ez y x w x w Ez z zx 2

2

2333211???-=???? ?????+??-=??μμτ

w y

Ez x y w y w Ez z zy

2

2

2333211???-=???? ?????+??-=??μμτ 其中引用记号22

222

y

x ??+??=?。将上两式对z 积分，得

),)1(21222y x F w x Ez zx （+???-=μτ，),)1(222

2

2y x F w y

Ez zy （+???-=μτ 其中),(),,(21y x F y x F ，可根据薄板的上、下板面的边界条件来求出，即

0)

(2

=±

=δ

τz zx ，0)

(2

=±

=δ

τz zy 应用这两个边界条件求出),(),,(21y x F y x F 以后，即得

yz xz ττ,的表达式

????

?????????? ??--=??????? ??--=w y z E

w x z E

zy zx 22

2222224)1(2,4)1(2δμτδμτ (2-5)

(5)将更次要应力分量z σ用w 表示。

应用平衡微分方程1-1的第三式，取体力分量为0，得

y

x z yz xz z ??-??-=??ττ

σ (c) 如果体力分量0≠z f ,可以把薄板的每单位面积内的体力和面力都归入到上板面的面力中去，一并用q 表示，即()

()

dz f f f q z z z

z z

?

-=

-

=++=2

/2

/2

2

δδδ

δ

(d)

这只会对最次要的应力分量z σ引起误差，对其它的应力分量则没有影响。

注意zy yz zx xz ττττ==,，将这两个应力分量的表达式代入式(c)，得

w z E z z 4

2224)1(2????

? ??--=??δμσ 对z 进行积分，得到),(34)1(234

322y x F w z z E z +????? ??--=δμσ (e) 其中待定函数),(3y x F 可以由薄板的下版面的边界条件来确定，即()02

==δσz z

将式(e)代入，求出),(3y x F ,再代回式(e)，即得z σ的表达式

w z z E w z z E z 4

2

2343322121)1(6-83124)1(2???? ??+??? ??--=???

???????? ??--??? ??--=δδμδδδδμσ

(2-6)

4、推导弹性曲面的微分方程

现在导出w 的微分方程。由薄板的上板面的边界条件()q z z -=-=2

δσ，其中q

是薄板每单位面积内的横向载荷，包括横向面力及横向体力，将z σ的表达式代入得

q w E =?-42

3

)

1(12μδ (2-7)

或

q w D =?4,

(2-8)

其中的)1(122

3μδ-=E D 称为薄板的弯曲刚度，它的量纲是2

2-MT L ，方程2-8称为薄板的弹性曲面微分方程，或挠曲微分方程。

三、矩形薄板弯曲问题的求解

1、泛函和变分的概念

(1)假想函数y(x)的形式发生改变而成为新的函数Y(x)。如果对应于x 的一个定值，y 具有微小的增量)()(x y x Y y -=δ，则增量y δ称为函数y(x)的变分。可以证明导数的变分等于变分的导数，因此微分的运算和变分的运算可以交换次序。 (2)如果对于某一类函数y(x)中的每一个函数y(x)，变量I 有一个值和它对应，则变量I 称为依赖于函数y(x)的泛函，记为I=I[y(x)]。简单地说，泛函就是函数的函数。

(3)基于能量原理的变分法是一种近似法，所谓变分问题，就是泛函求极值的问题。

2、弹性体的应变能

弹性体单位体积的应变能为

()zx zx yz yz xy xy z z y y x x U γτγτγτεσεσεσ+++++=

2

1

1 (3-1)

也可以称为应变比能。

整个弹性体的应变能为???Ω

Ω=d U U 1，其中Ω为弹性体的体积,将其代入式

3-1得Ω+++++=

???Ω

d U zx zx yz yz xy xy z z y y x x )(21

γτγτγτεσεσεσ (3-2)

可以将应变能表示为用应力或应变表达的形式，可以证明弹性体的应变比能对于任一应力分量求导就等于相应的应变分量，弹性体的应变比能对于任一应变分量的偏导数就等于相应的应力分量。 3、虚位移原理

设有一弹性体在外力（包括体力分量X,Y ,Z 和一部分面力分量Z Y X ，，

)作用下处于平衡状态。假如有一组位移分量u,v,w ，既能满足用位移表示的平衡方程，

又能满足位移边界条件及用位移分量表示的应力边界条件。设想在弹性体几何约束所允许的条件下，给它一个任意的微小的变化，即所谓的虚位移或位移变分

w v u δδδ,,，得到一组新的位移w w w v v v u u u δδδ+=+=+=''',,

此时外力在虚位移上所做的功，即虚功为

?????+++Ω++=Ω

dS w Z v Y u X d w Z v Y u X A p

S )()(δδδδδδδ

（3-3）

其中Ω为弹性体的全部体积，S 为弹性体的全部表面积，p S 为给定外力的表面，

u S 为给定位移的表面。假定弹性体在虚位移的过程中没有温度和速度的改变，即没有热能和动能的改变。按照能量守恒定律，应变能在虚位移上的增量U δ应当等于外力在虚位移所做的虚功A δ，即A U δδ=

