流体力学相似原理和量纲分析

几何相似、运动相似和动力相似是模型流场 和原型流场相似的重要特征。
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工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
五、基本比例尺、其它动力学比例尺 常选取ρ、l、v的比例尺为为基本比例尺
长度比例尺
kl
kv
Fi/ aV k F k k 2F 2 Fi / aV ka kV kl kv
或者说模型与原形的流场所有对应点上、对应时刻的流速方向相同 而流速大小的比例相等。
速度比例尺
v kv v
时间比例尺
t l / v kl kt t l /v kv
2 a v / t kv kv 加速度比例尺 ka a v/t kt kl
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工程流体力学

kv 1 1/ 2 (kl k g )

v v Fr 1/ 2 1/ 2 ( g l ) ( gl)
Fr——弗劳德数，是惯性力与重力的比值。
当模型与原型的重力相似，则其弗劳德数必定相等，反 之亦然。这就是重力相似准则（弗劳德准则）。
重力场中： g ' g , k g 1
则：
k v kl
1
2
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第五章、相似原理和量纲分析
2.粘滞力相似准则
在粘滞力作用下相似的流动，其粘滞力场相似。
(dv x / dy) A kF k k v kl F (dvx / dy) A
F
代入
kF 1 2 2 k kl kv
k k v kl k
按性 质分
几何 相似
运动 相似 动力 相似
描述运动状态的
如速度、加速度、体积流量等
描述动力特征的
如质量力、表面力、动量等
流 动 相 似
应 满 足 的 条 件
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第五章、相似原理和量纲分析
一、几何相似（空间相似）
定义： 模型和原型的全部对应线形长度的比值为一定常数 。
l kl l
长度比例尺 面积比例尺 体积比例尺
5.非定常性相似准则
对于非定常流动的模型试验，模型与原型的流动随时 间的变化必相似。
Fit V v x / t kF k kl3kv kt1 Fit Vvx / t
代入
kF 1 2 2 k kl kv

kl 1 k v kt

l l Sr vt vt
3 2
7.5 10 5 6 v 6.708 10 （ m 2 s） 11.18
油池的最小油深为
hmin h'min 5 60 300 （mm） kl
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第五章、相似原理和量纲分析
【例5-2】密度和动力粘度相等的两种液体从几 何相似的喷嘴中喷出。一种液体的表面张力为 0.04409N/m，出口流束直径为7.5cm，流速为 12.5m/s，在离喷嘴10m处破裂成雾滴；另一液体 的表面张力为0.07348N/m。如果二流动相似，另 一液体的出口流束直径、流速、破裂成雾滴的距 离应多大？
压强（应力）比例尺
/ A k F p FP 2 kp k kv p FP / A k A
P F v 3 kP k F kv k kl2 kv P Fv
功率比例尺
动力粘度比例尺
v k k k v k kl k v v
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第五章、相似原理和量纲分析
三、动力相似 （时间相似）
模型与原型的流场所有对应点作用在流体微团上的 各种力彼此方向相同，而它们大小的比例相等。
力的比例尺
Fi F Fg FP kF FP F Fg Fi
FP
Fi ma
FP
F
a
图5-4 油池模型
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第五章、相似原理和量纲分析
【解】按长度比例尺得模型输出管内径
d ' kl d 250 50 （ mm） 5
在重力场中 g ' g ，由弗劳德数相等可得模型内液体的流速 和流量为 1
h' v' h
1 2
1 v 5

k v kl 1 k

vl vl vl vl Re
Re——雷诺数，惯性力与粘滞力的比值。
当模型与原型的粘性力相似，则其雷诺数必定相等，反 之亦然。这就是粘性力相似准则（雷诺准则）。
k 模型与原型用同一种流体时，
k 1
故：
kv 1
1 2
v qV 0.14 0.0025 （m 3 s） 55.9
k v kl
2
d 1 q 'V d ' 2 v' 4 4 5 5
2
1 2
1 v 5
5 2
由雷诺数相等可得模型内液体的运动粘度为
v' d ' 1 v' v vd 5
重力相似准则 粘滞力相似准则 压力相似准则 弹性力相似准则 非定常性相似准则 表面力相似准则
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第五章、相似原理和量纲分析
1.重力相似准则
在重力作用下相似的流动，其重力场相似。
kF Fg Fg
V g k kl3k g Vg
代入
kF 1 2 2 k kl kv

v2l v 2l We
We——韦伯数，惯性力与张力的比值。
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第五章、相似原理和量纲分析
§5.3
一、流动相似条件
流动相似条件
保证流动相似的必要和充分条件。 1.相似的流动都属于同一类的流动，应为相同的微分方程 所描述。
2.单值条件相似。
几何条件 边界条件（进口、出口的速度分布等） 物性条件（密度、粘度等） 初始条件（初瞬时速度分布等） 3.由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等。
第五章、相似原理和量纲分析
体积流量比例尺
kqV
l 3 / t kl3 qV 2 3 kl kv qV kt l /t
运动粘度比例尺
l 2 / t kl2 k 2 kl kv l / t kt
角速度比例尺
v / l kv k v / l kl
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工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
解决流体 力学问题 的方法
数学分析
实验研究 模型实验
以相似原理为基础
本章主要介绍流体力学中的相似原理， 模型实验方法以及量纲分析法。
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第五章、相似原理和量纲分析
§5.1
表征 流动 过程 的物 理量
流动的力学相似
描述几何形状的
如长度、面积、体积等
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第五章、相似原理和量纲分析
4.弹性力相似准则
对于可压缩流的模型试验，由压缩引起的弹性力场相似。
Fe dpA K AdV / V kF k K kl2 Fe dpA KAdV / V
kF 1 2 2 代入 k kl kv

