断裂力学(6)讲义版

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司
师多媒体教学系列
断裂力学
华中科技大学力学系司继文
2009年11月10日
老
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第六章
断裂力学
第六章能量法
J裂纹扩展分析的能量方法是根据能量平衡原理来研究裂纹的扩展规律，并建立含裂纹构件的断裂条件的方法。

J它无需具体分析裂纹尖端附近的应力分布，只需
§6-1
能量释放率及其断裂判据
设有一裂纹体，裂纹面积为A，
裂纹失稳开裂前扩展了δA:
载荷做功δW 体系弹性应变能变化δU
e 塑性应变能变化δU
p 裂纹表面能增加δΓ假定这一过程是绝热的和静态的，即不考虑热功间的交换。

能量守恒和转换定律——体系内能的增加等于外力功。

∴在裂纹扩展时：
能量守恒和转换定律：∴裂纹扩展δA 时,弹性系统释放(耗散)的能量(势能):
整个系统总势能在裂纹扩展时的变化等于外力的势能
变化(等于外力做功的负值)与弹性应变能的变化之
和。

J δU p 和δΓ为不可逆的,表示裂纹扩展δA 时所需要的塑性
能和表面能,它们可视为裂纹扩展所要消耗的能量（阻止裂纹扩展的能量),因此要使裂纹扩展,系统必须提供能量。

e p W U U δδδδΓ
=++U δΠδe p W U U δΠδδδδΓ
−=−=+
2.能量释放率G
ØG ——裂纹扩展单位面积弹性系统释放的能量。

Ø裂纹扩展单位面积所消耗的总势能。

它表示裂纹扩
展单位面积时，提供给裂纹扩展所需的系统释放的能
量（系统势能的减少）。

ØG 取决于裂纹体的载荷和几何形状。

ØG 的量纲：[力][长度]－1
国际单位：N/m 工程单位：kg/mm
Ø按量纲分析，G 可看作是裂纹扩展单位长度所需的
驱动力。

G 被形象地称为裂纹扩展力或裂纹驱动力。

e p
3.
裂纹扩展阻力∴能量平衡式变为：
ØG c ——裂纹扩展单位面积所需要消耗的能量。

Ø它反映了材料抵抗断裂破坏的能力,由材料实验测定。

Ø裂纹扩展单位面积消耗于塑性变形及形成新表面的能量。

Ø能量释放率的临界值G c 是材料故有的对裂纹扩展的抗力。

Ⅰ型平面应变问题：
G Ⅰc ——材料的断裂韧性
（材料常数）。

e p c
G G =Π∂
二、G
准则
定边界（恒位移情况）定载荷（恒载荷情况）
两种典型情况
：——当能量释放率G 达到临界值G c 时，裂纹
失稳扩展，使含裂纹的物体发生脆性断裂。

断裂准则：
K G 虽然称为能量释放率，但在临界情况下（即在
裂纹失稳扩展时），临界值G c 才具有真实的能量转化率意义。

Ø在物体边界固定的情况下,外力不再做功,裂纹扩展形成新裂纹表面所需要的能量全部由物体中的裂纹扩展而释放的应变能提供,两者构成一个封闭的能量交换系统。

Ø系统释放的应变能用于推动裂纹扩展，因此裂纹扩展的能量率就是弹性体的应变能释放率。

1.固定边界（恒位移情况）e U G A Ι∂=−∂在线弹性情况下：e
1U P 2∆
=
J λ决定于含裂纹的物体的形状与尺寸，在确定的裂纹体中，λ值随裂纹尺寸的增大而增大。

e 11U P P 22
δδ∆∆δ∴=+1P P 2λδ=21P 2δλ=−0
P P 0δ∆δλλδ=+=Q P P δλδλ
∴=−21d G P 2dA Ιλ∴=
Ø在固定载荷情况下, 裂纹扩展时外力做的功, 一半转化为物体内弹性应变能的增加,另一半转化为裂纹扩展的塑性应变能和表面能所消耗。

裂纹会急剧扩展直至断裂。

物体受不变的载荷P 作用，随边界的
e e
e U G A A ΙΠ∂∂∴=−=∂∂p U A A
Γ∂∂=+∂∂
四、G 的柔度标定
应用Irwin-Kies 关系式来标定试样的G Ⅰ：
J 在运用能量法进行断裂问题分析时，关键
在于确定G 。

