拟常曲率空间中具常平均曲率的闭超曲面
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上 ， ｅ） Ｍ 相切 。设 ｛ Ａ 是关 于 ｛ Ａ 的对偶 标 架场 ， ｃ Ｂ 是 ¨的联络 形式 。限制 在 Ｍ 上 ， ｛ 与 Ｏ Ｃ｝ ｅ） ｛ Ａ） ｏ 有
∞ ＋ ＝ ， ＋ｉ ｌ ０ ｌ＝∑ ｈ ｏ ￣ｊ ｌ ｆ ｄ ｆ 一∑∞ ＾ ， ＋ｃｉ ｏ ｃ＝ ｏ ＝０ ｊ （） ２ （） ３
基金项 目： 江西省教育厅科研项 目（ Ｊ ５ ）华东交通 大科 学技术研究基金项 目（６ ＫＣ ４ ＧＪ ３ ； ４ ０ Ｚ Ｊ０ ） 作者简介 ： 吴泽九（９６一）男 ， 士 ， １７ ， 硕 讲师 ， 研究方 向为微分几何 。
华
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大
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报
２１ ００年
溉 一 ｈｉ 一 Ｋｎ＋ ｉ ｋ ｊ ｌｋ ｊ
中 图 分 类 号 ： １６ １ Ｏ ８ ．２
设 则 称
是 ｎ＋１ 单 连通完 备 黎曼 流形 ， 黎曼 曲率 张量 分量 取如 下 形式 维 其
Ｋ ＢＤ＝０ ｇ ｃｓ ＡＣ （ Ａ ｏ—ｇｏ Ｓ ） （ ｇ Ａｇ ｃ ＋ｂ Ｄ一 ｃ＋ｇ ｏａｃ—ｇ ａＤ ， ｓＸ２ ２） Ａ８＝１ ２ （） １
△ ＝∑ ＋∑ 尺 驰＋∑＾
又假设 的平均 曲率 为常 数 ， 而 Ｅｈ 从
０ 由 （） 有 ， ５式
∑ Ａ ｈ 三∑
Ｅｈ Ａｈ ＝ １
＋∑ 乒 蝴 ＋ｎ ｔ Ｈ ｒ 一Ｓ Ａ
—ｋ） ｊ ＋ ∑ 一ｓ
其 中 Ａ 表示矩 阵 （ 选 取适 当 的｛ ｉ， 得 ｈ． ， ， ｈ Ｃ）使 ｏ ￣ 则 ＝ｋ ｉ
Ｊ ｎ ．０ ０ ｕ ．２ １
拟 常 曲率 空 间 中具 常 平 均 曲率 的 闭超 曲面
吴泽 九
（ 华东交通大学 基础科 学学 院 ， 江西 南 昌 ３０ １ ） ３０ ３
摘要： （＂ ， 是 ｎ 设 ／ ｇ） Ｖ ＋ｌ维单 连 通 完 备 黎 曼 流 形 ， 黎 曼 曲 率 张 量 取 如 下 形 式 ： Ａ Ｏ＝ ｎ ｇｃＢ 其 ＫＳ Ｃ （ ａｇｏ—ｇＯ Ｂ） ｂ Ａｇｃ ＋ （ Ｄ一 ｃ 缸 ｃ ｎ￣２ ） 则称 Ｉ “为拟 常曲率空间。又设 Ｍ 是 “中具 常平均 曲率 的连 通 闭超 曲面 ， —ｇ ｃＡＤ ， Ｖ ＂ Ｊ Ｍ 的第二 ｓ为
Ｊ ∑ ）Ｈ －ｒ ｓ ￡ ＝ ， ＝ （ ， ＃ｈ
．
Ｉ
－ｖ
。
（ ６ ）
航 （） ７ （） ８
用 毋及 ｈｋ 别表 示 的共变 导数 ， ｊ ￣分 ｔ 则
∑
所 以
收 稿 日期 ：０ ９１—４ ２０ —２１
＝ｄ 一￣ ｈ，ｋ一∑ ｈ ，ｋ ｊ ｗ
∑ ｈｋ ｔ ｈｋ ｑ ｏ ＝ｄ ｉ 一∑ ｈｇ ｔ ｃ ￣ ｊ 一∑ ｈｇｔ ｚ ｏ ｉｏ 一∑ ｔｊ