得位移变分方程

?????+++Ω++=Ω

dS w Z v Y u X d w Z v Y u X U p

S )()(δδδδδδδ

（3-4）

按照变分原理??????Ω

Ω

Ω=Ω=d U d U U 11δδδ

其中1U δ为单位体积应变能的增量。把应变比能看作应变分量的函数，由上式得

???Ω???

? ????+??+??+??+??+??=zx zx yz yz xy xy z z y y x x U U U U U U U δγγδγγδγγδεεδεεδεεδ1

11111

=()???Ω+++++Ω

d zx zx yz yz xy xy z z y y x x δγτδγτδγτδεσδεσδεσ

将式3-4代入得

()()()????????Ω

+++++=+++Ω++Ω

Ω

d dS

w Z v Y u X d w Z v Y u X zx

zx

yz

yz

xy

xy

z

z

y

y

x

x

S p

δγτδγτδγτδεσδεσδεσδδδδδδ （3-5）

这就是虚位移原理的表达式，也可称为虚功方程。由此，弹性体的虚位移原理可叙述为：设一弹性体在已知体力和面力作用下处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于弹性体所积累的虚应变能。 4、最小势能原理

根据式3-4，由于虚位移是微小的，在虚位移过程中，外力的大小和方向可以认为保持不变，所以式3-4右边的积分号内的变分记号δ可提到积分号前并整理得

0()(=?

?

???

?++-Ω++-?????Ω

dS w Z v Y u X d Zw Yv Xu U p

S ）δ 取A=?????Ω

+++Ω++dS w

Z v Y u X d Zw Yv Xu p

S ）()(，显然A 为外力在实际位移u,v,w 上所做的功。假设外力是势力场中的力，则（-A ）应等于外力的势能，用记号V 表示。弹性体的应变能和外力势能之和，称为弹性系统的总势能，用记号∏表示，得

0)=+=∏V U （δδ

得最小势能原理：在给定外力作用下而保持平衡的弹性体，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能称为极值。当考虑二阶变分时，可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是最小值。 5、求解薄板弯曲问题

(1)存在于弹性体中的应变能为

Ω+++++=

???Ω

d U zx zx yz yz xy xy z z y y x x )(21

γτγτγτεσεσεσ (3-6)

根据薄板弯曲问题中的有关假设yz xz z γγσ,,是为次要应力分量，在式3-6中略去有关的项，利用物理方程消去应变分量得

()

Ω??

????++-+=???

Ωd E U xy y

x y x 22

221221τμσμσσσ 将式2-4代入上式，得用位移w 表示的应变能为

()

()??????????

??????????????? ?????-????--?-=dxdydz y x w y w x w w z E U 22222222

2212)1(2μμ 将上式对z 积分并整理得等厚薄板的应变能U 可表达为

()

?????

????

??????????????? ?????-????--?=dxdy y x w y w x w w D U 22222222)1(22μ (3-7)

对于板边全部固定的任何形式的板和板边w=0的矩形板，可对式3-7进行化简，用分部积分可得

?????????????+????-?????=?????-?????=??????dxdy

y w

x w dy x w y w dx x w

y x w dxdy y x w x w dx x w y x w dxdy y x w y x w s s s 22

22

22

222222

其中s 为薄板的边界

对于固定边，不论边界形状如何可得0222222=???

?

???????? ?????-??????dxdy y x w y w x w ，在该情况下薄板应变能表达式为dxdy y w x w D U ?????

?

????+??=2

22222 (3-8)

(2)薄板弯曲问题中的边界条件

设图中OA 边是固定边，OC 边是简支边，AB 边和BC 边是自由边。 沿着固定边OA(x=0),薄板的挠度w 等于零，弹 性曲面的斜率

x

w

??（即转角）也等于零，所以边界 条件是0,0)(0

0=???

????===x x x w w

沿着简支边OC(y=0)，薄板的挠度w 等于零，弯矩y M 也等于零，所以边界条件是0)(,0)(00====y y y M w

用挠度w 表示为0,0)(0

22220

=???? ????+??===y y x w y w w μ

如果前一个条件得到满足，即挠度w 在整个边界上都等于零，则22x

w

??在整个

边界上也等于零，所以简支边OC 的边界条件可以简写为0,0)(0

220

=???? ????===y y y w w

6、薄板弯曲问题中Ritz 法

薄板中总势能为∏为挠度w 的泛函，设定一组包含若干待定系数的挠度的级数形式的表达式，其中每一分量均满足问题中的边界条件，根据最小势能原理，求解使总势能∏取最小值的待定系数，即可求得挠度的表达式，这是求解薄板弯曲问题的Ritz 法。

7、四边简支矩形薄板的重三角级数解

求解薄板的小挠度弯曲问题，首先要在板边的边 界条件下，由弹性曲面微分方程求出挠度w 。

当无支座沉陷时，对于四边简支的矩形薄板， 边界条件是

??