J 在许多情况下，用解析法在数学上是很困难的，而通过实验测定却很方便。

即要找出G 和某些容易
通过实验测量的量之间的关系。

J 裂纹体的柔度λ是一可测量且与G 有确定关系的
量。

先通过实验测量λ，进而确定G 。

应用Irwin-Kies 关系式来标定试样的G Ⅰ
：
⑴取一组材料及外形尺寸相同，仅a 值不同的试样，在弹性范围内进行试验，测出不同a 试样的P-∆曲线。

该族曲线斜率的倒数：J 为保证其他尺寸完全相同，宜采用单试样逐步增加缺口深度，测得柔度的变化。

应用Irwin-Kies 关系式来标定试样的G Ⅰ：
⑵求出每一个裂纹长度a i 所对应的柔度λi ，将其无量纲化后，画入BE ’λ-(a/W)坐标系中，得柔度标定曲线BE ’λ= f (a/W)。

J 为了提高精度，可
根据测定出来的λ-a
数据，即BE ’λ-
(a/W)，拟合成某一合
适的函数式BE ’λ= f
(a/W)。

()i i i i i
a P ∆λλ==
应用Irwin-Kies 关系式来标定试样的G Ⅰ：
式，则可直接求导。

()d /da λ∗∗⑶利用标定曲线，对于所考虑的裂纹长度a ＊，可得到相应的（即对应于a ＊的曲线切线的斜率）。

21d G P λ=
讨论J 从G 的柔度标定式可以看出，G 的标定与材料性质
无关，试样的柔度仅仅与形状及尺寸有关。

所以在实际标定中就不一定要用待测材料做试样，而可以任意选用材质均匀，屈服强度较高而弹性模量又事先知道的材料(如高强度钢或高强度铝合金)，并把结果无量纲化，就可以给出与试样形状相同的任何其它材料制作的构件的G 。

J 有了标定曲线后，如果已由实验测得了临界应力σc 和临界裂纹尺寸a c ，则可算出材料的断裂韧性G Ⅰc 。

J 当试样的切口宽度不大时，在弹性范围内，柔度只与切口长度有关，受切口的尖锐程度影响很小。

因而可用相同长度的切口代替裂纹。

J 为了提高标定精度，宜选用柔度较大的几何形状及加载方式，例如三点弯曲试样。

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19
§6-2G与K的关系线弹性断裂力学一般从两个角
度分析含裂纹物体的力学性能。

⑴分析含裂纹物体裂纹尖端的应力应变场,得到表征裂
纹尖端应力应变场强度的特征参数——应力强度因子。

⑵从能量的观点考察裂纹扩展过程中物体能量的变化，得到表征裂纹扩展的能量变化的参数——能量释放率。

J能量释放率G 和应力强度因子K一个是整体分析的量，一个是局部分析的量。

两个判据描述的是同一问题，它们之间不可能是孤立的，一定有某种关系存在。

以Ⅰ型问题为例：Ø在裂纹长度为a 时，
直于裂纹面的应力分量为：
设在外边界固定的情况下，裂纹由长度a 扩展至长度a + ∆a 。

x,r Ø假想在裂纹线上，裂纹
从O点扩展到了A点，裂
纹张开v’(x)：
裂纹长度为a 时，裂
纹面的张开位移：
裂纹长度为a + ∆a时：
a a a
r a x
∆
∆
′=+
′=−
∴x 点处裂纹面的张开位移：
Ø假设在∆a 段上施加与σy (x)等值反向的正应力σ’y (x) ，使已扩展的裂纹重新闭合到原来状态，即使v ’(x)回到0 ：
x,r
σ’y (x)在∆a 段上使裂纹闭合，相应在v ’(x)上做功：
1
a ∆=Ø裂纹从a 扩展到a + ∆a 所释放的应变能在数值上等于使它闭合时外力σ’所做的功。

单位面积上应变能的改变：
Ø根据G
的定义，在固定边界情况下：
2K
G E Ι
Ι=
′
J 在临界状态下，可得到两种断裂韧性（平面应变状态）之间的换
算关系。