为 拟 常 曲率 空 间 ， 中 ０， 其 ｂ是 “上 的 ｃ 一函数 ， ｇ是 十的黎 曼 度量 ， 是 “上 的单 位 １ 的生成 元 。显然 ， ｎ为 常数 且 ｂ＝０时 ， 常 曲率 空 间 即为 常 曲率 空 间。对 于 拟 当 拟
向量 函数 ， 它 为 称
常 曲率 空 间 中具 常 平均 曲率 的超 曲面 ， ［ ，］ 到关 于 第 二基 本 形式 模 长 平方 ５的积 分 不 等式 及 文 ２ ３得 ｓ的值 域估 计 等结 果 。本 文讨论 ｓ满 足一 定 条件 下超 曲面 Ｍ 的分 类 ， 广文 ［ ］ 推 ４ 中相应 结论 。
第２ ７卷第 ３ 期 ２１ ００年 ６ 月 文章编号 ：０５０ ２ （００ ０ ． ８．５ １０—５３２ １ ）３０ ３０ ０
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Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １２ ３
Ｊｕｎｌｏ ａｔＣ ｉａＪ ｏｏ ｇＵ ｉｅｓｙ ｏ ｒａ ｆ ｓ ｈｎ ｉ ｔｎ ｎｖｒｉ Ｅ ａ ｔ
引理 １ 设 ｛ １ ≤ｎ 是 满 足条件 ∑口 ＝０的 ｎ个实 数 ， ｎＩ≤ｉ ） 则
基本形式模 长的平方 。若 的 生成元 切 于 Ｍ， （ ） 则 １ ＂ Ｓ＜２√ ｎ一１ 。＋ｂ— ｌ ） ， 是 全脐 超 曲面 ；２ ３ Ｓ＝ ３ － （ １时 ｂ （） － ＂ ２厂 、 （ ＋ｂ ） ， 是全脐超 曲面或球 面 “（ ） ｎ —ｌ Ｉ时 ｂ Ⅱ 中的 日（） ｒ 一环 面 Ｓ（ ） ｎ （ ） ｒ ×Ｓ ｔ。若 “的生成元 法于 ，
则（ ） Ｓ＝ ／１ 口时 ， 是全脐超 曲面；２ 当 Ｓ＝２ ｎ 。时， 是全 脐超 曲面或 “ 中的 日（ ） １当 ２￣ １一１ ， （） —ｌ ｒ 一环 面 Ｓ （ ） ｒ× ０
（） ｔ。
关
键
词 ： 常曲率空间 ； 拟 常平 均曲率 ； 曲面 ； 超 全脐
文 献 标 识 码 ： Ａ
ｄ ＝一 ｃ 八 ｋ 专∑ ２ ｉ ｃ＋ ｏ ｏ ｋ ｊ
Ｒｊ ＝Ｋ ｋ＋（ ￣ ｉ—ｈ ） ｉ ｋ ｔ ￣ ｊ ｌ ｈｈ ｚ ｉ ｔ
八ｏ ｃ １
（ ４ ）
（） ５
其 中 ： ｑ与 Ｋ 分别 是 Ｍ 与 “的 曲率 张量分 量 。 Ｒｋ ｔ
是
的第 二基 本 形 式模 长 的平方 ｓ与 平 均 曲率 日分 别
ｈ ｆ 批 ＝Ｅ ｍ ｆ 一 ｈ ＋∑
ｆ
由于 “的生 成元 切 于 Ｍ ， Ｉ ￣ Ｊ
＋＝ ， ； １ ｌ ０ ：
由 （ ） １ ） 对任意 ， ｋ有 １（１ ， ，
＋ｌｋ＝ ０ ｌ ｊ
从而 （ ） ９ 式变 为
ｈ ｋ ｈｋ ０ ｉ ｊ
于 是 的 ［ｐａｉ Ａｈ ＝Ｅ 为 ａｌ ａ ｉ ｃｎ ｊ
１ 预备 知识
文 中各 种 指标 范 围规定 如下 ：≤Ａ， Ｃ… ≤ｉ＋１ １ ， ｋ ≤ｎ； 特 别说 明时 ， １ Ｂ， ｒ ；≤ ， … ｔ 不 ∑表 示 对重 复 指 标 求 和 。设 是 拟常 曲率 空 间 ¨的闭超 曲面 ， 在 “上 选 取 局 部标 准 正 交标 架 场 ｛Ａ ， 得 限制 在 ｅ ）使
