伽辽金法

此时：
N1 x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2
消除余量的条件为:
l
0 N1RI dx 0
由此可得： C 0.00908q EIl
B
0.1262ql 4 EI
伽辽金法的优点与缺点：
优点：用伽辽金法求解时，实际上是放松了问题原来对V内各点都 要精确满足平衡微分方程的要求，使问题变成了仅满足平衡微分方 程与一个加权函数的乘积在整个物体的定义域V内积分等于零的条 件，降低了求解难度。 不足：由于在近似求解时，应力分量并不精确满足平衡微分方程， 实际上会出现残差，因此，伽辽金法又称为加权残差法。
（1.4）
不同的权函数WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则，其中伽 辽金法为选取尝试函数本身为加权函数，即：
___
WIi =WBi W j
此时（1.4）式可表示为：
___
___
V W j RI dV
W
S
j
RBdS
0
(i 1, 2,L , n)
（1.5）
此时可以定义 u%的变分 u%为：
u% N1 a1 N2 a2 L Nm am
（1.6）
在多数情况下用伽辽金法得到的求解方程是对称的，所以在用加 权余量法建立有限元格式是几乎毫无意外地采用伽辽金法。
伽辽金法应用举例：
如图所示等截面悬臂梁，受满跨均布荷载作用，求悬臂端B的竖向位移 B为例， 说明基本方法的应用。
图示梁的控制方程为：
u——为问题待求的未知函数。
u% 当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 ，一般
具有以下形式：
n
u% Ci Ni NC
（1.3）
i 1
式中： Ci —— 待定系数，也可称为广义坐标；
Ni ——取自完备函数集的线性无关的基函数。
由于 u%一 般只是待求函数u的近似解，因此将式(1.3)代入式
力学中的最小势能原理，流场外力所做的虚功率等于流场内应力及惯
性力的虚功率。伽辽金法通常被认为是加权余量法的一种。
加权余量法与伽辽金法
设控制微分方程为:
在V域内
L(u) f 0
（1.1）
在S边界上
B(u) g 0
（1.2）
式中 :
L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；
f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值；
谢谢
THANK YOU
(1.1)和式(1.2)后将得不到满足，若记：
RI RB
L(u%) B(u%)
f g
在V域内 在S边界上
显然 RI RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 WI，在边界S上引入边界权函数WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
基于加权余量原理的近似计 算方法—伽辽金法
伽辽金及伽辽金法简介：
伽辽金（Boris Galerkin）生于1871年3月4日，卒于1945年7月12 日。前苏联工程师、数学家。1915年伽辽金发表了一篇论文，其 中提出一种数值分析方法。应用这种方法可以通过方程所对应泛 函的变分原理将求解微分方程问题简化成为线性方程组的求解问 题。而一个多维（多变量）的线性方程组又可以通过线性代数方 法简化，从而达到求解微分方程的目的。伽辽金法通过选取有限 多项试探函数（又称基函数或形函数），将它们叠加，再要求结 果在求解域内及边界上的加权积分（权函数为试函数本身）满足 原方程，便可以得到一组易于求解的线性代数方程，且自然边界 条件能够自动满足。作为一种试探函数选取形式，伽辽金法所得 到的只是在原求解域内的一个近似解，仅仅是加权平均满足原方 程，并非在每个点上都满足。
EI
d4y dx4
q
0
其边界条件为：
y
dy dx
0
d
2
y
dx2
d3y dx3
0
(x 0) (x l)
若取试函数为：
y% c(x5 lx4 14l 2 x3 26l3x2 )
不难验证其满足边界条件，也即RB 0。而控制方程的内部余量 RI 为:
RI EIc(120x 24l) q
伽辽金法理论基础：
加权余量法就是一种定义近似解与真解
伽辽金法在力学中遵循的是虚功原理和流体力之 的学间 方中误 法。差的（虚即功余率数）原，理并。设法使其最小 虚功原理即：对于满足理想约束的刚体体系上作用任何的平衡力系，
假设体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，则主动力在位移上
所做的虚功总和恒为零（内虚攻总等于外虚功）。虚功率原理类似于