J 在线弹性条件下，“K 判据”和“G 判据”是等效的。

在小范围屈服下，这两种方法在数学上是完全相当的。

因此，尽管有两类断裂判据，但殊途同归。

J 在实际计算中，可通过K 求G ，也可由G 求K 。

在工程应用上，一般多用“K 判据”。

讨论J 对于Ⅱ型裂纹，如果假设裂纹沿原裂纹线
方向扩展了∆a ，则可得到：
Ⅲ型裂纹复合型裂纹：只要裂纹沿着裂纹平面扩展，可叠
加计
算复合能量释放率。

Ø实验和理论都证明，Ⅲ型裂纹的扩展方向是沿裂纹延长线的。

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i
Ø如在物体上还作用有另一个与P i 力等值、共线、反向的平衡力,则作用点
M 1、M 2间沿外力作用方向的相对位移为：
Ø若要计算物体上任意两点B 1、B 2之间的相对位移，可加上一对平衡力（F ，F ’），再令F →0。

B 1、B 2两点的实际相对
位移：
随着裂纹面积的变化，弹性
体的变形能U e 的计算是很困难的。

如果把它与G 或K 联系起来,则求解过程将大大简化。

()e i F 0U A,P ,F lim
F
δ→∂=∂恒载荷下Ⅰ型问题：
积分：e P
U G A A ΙΠ∂∂ =−=+ ∂∂ ()s
e e 00
U U G dA
Ι=+∫
考虑到关系式：()P F G E E ΙΙΙ
Ι==′′
F F K F F 0,K 0
ΙΙ∝∴→=Q ()
()s
e i e e 0F 0U A,P ,F lim ,U U G dA
F Ιδ→∂==+∂∫()s
e0F P F F 00U 2
K lim K K dA F E F ΙΙΙ→ ∂∂=++ ′∂∂
∫e F 0U lim F δ→∂∴=∂()s
2
P F e0F 00K K U lim dA F F E ΙΙ→ +∂∂=+ ′∂∂
∫s
e0F P F 00U 2K K dA F E F ΙΙ=∂∂ =+ ′∂∂ ∫
裂纹张开位移：当B 1、B 2两点分别是裂纹上下表面的两个对应点,则在无裂纹情况下就重合成一个点,因而其相对位移为零s
F
P
2K K dA E F
ΙΙδ∂=′
∂∫
e0F 0
U 0F =∂
=
∂
i
裂纹张开位移：J 若K Ⅰ的表达式已知，在确定裂
纹的张开位移时，经常用到此式。

J 应用此式计算δ时，作用力P 的
值与B 1、B 2两点的位置是保持不
变的，变量就只是裂纹的面积。

故积分过程就相当于是一个裂纹长度不断增加的过程。

J 为了与真实裂纹长度2a 相区别，积分中的瞬时长度一律用2ξ来表示。

s
F
P 02K K dA E F
ΙΙδ∂=′∂∫
例一.经典裂纹问题。

裂纹长为2c ，求距裂纹中心为a 的D 点的张开位移。

x
由虚平衡力引起的
长为2ξ的裂纹两
端应力强
度因子分别为：A
F B F
F K F
K
ΙΙ=
=由外载所引起的应力强度因子为：
A B P
P
K
K
ΙΙσ==为求D 点的张开位移，在D 1、
D 2点上加一对虚平衡力F 、F ’s
F P 02
K K dA E F
ΙΙδ∂=′∂∫
由于A 、B 两端的应力强度因子不等，积分的计算必须对裂纹两端分别进行：
裂纹总面积：()S 2B c 2c B 1===()dA d B d ξξ
==s
F P 02
K K dA E F
ΙΙδ∂=′∂∫s /2
s /2
A
B
F
F
P P 002K K
K dA K dA E F F ΙΙΙΙδ ∂∂=+ ′∂∂
∫∫c
c
A
B F
F
P P 002K K K d K d E F F ΙΙΙΙδξξ ∂∂∴=+ ′∂∂
∫∫()c
A B
P F F
2K K K d E F ΙΙΙξ∂=+′∂
∫c
P 02K E Ι=′∫
a
c
F F
P P 0a 2K K K d K d E F F ΙΙΙΙξξ ∂∂=+
′∂∂
∫∫c F P 0
2K K d E F ΙΙδξ∂=′∂∫c
F
P a 2K K d E F ΙΙξ∂=′∂
∫x
当裂纹的瞬时长度ξ<a 时, D 1、D 2
是一个点。

即虚平衡力是作用于同一点上,它们的作用互相抵消,对瞬时裂纹的应力强度因子无贡献。

x
x
F F
K Ι
=
+
F
2=
P K Ισ
=
﹟
c
F
P a 2K
K d E F
ΙΙδξ∂=′∂
∫c
a 212d E ξδσξ
=′∫4E σ=′
2009-11-10 10:33:42
例二.如图所示的裂纹问题。