∞ ＋ ＝ ， ＋ｉ ｌ ０ ｌ＝∑ ｈ ｏ ￣ｊ ｌ ｆ ｄ ｆ 一∑∞ ＾ ， ＋ｃｉ ｏ ｃ＝ ｏ ＝０ ｊ （） ２ （） ３
基金项 目： 江西省教育厅科研项 目（ Ｊ ５ ）华东交通 大科 学技术研究基金项 目（６ ＫＣ ４ ＧＪ ３ ； ４ ０ Ｚ Ｊ０ ） 作者简介 ： 吴泽九（９６一）男 ， 士 ， １７ ， 硕 讲师 ， 研究方 向为微分几何 。
华
东
交
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报
２１ ００年
溉 一 ｈｉ 一 Ｋｎ＋ ｉ ｋ ｊ ｌｋ ｊ
中 图 分 类 号 ： １６ １ Ｏ ８ ．２
设 则 称
是 ｎ＋１ 单 连通完 备 黎曼 流形 ， 黎曼 曲率 张量 分量 取如 下 形式 维 其
Ｋ ＢＤ＝０ ｇ ｃｓ ＡＣ （ Ａ ｏ—ｇｏ Ｓ ） （ ｇ Ａｇ ｃ ＋ｂ Ｄ一 ｃ＋ｇ ｏａｃ—ｇ ａＤ ， ｓＸ２ ２） Ａ８＝１ ２ （） １
△ ＝∑ ＋∑ 尺 驰＋∑＾
又假设 的平均 曲率 为常 数 ， 而 Ｅｈ 从
０ 由 （） 有 ， ５式
∑ Ａ ｈ 三∑
Ｅｈ Ａｈ ＝ １
＋∑ 乒 蝴 ＋ｎ ｔ Ｈ ｒ 一Ｓ Ａ
—ｋ） ｊ ＋ ∑ 一ｓ
其 中 Ａ 表示矩 阵 （ 选 取适 当 的｛ ｉ， 得 ｈ． ， ， ｈ Ｃ）使 ｏ ￣ 则 ＝ｋ ｉ
Ｊ ｎ ．０ ０ ｕ ．２ １
拟 常 曲率 空 间 中具 常 平 均 曲率 的 闭超 曲面
吴泽 九
（ 华东交通大学 基础科 学学 院 ， 江西 南 昌 ３０ １ ） ３０ ３
摘要： （＂ ， 是 ｎ 设 ／ ｇ） Ｖ ＋ｌ维单 连 通 完 备 黎 曼 流 形 ， 黎 曼 曲 率 张 量 取 如 下 形 式 ： Ａ Ｏ＝ ｎ ｇｃＢ 其 ＫＳ Ｃ （ ａｇｏ—ｇＯ Ｂ） ｂ Ａｇｃ ＋ （ Ｄ一 ｃ 缸 ｃ ｎ￣２ ） 则称 Ｉ “为拟 常曲率空间。又设 Ｍ 是 “中具 常平均 曲率 的连 通 闭超 曲面 ， —ｇ ｃＡＤ ， Ｖ ＂ Ｊ Ｍ 的第二 ｓ为
Ｊ ∑ ）Ｈ －ｒ ｓ ￡ ＝ ， ＝ （ ， ＃ｈ
．
Ｉ
－ｖ
。
（ ６ ）
航 （） ７ （） ８
用 毋及 ｈｋ 别表 示 的共变 导数 ， ｊ ￣分 ｔ 则
∑
所 以
收 稿 日期 ：０ ９１—４ ２０ —２１
＝ｄ 一￣ ｈ，ｋ一∑ ｈ ，ｋ ｊ ｗ
∑ ｈｋ ｔ ｈｋ ｑ ｏ ＝ｄ ｉ 一∑ ｈｇ ｔ ｃ ￣ ｊ 一∑ ｈｇｔ ｚ ｏ ｉｏ 一∑ ｔｊ
为 拟 常 曲率 空 间 ， 中 ０， 其 ｂ是 “上 的 ｃ 一函数 ， ｇ是 十的黎 曼 度量 ， 是 “上 的单 位 １ 的生成 元 。显然 ， ｎ为 常数 且 ｂ＝０时 ， 常 曲率 空 间 即为 常 曲率 空 间。对 于 拟 当 拟
向量 函数 ， 它 为 称
