数值分析典型例题与习题4.

2. 辛卜生公式

b
a
ba ab f ( x )dx [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
3/16
求积余项:
(b a )5 ( 4 ) R[ f ] f ( ) 5 90 2
练习: 复合辛卜生公式求积余项? 两点高斯型数值求积公式 1 1 1 1 f ( x)dx f ( 3 ) f ( 3 )
b
a
F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”() b f ( ) 2 f ( x ) dx ( b a ) f ( a ) ( b a ) a 2 练习:

b
a

b
a
f ( ) f ( x )dx (b a ) f (b) (b a ) 2 2 ab f ( ) f ( x )dx (b a ) f ( ) (b a ) 3 2 24
2/16
1.梯形公式

b
a
ba (b a ) 3 f ( x )dx [ f (a ) f (b)] f ( ) 2 12
复合梯形求积公式
b
令h=(b-a)/n
n 1 h f (a jh)] a f ( x)dx 2 [ f (a) f (b) 2 3 j 1 求积余项 R[ f ] (b a ) f ( ), (a,b) 2 12n
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Ex2.复合左矩形求积公式的求积误差
h2 n f (a jh) f ( j ) a f ( x)dx h 2 j 1 j 0 设被积函数在积分区间上的一阶导数连续,由连续函数 介值定理 1 n
b n 1
f ( ) f ( ) n
j 1 j
(a , b)
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预测-校正公式
~ yn1 yn hf ( xn , yn )
h y n 1 y n [ f ( x n , y n ) f ( x n 1 , ~ yn1 )] 2 又称为修正的Euler公式
yn+1= yn+ 0.5h[ k1+ k2]
k1=f(xn,yn), 局部截断误差 设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差 k2=f(xn+h, yn+hk1)
f (a h) 2 f (a ) f (a h) 2 O ( h ) 二阶中心差商 f (a ) 2 h
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外推算法
1 G (h) [ f ( x h) f ( x h)] 2h
G(h) f ( x) 1h2 2h4 G(h / 2) f ( x) 1h2 / 4 2h4 / 16
Aj l j ( x )dx,
b
b
( j 0,1,2,,n)
f ( n1) ( ) n1 ( x )dx ( n 1)!
R[ f ] [ f ( x ) Ln ( x )]dx
a
a
等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式, 偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度
y f ( x , y ) y ( x 0 ) y0
x x0
y0 y( x0 ), xn1 xn h yn1 yn hf ( xn , yn ),( n 0,1,2,)
2. 梯形公式:
yn1 h yn [ f ( xn , yn ) f ( xn1 , yn1 )] 2
Ex4.利用复合梯形公式计算积分
sin x I dx 0 x 使其截断误差不超过 0.5×10-3,应算多少次函数值？
1
提示： 练习: 给定积分
sin x f ( x) x
cos(xt)dt
0
1

3
1
e x sinxdx

b
a
ba ba ba ba ba f ( x )dx [ f ( ) f ( )] 2 2 2 2 3 2 3
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一阶向前差商
f (a )
f (a h) f (a ) O (h) h
一阶向后差商 一阶中心差商
f (a ) f (a h) f (a ) O (h) h f (a h) f (a h) f (a ) O (h2 ) 2h

(b a ) 2 n (b a ) 2 R[ f ( x )] f ( j ) f ( ) (a, b) 2 2n 2n j 1
b
Ex3. 求复合中矩形公式

a
f ( x )dx h f (a ( j 0.5)h)
j 0
n 1
的求积误差?
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常表示为: O(hp+1)， p 称为单步法的精度阶数
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Ex1.推导左矩形求积公式
f ( ) 2 f ( x ) dx ( b a ) f ( a ) ( b a ) a 2 u 令 F (u) f ( x )dx F (a ) 0, F (a ) f (a ), F ( ) f ( )
《数值分析》典型例题
数值求积公式及代数精度
数值求导方法与截断误差
IV
一阶常微分方程数值法
局部截断误差与精度
插值型求积公式:
求积结点 求积系数 求积余项
b

a
b
a
f ( x )dx Aj f ( x j ) R[ f ]
j 0
n
a x0 x1 xn b
4G ( h / 2) G ( h) f ( x) 3 2h4 / 4 3
m
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
h 4 Gm 1 ( ) Gm 1 (h) 2 Gm (h) 4m 1
f ( x) Gm (h) O(h2(m1) )
练习：二阶中心差商的外推公式？
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常微分方程初值问题 1. Euler方法