?????

?

?

???

???=????

????==???? ????==???? ????==????

????=========0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(220

22

0220220b y b y y y a x a x x x x w w x w w x w w x w w (a) 取挠度w 的表达式为如下重三角级数b

y

n a x m A w m n mn ππsin sin

11∑∑∞

=∞

== (b) 其中的m 和n 是正整数，代入式(a)，可见全部边界条件都能满足，为了求出系数mn A ，将式(b)代入微分方程得

∑∑∞

=∞

==???

? ??+12

122224

),(sin sin m mn

n y x q b y n a x m A b n a m D πππ 将式右边的载荷q(x,y)展开成重三角级数，即

∑∑∞

=∞

==11sin sin

),(m n mn b

y n a x m a y x q ππ (c) 式中的mn a 可以按三角级数的通常确定方法进行求解，解得

dxdy b

y

n a x m y x q ab a a b mn ππsin sin ),(400??=

得系数?

??

? ??+=

?

?222240

sin sin

4b n a m abD dxdy b y

n a x m q A a b

mn πππ (f) 当薄板受横向均布载荷时，q 成为0q ，式(f)中的积分式成为

)

cos 1)(cos 1(sin sin

200

0πππππn m mn ab

q dxdy b y n a x m q a b --=??

由式(f)得2

22

2

260)

cos 1)(cos 1(4???

?

??+--=

b n a m Dmn n m q A mn πππ或

)5,3,15,3,1(162

22

22

60

?=?=???

?

??+=

n m b n a m Dmn q A mn ；π

代入式(b)，即得挠度的表达式

∑∑∞=∞

=???

? ??+=

5,3,15

,3,12

222260

sin sin

16m n b n a m mn b y

n a x m D q w πππ

当薄板在任意一点),(ηξ受集中载荷F 时，可以用微分面积dxdy 上的均布载荷

dxdy F 来代替分布载荷q ，式(f)中的q 除了在),(ηξ处的微分面积上等于dxdy F

以外，在其余各处都等于0，此时

dxdy b n a m dxdy F b n a m abD A mn πη

πξπsin sin 4222224?

??

?

??+=

b

n a m b n a m a b D F

πη

πξπsin

sin 42

22224

???

? ??+=

代入式(b)得挠度的表达式为b y n a x m b n a m b n a m abD F

w m n πππη

πξπsin sin sin sin

411

2

22224∑∑∞=∞

=???

?

??+=

8、四边简支矩形薄板的Ritz 法求解

其边界条件同(a)，取挠度表达式为b

y

n a x m A w m n mn ππsin sin

11∑∑∞

=∞

== (g) 则∑∑∞=∞=???????????

??-=??112

22sin sin m n mn b y n a x m a m A x w πππ

∑∑∞=∞=???

????????

??-=??1122

2s i n s i n m n mn b y n a x m b n A y w πππ

∑∑∞=∞=??

?

???=???1122c o s c o s m n mn b y n a x m ab mn A y x w πππ 应变能的表达式为()

????

?

??????????????????? ?????-????--?=dxdy y x w y w x w w D U 22222222)1(22μ ????

???????????? ?????? ?????-????+???? ?????+???? ????+???? ????=dxdy y x w y w x w y x w y w x w D 22222222222222222μ

将挠度偏微分的算式代入，根据

2

00

200

2200

2

4sin sin 4

cos cos 4

sin sin πππππππab dxdy b y n a x m ab dxdy b y n a x m ab

dxdy b y n a x m a b a b a b

===?????? 整理得2

22222211

2

8???

?

??+=∑∑

∞=∞

=b n a m DabA U m n mn

ππ 横向均布载荷作用时外力的势能为

∑∑??∑∑∞=∞=∞

=∞

=???

?

?-=-=1120001104sin sin m n mn a

b

m n mn mn ab A q dxdy b y n a x m A q V πππ

总势能为∑∑∞

=∞

=???

?

????-???? ??+=∏11202222222248m n mn mn

mn ab A q b n a m DabA πππ 应用Ritz 法得

0=?∏

?mn

A 解得2

22

2

260

16???

?

??+=b n a m Dmn q A mn π

代入式(g)，即得挠度的表达式∑∑∞

=∞

=???

