(完整版)高中数学选修2-2金版教程1-6

1.6

一、选择题

1．已知F ′(x )＝f (x )则下列等式正确的是( )

A.⎠⎛a

b f (x )dx ＝F (b )－F (a ) B.⎠⎛a

b f (x )dx ＝F (a )－F (b ) C.⎠⎛a b f (x )dx ＝ b －a n

F (ξi ) D.⎠⎛a b f (x )dx ＝

b －a n f (ξi )Δx 解析：B 中F (a )－F (b )应是F (b )－F (a )；

C 中F (ξi )就是f (ξi )；

D 中Δx 应去掉，因为b －a n

就是小区间长度Δx .故选A. 答案：A

2．若F (x )满足F ′(x )＝sin x ，则F (x )的解析式一定是( )

A ．F (x )＝cos x

B ．F (x )＝－cos x

C ．F (x )＝1－cos x

D ．F (x )＝－cos x ＋c (c ∈R )

解析：因为(－cos x ＋c )′＝－(cos x )′＋c ′＝sin x ＋0＝sin x ，所以F (x )＝－cos x ＋c (c ∈R )．故选D.

答案：D

3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )dx ＝( ) A.34 B.45

C.56 D ．不存在

解析：⎠⎛02f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1

2(2－x )dx ＝x 33|10＋(2x －x 22

)|21 ＝13＋[(2×2－222)－(2－12)]＝56

.故选C. 答案：C

4．(2009·福建)

(1＋cos x )dx 等于( ) A ．π

B ．2

C ．π－2

D ．π＋2

解析：因为原式＝(x ＋sin x )⎪⎪ π2－π2＝(π2＋sin π2)－[－π2＋sin(－π2

)]＝π＋2.故选D. 答案：D

5.⎠⎛a

b f ′(3x )dx ＝( ) A ．f (b )－f (a ) B ．f (3b )－f (3a )

C.13

[f (3b )－f (3a )] D ．3[f (3b )－f (3a )] 解析：∵[13

f (3x )]′＝f ′(3x )， ∴⎠⎛a

b f ′(3x )dx ＝13f (3x )|b a ＝13

[f (3b )－f (3a )]． 答案：C

6．f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )dx ＝5，⎠⎛0

1xf (x )dx ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3

B ．3x ＋4

C ．－4x ＋2

D ．－3x ＋4

解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

则⎠⎛01(ax ＋b )dx ＝⎠⎛01axdx ＋⎠⎛0

1bdx ＝12ax 2|10＋bx |10＝12

a ＋

b ＝5；

⎠⎛01x (ax ＋b )dx ＝⎠⎛01(ax 2

＋bx )dx ＝13ax 3|10＋12bx 2|10＝13a ＋12b ＝176

， 所以由⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，

13a ＋12b ＝176. 解得a ＝4，b ＝3，故f (x )＝4x ＋3.

答案：A

二、填空题 7. ＝________.

答案：2(e 2－1)

8．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若f (x )dx ＝2f (a )，则a ＝________. 解析：∵f (x )dx ＝ (3x 2＋2x ＋1)dx

＝(x 3＋x 2＋x )|1－1＝(1＋1＋1)－(－1＋1－1)＝4，

∴2f (a )＝4，即f (a )＝2，

即3a 2＋2a ＋1＝2,3a 2＋2a －1＝0.

解得a ＝－1或a ＝13

. 答案：－1或13

9．(2008·山东高考)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)．若

⎠⎛01

f (x )dx ＝f (x 0),0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：由⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛0

1(ax 2＋c )dx

＝(a 3x 3＋cx )|10＝a 3＋c ， ∵⎠⎛01f (x )dx ＝f (x 0)， ∴a 3＋c ＝ax 20＋c ，∴a (x 20－13

)＝0. ∵a ≠0，∴x 20－13＝0，∴x 0＝±33

. 又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝

33

. 答案：33 三、解答题

10．求下列定积分的值．

(1)⎠⎛231－x x

2dx ； (2)⎠⎛1

2(x －x 2＋1x )dx . 解：(1)∵(－1x －ln x )′＝1x 2－1x ＝1－x x

2， ∴⎠⎛2

31－x x 2dx ＝(－1x －ln x )|32 ＝(－13－ln 3)－(－12

－ln 2) ＝16＋ln 23

. (2)⎠⎛12(x －x 2＋1x )dx ＝⎠⎛12xdx －⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛1

21x dx ＝12x 2|21－13x 3|21

＋ln x |21 ＝32－73＋ln2＝－56

＋ln2. 11．计算下列定积分．

(1) (|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ；

(2) 1－sin2xdx .