常 曲率 空 间 中具 常 平均 曲率 的超 曲面 ， ［ ，］ 到关 于 第 二基 本 形式 模 长 平方 ５的积 分 不 等式 及 文 ２ ３得 ｓ的值 域估 计 等结 果 。本 文讨论 ｓ满 足一 定 条件 下超 曲面 Ｍ 的分 类 ， 广文 ［ ］ 推 ４ 中相应 结论 。
第２ ７卷第 ３ 期 ２１ ００年 ６ 月 文章编号 ：０５０ ２ （００ ０ ． ８．５ １０—５３２ １ ）３０ ３０ ０
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东
交
通
大
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报
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ． １２ ３
Ｊｕｎｌｏ ａｔＣ ｉａＪ ｏｏ ｇＵ ｉｅｓｙ ｏ ｒａ ｆ ｓ ｈｎ ｉ ｔｎ ｎｖｒｉ Ｅ ａ ｔ
引理 １ 设 ｛ １ ≤ｎ 是 满 足条件 ∑口 ＝０的 ｎ个实 数 ， ｎＩ≤ｉ ） 则
基本形式模 长的平方 。若 的 生成元 切 于 Ｍ， （ ） 则 １ ＂ Ｓ＜２√ ｎ一１ 。＋ｂ— ｌ ） ， 是 全脐 超 曲面 ；２ ３ Ｓ＝ ３ － （ １时 ｂ （） － ＂ ２厂 、 （ ＋ｂ ） ， 是全脐超 曲面或球 面 “（ ） ｎ —ｌ Ｉ时 ｂ Ⅱ 中的 日（） ｒ 一环 面 Ｓ（ ） ｎ （ ） ｒ ×Ｓ ｔ。若 “的生成元 法于 ，
则（ ） Ｓ＝ ／１ 口时 ， 是全脐超 曲面；２ 当 Ｓ＝２ ｎ 。时， 是全 脐超 曲面或 “ 中的 日（ ） １当 ２￣ １一１ ， （） —ｌ ｒ 一环 面 Ｓ （ ） ｒ× ０
（） ｔ。
关
键
词 ： 常曲率空间 ； 拟 常平 均曲率 ； 曲面 ； 超 全脐
文 献 标 识 码 ： Ａ
ｄ ＝一 ｃ 八 ｋ 专∑ ２ ｉ ｃ＋ ｏ ｏ ｋ ｊ
Ｒｊ ＝Ｋ ｋ＋（ ￣ ｉ—ｈ ） ｉ ｋ ｔ ￣ ｊ ｌ ｈｈ ｚ ｉ ｔ
八ｏ ｃ １
（ ４ ）
（） ５
其 中 ： ｑ与 Ｋ 分别 是 Ｍ 与 “的 曲率 张量分 量 。 Ｒｋ ｔ
是
的第 二基 本 形 式模 长 的平方 ｓ与 平 均 曲率 日分 别
ｈ ｆ 批 ＝Ｅ ｍ ｆ 一 ｈ ＋∑
ｆ
由于 “的生 成元 切 于 Ｍ ， Ｉ ￣ Ｊ
＋＝ ， ； １ ｌ ０ ：
由 （ ） １ ） 对任意 ， ｋ有 １（１ ， ，
＋ｌｋ＝ ０ ｌ ｊ
从而 （ ） ９ 式变 为
ｈ ｋ ｈｋ ０ ｉ ｊ
于 是 的 ［ｐａｉ Ａｈ ＝Ｅ 为 ａｌ ａ ｉ ｃｎ ｊ
１ 预备 知识
文 中各 种 指标 范 围规定 如下 ：≤Ａ， Ｃ… ≤ｉ＋１ １ ， ｋ ≤ｎ； 特 别说 明时 ， １ Ｂ， ｒ ；≤ ， … ｔ 不 ∑表 示 对重 复 指 标 求 和 。设 是 拟常 曲率 空 间 ¨的闭超 曲面 ， 在 “上 选 取 局 部标 准 正 交标 架 场 ｛Ａ ， 得 限制 在 ｅ ）使