? ??+=

5,3,15

,3,12

222260

sin sin

16m n b n a m mn b y

n a x m D q w πππ

受集中载荷F 时，外力的势能为

∑∑∑∑∞=∞

=∞=∞=??

?

?

?

-=-=1111sin sin sin sin m n mn m n mn b n a m FA dxdy b n a m A dxdy F V πηπξπηπξ

总势能为???

-???

? ??+???=∏∑∑∞

=∞

=b n a m FA b n a m DabA mn m n mn πηπξππsin sin 82

122222212 应用Ritz 法得

0=?∏

?mn

A ，解得b

n a m b n a m abD F

A mn πη

πξπsin

sin 42

22224

?

??

? ??+= 代入式(g)，即得挠度的表达式为b y n a x m b n a m b n a m abD F

w m n πππη

πξπsin sin sin sin

411

2

22224∑∑∞=∞

=???

?

??+=

2、四边固支矩形薄板的Ritz 法求解

当无支座沉降时，对于四边固支的矩形薄板，边界条件是

???

??

?

?

?

???

??=???

????==???

????==???

????==???

????=========0,0)(0,0)(0,0)(0,0)(0

00

0b y b y y y a x a x x x x w w x w w x w w x w w

取挠度的表达式为b

y

n a x m A w m n mn ππ211

2

sin sin ∑∑∞=∞

== 对其进行微分运算得

∑∑∞=∞==??1122sin sin m n mn a x

m b y n a m A x w πππ ∑∑∞=∞==??121

2

2222sin 2cos 2m n mn b y

n a x m a m A x w πππ ∑∑∞=∞==??1122sin sin m n mn b y n a x m b n A y w πππ ∑∑∞=∞==??1212

2222sin 2cos 2m n mn a

x

m b y n b n A y w πππ

应变能的表达式为dxdy y w x w D U ?????

?

????+??=2

22222 且有∑∑?

?∞=∞

==???

? ????1132442

02243m n mn a b

a b

A m dxdy x w π ∑∑?

?∞=∞

==???

? ????1132442

02243m n mn a b

b a

A n dxdy y w π ∑∑?

?∞=∞

==???

? ??????112

2422

022224m n mn a b

ab n m A dxdy y w x w π 将其代入应变能的表达式，整理得

()

22224444113

34

2

2338b a n m a n b m b

a DA U m n mn ++=∑∑∞

=∞

=π 当横向均布载荷作用时，外力的势能为

??∑∑∑∑∞

=∞=∞

=∞

=-=-=a

b

m m n mn n mn ab

q A dxdy b y n a x m A q V 00111

0212

04sin sin ππ

总势能为∑∑∞

=∞

=??????-++=+=∏1102

22244443

3424)233(8m n mn mn ab q A b a n m a n b m b

a DA V U π 应用Ritz 法，令0=?∏?mn A ，即

04)233(402

2224444334=-++ab q b a n m a n b m b a DA mn π 解得)

233(2222444440

44b a n m a n b m D q b a A mn ++=π

得挠度∑∑∞=∞

=++=112

2224444422

044)

233(sin sin m n b a n m a n b m D b y

n a x m q b a w πππ 当集中载荷作用时

∑∑∑∑∞=∞=∞

=∞=-==111

22221sin sin sin sin -V m m n mn n mn b a FA dxdy b a A dxdy F πηπξπηπξ ∑∑∞

=∞

=??

????-++=+=∏1122222244443

342sin sin )233(8m n mn mn b a FA b a n m a n b m b a DA V U πηπξπ 应用Ritz 法，令

0=?∏

?mn

A ，即

0sin sin )233(42222224444334=-++b

a F

b a n m a n b m b a DA mn πηπξπ 解得)

233(sin sin 42

22244

4

44

2

2

33b a n m a n b m D b a b Fa A mn ++=

ππη

πξ

得挠度∑∑

∞=∞

=++=11

22224444422

2

2

33)

233(sin

sin sin sin 4m n b a n m a n b m D b y

n a x m b a b Fa w ππππη

πξ

四、利用Patran 和Nastran 建模对矩形薄板弯曲问题进行求解

1、Patran 建模和Nastran 分析的一般流程和分析中所设置的数据

导入或建立几何模型→选择分析求解器→划分有限元网格→施加约束及载荷边界条件→设置材料特性及单元特性→设置分析参数→提交分析→对分析结果进行后处理。

设置矩形薄板的数据如下：长5(m)，宽4(m ），薄板厚度为0.01（m ），弹性模量为10e9(Pa),泊松比为0.3，横向均布载荷合力为10N ，中心集中载荷为10N 。分别对四边简支和四边固支的情况进行求解 2、后处理之后软件分析结果

各情况下的位移云图如下所示：

四边简支矩形薄板受横向均布载荷情况下的位移云图：