k k v2 kK 1
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第五章、相似原理和量纲分析
• 【例5-1】 如图5-4所示，为防止当通过油池底部的管道向 外输油时，因池内油深太小，形成油面的旋涡将空气吸入输 油管。需要通过模型实验确定油面开始出现旋涡的最小油深。 已知输油管内径d=250mm，油的流量qv=0.14m3/s，运动粘度。 倘若选取的长度比例尺 kl 15 ，为了保证流动相似，模型输 出管的内径、模型内液体的流量和运动粘度应等于多少？在 60 mm ，油池的最小油深应等于多少？ 模型上测得 hmin
速度比例尺
密度比例尺
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第五章、相似原理和量纲分析
用基本比例尺表示的其它动力学比例尺：
2 k F V a 3 v 2 2 k k k k k 力的比例尺 F l l kv F Va kl
M F l k F kl k kl3 kv2 力矩（功、能）比例尺 k M M Fl
Sr—— 斯特劳哈尔数，当地惯性力与迁移惯性力的比值。
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第五章、相似原理和量纲分析
6.表面力相似准则
在表面张力作用下相似的流动，其表面张力分布相似。
l F kF k kl F l
代入
kF 1 2 2 k kl kv

k kl kv2 k 1
Fg
FP
F
Fi ma
FP
a
Fg
FP ——总压力 F ——切向力
Fg ——重力
F
Fi ——惯性力
Fg
F
Fg
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第五章、相似原理和量纲分析
四、三者间的关系
几何相似是流动力学相似的前提条件。
动力相似是决定运动相似的主导因素。 运动相似是几何相似和动力相似的表现。
带“ ！”的表示模型的有关物理量 不带“ ！”的表示原型的有关物理量
l kl l A l 2 kA 2 kl2 A l V l 3 kV 3 kl3 V l纲分析
二、运动相似 （时间相似）
定义：满足几何相似的流场中，对应时刻、对应点流速（加 速度）的方向一致，大小的比例相等，即它们的速度（加 速度场）相似。
kl
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第五章、相似原理和量纲分析
3.压力相似准则
在压力作用下相似的流动，其压力场相似。 pA Fp kF k p kl2 Fp pA
代入
kF 1 2 2 k kl kv

kp k k v2 1

p p Eu 2 2 v v
Eu——欧拉数，总压力与重力的比值。

v2
K

v 2
K
Ca
Ca——柯西数，惯性力与弹性力的比值。
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第五章、相似原理和量纲分析
弹性力相似准则（气体） 对于气体满足 K / c 2 （c为声速），
Ca
v 2
K

v Ma c
Ma——马赫数，惯性力与弹性力的比值。
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第五章、相似原理和量纲分析
工程流体力学
第五章、相似原理和量纲分析
第五章 相似原理和量纲分析
由于流体流动十分复杂，至今对一些工程中 的复杂流动问题，仍不能完全依靠理论分析来求 得解答。因此，实验常常是流动研究中最基本的 手段，而实验的理论基础则是相似原理，实验资 料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。
飞机模型—风洞—飞机的气动特性—飞机 舰船模型—水池—舰船的阻力特性—舰船 推进器模型—水洞—动力特性—推进器 锅炉的水模型实验—炉内气动特性
3 l v

F F 2 2 2 2 l v l v
——牛顿数
模型与原型的流场 动力相似，它们的牛 顿数必定相等。
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第五章、相似原理和量纲分析
二、各单项力相似准则
模型与原型的流场动力相似，则作用在流场上 的各种性质的力（如重力、粘滞力、总压力、弹性 力、表面力等）都要服从牛顿相似准则，即各单项 力作用下的相似准则）。
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第五章、相似原理和量纲分析
§5.2
一、牛顿相似准则
F ma
动力相似准则
F ma

F V dv / dt F Vdv / dt
kF 1 2 2 k kl kv
F Ne 2 2 l v

kv 2 2 kF k k k k kl kv kl
……
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第五章、相似原理和量纲分析
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5
流动的力学相似 动力相似准则 流动相似条件 近似的模型试验 量纲分析法
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第五章、相似原理和量纲分析
为使模型流动能表现出原型流动的主要 现象和特性，并从模型流动上预测出原型 流动的结果，就必须使两者在流动上相似， 即两个流动的对应时刻对应点上同名物理 量具有各自的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似 、 运动相似、 动力相似 。
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第五章、相似原理和量纲分析
二、流动相似条件解决了模型实验中必须解 决的下列问题的问题：
1.应根据单值条件相似和相似准则数相等的原则 去设计模型，选择模型中的流动介质。 2.试验过程中应测定相似准则数包含的一切物 理量，并整理成相似准则数。 3.按相似准则数整理的试验结果，可推广应用 到原型及其他相似流动中去。