统计学 第三章 集中趋势的测量

第三章集中趋势的测量

表示数据集中趋势的指标叫做集中量数，它是一组数据的代表值。集中量数比起个别数据来，更能准确地反映所研究的事物和现象的真实情况，是真值最好的估计值。当要用一个数值代表全部数据时，或两组数据要进行比较时，就要用到集中量数。常用的集中量数有三种：平均数，中数，众数。

第一节平均数

平均数通常是指算术平均数, 只有在需要与其它平均数相区别时，才使用算术平均数这一名称。

图3-1 集中量数在不同分布中的位置

一、算术平均数

算术平均数（Mean）符号X。是集中趋势的重要指标。

如果数据的分布形态是正态分布，算术平均数的位置处于正态分布曲线的中间，位于对称轴上（图3-1上）。在偏态分布中总处于曲线偏斜的一端（图3-1下）。

只有当数据相对集中，并且数据中没有极端数值的时候，平均数才具有代表性，才适合使用平均数表示集中趋势。

1．未分组数据的计算

计算未分组数据的平均数，是用全部数据的和除以数据个数。所得的值为整组数据的代表。数据少时使用计算器较为方便。

平均数的计算公式：

N X

X ∑=

（3.1）

式中，X ：原始数据；Σ：求和符号（希腊字母，读：sigma ），表示将所有的数据都加起来；N ：数据个数；

2．分组数据的计算

当数据较多，或需要了解数据的分布形态已将数据分组后，可利用已列好的次数分布表计算平均数。

N X f X '∑=

（3.2） 式中，f ：各小组的数据个数；X’：各小组中数；Σ：和号； N ：

数据总个数。

例题3-2：一项心理测验成绩得出的次数分布表如下，请求出平均成绩。

表3-1 心理测验成绩 分数 X ’ F FX ’ 35-39 37 5 185 30-34 32 12 384 25-29 27 20 540 20-24 22 27 594 15-19 17 25 425 10-14 12 19 228 5 – 9 7 7 49 Σ

/

115

2405

计算步骤：

（1）在表中求出各组次数与各组中点的乘积列fX’列。 （2）累加各组次数f 列、得出总数115 （3）累加乘积fX’列、得出总数2405。 （4）用公式3.2求出 X 。 计算：

9.201152405

=='∑=

N X f X

答：115人的成绩平均数为20.9分。 二、加权平均数

加权平均数符号 W X

。由于数据n 不等时各小组平均数所代表的数据个数不等。此时各小组平均数的意义对于总平均数就不同，因此在计算总平均数时要考虑小组n 的权重，而采用加权的方法。

1．加权平均数的计算

计算公式：

n X n X W ∑∑=

)( (3.3) 式中W X ：加权平均数；Σ：和号；n ：小组数据个数。 2．加权百分数的计算 计算公式

n np X PW ∑∑=

)( （3.4） 式中PW X ：加权百分数；Σ：和号；P ：小组百分数；n ：小组数据个数。

三、平均数的特点与应用

1．平均数的特点

（1）计算平均数时，全部数据都参加运算，因此每个数据对平均数的大小都有影响。它定义明确，计算结果稳定。

（2）平均数另一个很重要的特点，即：平均数是一组数据的重心。它像一个平衡的天平的支点。每一个数据减去平均数所得的差叫离均差。该特点定义为：离均差之和等于零。用公式表示： 0)(=-∑X X

2．平均数的使用

当数据中没有极端数值（与大多数数据相比特别大或特别小的个别数据）时，平均数通常为首选集中量数。但是如果数据中存在以下三种情况时就不能使用平均数。

（1）数据中存在个别极端数值时，就不能使用平均数。 （2）当数据的末端存在只有数位而无数值的情况时，因为缺少数据不能计算平均数。

（3）当数据中存在两种不同性质的数据时，不能使用平均数。

第二节 中数和众数

一、中数

中数（median ）符号mdn ，中数是在一组按大小排列的数据中位置居

中的那个数，它将数据分为大的一半小的一半。

中数的位置在正态分布中, 处于曲线的中间，位于对称轴上（图3-1上）。在偏态分布中, 位于平均数偏峰值的一边，约为平均数到峰值的三分之一处（图3-1下）。

1．中数的计算

计算中数分3步，首先要将数据从小到大排序，这是计算中数必须的步骤。然后确定中数的位置，计算出的位置，通常是排列好的数据中间的那个数的位置，或是位置在中间的那两个数之间。最后按数据的具体情况计算中数的数值。

（1）未分组数据中数的计算

未分组的数据一般数据个数较少，计算要较为精确，因此中数的准确位置为：

位置=（N+1）/ 2 N：是数据的个数

①数据个数为奇数，且中数位置处无相同数据

例题3-5：求出下列数据的中数。

9、11、7、3、5、26、4

解：排序：

中数位置：（7+1）/2 = 4 即，第四位数是中数Mdn = 7

答：中数是7。7位于数据中间，有一半的数据在它之上，有一半的数据在它之下。

②数据个数为偶数，且中数位置处无相同数据

例题3-6：求出下列数据的中数。

解：中数位置=（N+1）/ 2 即（8+1）/ 2=4.5

中数在：7与9之间，Mdn=（7+9）/ 2 = 8

答：中数为8。大于8的数据有4个，小于8的数据也有4个。

③无论数据个数为奇偶，在中数位置处有相同数据。

例题3-7：求出下列数据的中数。