钢管切割模型

钢管切割模型

摘要

实际生活中，所有的钢管是一定规格的，不满足客户的需求。在满足客户需求的条件下，将钢管截取为一定长度的成品，然后再根据客户的要求而进一步加工成成品。由于题目中要求将原料钢管截取为均值是1u，2u，3u，4u，在这里假设实际切割中每种规格是按同样的长度来切割的。正态分布是自然界存在最广泛的分布，一切分布的极限都是正态分布，所以可以用正态分布来简化该问题，本方法假设均值u均服从正态分布N~（u，2 ），在置信区间为（u-3σ，u+3σ）内，即有99.7%的把握认为所切割的钢管满足条件，且余料不多。而且因为实际过程中所切割钢管应大于等于所需规格，因此规定实际所裁的钢管长度均为（u+0.06）m，利用正态分布将问题转化为有一批规格为19米的钢管，按一定的切割模式进行，得到均值为50根4米，10根5米，20根6米，15根8米的钢管，使得钢管的利用率最高。对于转化后的问题，由于所需钢管规格有四种，利用枚举法会使过程过于复杂。实际生产中，零售商如果采用的不同切割模式太多，会增加生产和管理成本，所以假设采用不同切割模式不超过三种，则可以建立整数非线性规划模型求解。建立一定的约束条件，利用lingo软件求解，得出合适的切割模式，并求的其钢管利用率为98.673%。

关键字

正态分布整数非线性规划模型

一、问题的提出与分析

在生活中经常会遇到将原料加工成所需尺寸的问题，需要通过截取，切割，冲压等手段实现。零售商用切割机将原料钢管截成均值为

u，2u，3u，4u，均方差都是0.02m的钢管后，再对超过要求的部1

分进行精细截取，得到规定的成品钢材。针对这个问题，设计出最优钢管截取方案，并给出钢管利用率。

本问题旨在建立一个最优化模型使得钢管的下料最省，首先要确定切割模式，所谓切割模式就是指按照客户需要在原料钢管上安排切割的一种组合。由于题目中需求的钢管规格有四种，不宜采用枚举法来确定切割模式。因此采用整数非线性规模模型。确定一个合理的切割模式使得余料不大于客户需要的钢管的最小尺寸，并且使所用的钢管总根数最少。

二、基本假设与符号约定

（一）、基本假设

1、正态分布是自然界存在最广泛的分布，一切分布的极限都是正态分布，所以可以用正态分布来简化该问题，假设1u，2u，3u，4u均服从σ=0.02m的正态分布；

2、置信概率为99.7%；

3、采用的不同切割模式不超过三种；

4、实际所切割的钢管是大于所需钢管的同种规格的钢管；

5、以选择总根数最少为目标进行求解

（二）、符号规定

1、p —钢管利用率；

2、i x —按照第i 种模式（i=1，2，3）切割的原料钢管的根数；

3、设所使用的第i 种模式下每根原料钢管生产4米，5米，6米，8米的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）；

三、模型的建立

实际过程中完全满足客户的需求是不太现实的，所以一般所切割的钢管长度都应大于客户所需长度。题目中客户所需钢管规格为4米，5米，6米，8米，而切割过程中是截成一定均值的长度，利用正态分布将问题简化。

可以认为均值u 均服从正态分布N~（u ，2 ）， 其中有一个3σ原则 ，

即

P(μ-σ

P(μ-2σ

P(μ-3σ

问题转化为在满足客户需求的条件下，按不超过三种的模式来切割钢管，使其最为节省。所谓的节省指的是切割原料钢管所用的总根数最小，因此可以这样建立模型。

由于不同切割模式不能超过三种，可以用i x 表示按照第i 种模式

（i=1，2，3）切割的原料钢管的根数，显然他们应当是非负整数。

设所使用的第i 种切割模式下每根原料钢管生产4米，5米，6米，8米的钢管数量分别为i r 1，i r 2，i r 3，i r 4（非负整数）。

（1）决策目标： 切割原料钢管的总根数最少，目标为 Min 321x x x ++

（2）约束条件： 为满足客户的要求，有下式

x1*r11+x2*r12+x3*r13>=50;

x1*r21+x2*r22+x3*r23>=10;

x1*r31+x2*r32+x3*r33>=20;

x1*r41+x2*r42+x3*r43>=15;

每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的成品量不能超过19m ，也不能少于16m 于是有

（3）

4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=19;

4*r12+5*r22+6*r32+8*r42>=19;

4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=19;

在（1）（2）（3）式中出现决策变量的成绩，是一个整数非线性规划模型，可以用Lingo 软件求解。

除此之外还可以在加入一些显然的约束条件，从而缩小可行解的搜索范围，由于三种切割模式的排列顺序是无关紧要的，所以不妨增加一下约束

321x x x ≥≥ （4）

另外，所需钢管的总根数有着明显的下界。无论如何，原钢管的总根数经计算后不能少于26根。

由此可以确定一组最优解。然后再计算钢管的利用率。

四、模型的求解与检验

将（1）~（4）构成的模型输入LINGO求解：

model:

min=x1+x2+x3;

x1*r11+x2*r12+x3*r13>=50;

x1*r21+x2*r22+x3*r23>=10;

x1*r31+x2*r32+x3*r33>=20;

x1*r41+x2*r42+x3*r43>=15;

4*r11+5*r21+6*r31+8*r41>=19;

4*r12+5*r22+6*r32+8*r42>=19;

4*r13+5*r23+6*r33+8*r43>=19;

4*r11+5*r21+6*r31+8*r41<=16;

4*r12+5*r22+6*r32+8*r42<=16;

4*r13+5*r23+6*r33+8*r43<=16;

x1+x2+x3>=26;

X1+x2+x3<=31;

x1>=x2;

x2>=x3;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);

@gin(r11);@gin(r12);@gin(r13);

@gin(r21);@gin(r22);@gin(r23);

@gin(r31);@gin(r32);@gin(r33);

@gin(r41);@gin(r42);@gin(r43);

End 运行结果如下：

Local optimal solution found.

Objective value: 28.00000

Variable Value Reduced Cost X1 10.000000 0.000000 X2 10.000000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000