统计学 第三章 集中趋势的测量

第三章集中趋势的测量
表示数据集中趋势的指标叫做集中量数，它是一组数据的代表值。

集中量数比起个别数据来，更能准确地反映所研究的事物和现象的真实情况，是真值最好的估计值。

当要用一个数值代表全部数据时，或两组数据要进行比较时，就要用到集中量数。

常用的集中量数有三种：平均数，中数，众数。

第一节平均数
平均数通常是指算术平均数, 只有在需要与其它平均数相区别时，才使用算术平均数这一名称。

图3-1 集中量数在不同分布中的位置
一、算术平均数
算术平均数（Mean）符号X。

是集中趋势的重要指标。

如果数据的分布形态是正态分布，算术平均数的位置处于正态分布曲线的中间，位于对称轴上（图3-1上）。

在偏态分布中总处于曲线偏斜的一端（图3-1下）。

只有当数据相对集中，并且数据中没有极端数值的时候，平均数才具有代表性，才适合使用平均数表示集中趋势。

1．未分组数据的计算
计算未分组数据的平均数，是用全部数据的和除以数据个数。

所得的值为整组数据的代表。

数据少时使用计算器较为方便。

平均数的计算公式：
N X
X ∑=
（3.1）
式中，X ：原始数据；Σ：求和符号（希腊字母，读：sigma ），表示将所有的数据都加起来；N ：数据个数；
2．分组数据的计算
当数据较多，或需要了解数据的分布形态已将数据分组后，可利用已列好的次数分布表计算平均数。

N X f X '∑=
（3.2） 式中，f ：各小组的数据个数；X’：各小组中数；Σ：和号； N ：
数据总个数。

例题3-2：一项心理测验成绩得出的次数分布表如下，请求出平均成绩。

表3-1 心理测验成绩 分数 X ’ F FX ’ 35-39 37 5 185 30-34 32 12 384 25-29 27 20 540 20-24 22 27 594 15-19 17 25 425 10-14 12 19 228 5 – 9 7 7 49 Σ
/
115
2405
计算步骤：
（1）在表中求出各组次数与各组中点的乘积列fX’列。

（2）累加各组次数f 列、得出总数115 （3）累加乘积fX’列、得出总数2405。

（4）用公式3.2求出 X 。

计算：
9.201152405
=='∑=
N X f X
答：115人的成绩平均数为20.9分。

二、加权平均数
加权平均数符号 W X。

由于数据n 不等时各小组平均数所代表的数据个数不等。

此时各小组平均数的意义对于总平均数就不同，因此在计算总平均数时要考虑小组n 的权重，而采用加权的方法。

1．加权平均数的计算
计算公式：
n X n X W ∑∑=
)( (3.3) 式中W X ：加权平均数；Σ：和号；n ：小组数据个数。

2．加权百分数的计算 计算公式
n np X PW ∑∑=
)( （3.4） 式中PW X ：加权百分数；Σ：和号；P ：小组百分数；n ：小组数据个数。

三、平均数的特点与应用
1．平均数的特点
（1）计算平均数时，全部数据都参加运算，因此每个数据对平均数的大小都有影响。

它定义明确，计算结果稳定。

（2）平均数另一个很重要的特点，即：平均数是一组数据的重心。

它像一个平衡的天平的支点。

每一个数据减去平均数所得的差叫离均差。

该特点定义为：离均差之和等于零。

用公式表示： 0)(=-∑X X
2．平均数的使用
当数据中没有极端数值（与大多数数据相比特别大或特别小的个别数据）时，平均数通常为首选集中量数。

但是如果数据中存在以下三种情况时就不能使用平均数。

（1）数据中存在个别极端数值时，就不能使用平均数。

（2）当数据的末端存在只有数位而无数值的情况时，因为缺少数据不能计算平均数。

（3）当数据中存在两种不同性质的数据时，不能使用平均数。

第二节 中数和众数
一、中数
中数（median ）符号mdn ，中数是在一组按大小排列的数据中位置居
中的那个数，它将数据分为大的一半小的一半。

中数的位置在正态分布中, 处于曲线的中间，位于对称轴上（图3-1上）。

在偏态分布中, 位于平均数偏峰值的一边，约为平均数到峰值的三分之一处（图3-1下）。

1．中数的计算
计算中数分3步，首先要将数据从小到大排序，这是计算中数必须的步骤。

然后确定中数的位置，计算出的位置，通常是排列好的数据中间的那个数的位置，或是位置在中间的那两个数之间。

最后按数据的具体情况计算中数的数值。

（1）未分组数据中数的计算
未分组的数据一般数据个数较少，计算要较为精确，因此中数的准确位置为：
位置=（N+1）/ 2 N：是数据的个数
①数据个数为奇数，且中数位置处无相同数据
例题3-5：求出下列数据的中数。

9、11、7、3、5、26、4
解：排序：
中数位置：（7+1）/2 = 4 即，第四位数是中数Mdn = 7
答：中数是7。

7位于数据中间，有一半的数据在它之上，有一半的数据在它之下。

②数据个数为偶数，且中数位置处无相同数据
例题3-6：求出下列数据的中数。

解：中数位置=（N+1）/ 2 即（8+1）/ 2=4.5
中数在：7与9之间，Mdn=（7+9）/ 2 = 8
答：中数为8。

大于8的数据有4个，小于8的数据也有4个。

③无论数据个数为奇偶，在中数位置处有相同数据。

例题3-7：求出下列数据的中数。

解：中数位置=(11+1)/2 = 6 即：中数的位置在第3个5处。

中数位于第三个5处，在中数位置一连有4个5。

当有相同数值时，应把5看成一个区间，即4.5～5.5，在这个区间中均匀地散布着4个5。

这个区间总值为1，第三个5所在区间的组中值之前占1的2/4+1/4×1/2，因此中数等于5的下限加上2/4+1/4×1/2。

计算如下： 4.5 + 1/4 + 1/4 + 1/4 × 1/2 = 5.13
答：第三个5所在区间的中值就是中数的位置，中数的数值为5.13。

例题3-8：求出下列数据的中数。

解: 中数位置=(N+1)/2=(6+1)/2=3.5， 即中数的位置在第二个13与第三个13之间。

把13看成一个区间，即12.5～13.5，在这个区间中均匀地散布着3个13。

这个区间总值为1，在中数之前占1的有2/3，因此中数等于13的下限加上2/3。

计算如下: 12.5 + 2 /3 =12.5+0.67= 13.17
答：中数位于第二、三个13之间，数值为13.17。

（2）分组数据中数的计算
已分组的数据数据个数较多，因此计算中数的位置稍粗一些，在分组数据中的位置：
位置= N/ 2 N 是数据的个数
①分组数据中计算中数的公式： 3.4a 、3.4b 利用下限计算: 公式: 3.4a
i f F N L mdn mdn
b
)2/(
-+= （ 3.4a ）
式中，L ：为中数所在组的下限；N ：为数据总个数；
Fb ：为中数所在组以下组数据个数之和；i ：组距； fmdn ：中数所在组的数据个数。

利用上限计算: 公式: 3.4b
i f F N U mdn mdn
a
)2/(
--= （ 3.4b ）
式中U ：为中数所在组的上限；N ：为数据总个数；
Fa ：为中数所在组以上各组数据个数之和； i ：组距；fmdn ：中数所在组
的数据个数。

2．中数的特点与应用
（1）中数不是一个很稳定的指标
中数是排好顺序的数据正处在中间位置上的数值，对中数而言，重要的是位置而不是数值的大小。

因为只取一点的数值，因此它的代表性小于平均数。

所以说中数不是一个稳定的指标。

（2）中数对数据中其他数据数值的变化不敏感
二、众数
众数（Mode）符号Mo。

众数就是在数据中出现次数最多的那个数。

使用它可以最快地了解数据的集中趋势，但它是一个较粗糙和极不稳定的指标，在正式研究结果中很少采用。

众数的位置无论在对称的分布中，还是在偏斜的分布中，都位于峰值处。

需要很快的知道集中趋势时，可以使用众数。

第三节平均数、中数、众数的比较
在正态分布中平均数、中数、众数都相等，位置居于分布的中轴线。

在偏态分布中，算术平均数总处于曲线偏斜的一端。

中数的位置位于平均数偏峰值的一边，约为平均数到峰值的三分之一处，中数把曲线下的面积分为大小相等的两部分。

众数的位置无论在对称的分布中，还是在偏斜的分布中，都位于峰值处（图3-1）。

平均数、中数和众数常用来描述一个分布的分布状态。

在一个对称的分布中，平均数、中数、众数都相等。

在偏斜的分布中平均数总是处于偏斜的一端，因此，用平均数作为偏斜方向的指标，当平均数在负数方向为负偏斜；平均数在正数方向为正偏斜。

从图3-1中可以看出，当平均数大于中数或众数，曲线为正偏斜，当平均数小于中数或众数，曲线为负偏斜。

因此可利用平均数、中数、（众数）的大小来描述一个分布的偏斜状况。

当X> Mdn > Mo为正偏斜，当X< Mdn<Mo为负偏斜，当X= Mdn = Mo
为对称的曲线。

在实际应用中只用平均数、中数或众数就可以了。

集中趋势的指标中, 平均数的代表性最大, 因为数据组中所有数据都参加运算。

中数只用一、二个数据计算，中数的代表性比平均数小一些。

众数只用到数据个数最多的那个数值，因此代表性最小。

在选用集中量数时，要从分析需要和数据的具体情况两方面考虑。

当数据中没有极端数值，分布比较对称，继续的计算和分析需要时，应选用平均数。

当数据分布比
较偏斜，分布的一端有极端数值或者有数位无数值时，就应选用中数。

当需要很快和粗略地了解数据的集中趋势时，可选用众数。