求裂纹面上D 点的张开位
移。

x
A B F F F F
2K K K ΙΙΙ=+=1P a K 2cos Ισξ− =−
为求D 点的张开位移，在D 1、D 2点上加一对虚平衡力F 、F ’。

c 1a 2a 12cos
d E σξξ−− = ′ ∫c F
P a
2
K K d E F ΙΙδξ∂=′∂∫2009-11-10 10:33:43
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裂纹扩展时的能量平衡关系为：
能量
释放率
裂纹扩展阻力
R
=J R 是塑性变形和表面能消耗的能量。

R 越大，裂纹扩展就越不容易。

p e U W U A A A A
Γ
∂∂∂∂−+∂∂∂∂
2
2
1G a
E
Ινσπ−=Ⅰ型问题平面应变条件下能量平衡式变为：
c
G G ΙΙ=裂纹扩展的推动力：
2K G E Ι
Ι=′2
2
1K E Ιν−=
无穷大板中心穿透裂纹：
a
R G J 如固定应力σ, 在G Ⅰ-a 坐
标系中,推动力曲线是一条经过坐标原点的射线。

裂纹扩展的阻力：
c
R G Ι=J 此时的R 即为G Ⅰc ,是一
个材料常数,在R-a 坐标系中,阻力曲线为一水平线。

c
Ι
a
R G c
ΙØOA 线与水平线的交点A ，即代表在给定应力σ1下，裂纹失稳扩展的临界条件G Ⅰ= G Ⅰc 。

a 1为相应于应力σ1 的临界裂纹长度。

Ø如给定的应力为σ2 ，且σ2 < σ1。

当初始裂纹长度为a 1时，对应于B 点。

此时G Ⅰ< G Ⅰc ，表明裂纹扩展的推动力小于裂纹扩展的阻力，故裂纹不扩展。

Ø只有当裂纹半长达到a 2时，OB 线与水平线的交点C ，才满足G Ⅰ= G Ⅰc 条件，裂纹失稳扩展。

c
Ø当给定σ1时，裂纹半长为a 1，恰好对应于K 点。

G Ⅰ= G Ⅰc ，裂纹失稳扩展。

a
R G c
ΙØ如给定σ2 ，且σ2 < σ1，裂纹半长仍为a 1，对应于F 点。

裂纹不扩展。

Ø当裂纹半长达到a 2时,对应于K 点,满足扩展条件。

a
R G a
二、一般金属材料的阻力曲线
对于金属材料，通常裂尖附近存在着塑性区，由于材料的硬化效应，裂纹扩展阻力R 随裂纹扩展而提高。

即裂纹开始扩展并不会立即失稳扩展而断裂。

ØR是裂纹尺寸a的非线性函数，在R-a坐标中，它不是一
条水平线，而是一条曲线
R(a)，称为R阻力曲线，由试验测定。

Ø在开始阶段，阻力是沿着垂直线增加的，当增大到某一确定值后，则就沿着曲线增加。

Ø对应于直线段，R的增加与a无关，即裂纹并未扩展；而当转成曲线后，R与a 将同时增加，即裂纹在扩展。

1
i ∆a
a 一些学者认为,R 阻力曲线不依赖于初始裂纹长度a 0Ø给定载荷σ1 , 推动力直线G(σ1)与阻力曲线的交点低起裂点A,所以裂纹不Ø增大载荷到σi ,推动力
直线G(σi )与阻力曲线的
交点为A(起裂点)。

v 在开始阶段,阻力R 与推动力G 都是沿阻力曲线OA 段同步增长,二者始终保持相等。

过了起裂点后,随着∆a 的增大(如果裂纹会继续扩展的话),阻力仍旧沿阻力曲线(曲线段)增长,而推动力G 则按G(σi )直线增长,即阻力的增长速度大于推动力的增长速度,亦即阻力大于推动力,裂纹不会继续扩展(如果不再进一步加大载荷的话)。

1
i Ø若要使裂纹继续扩展，就必须增加载荷。

例如增加到σ2 ，推动力直线G(σ2)与阻力曲线相交于B 点。

v 在开始阶段,G 与R 沿着阻力曲线的OA 直线段同步增长,到达A 点时起裂。

v 由于此时载荷还未达到σ2,故G 与R 仍将同时增大,裂纹也继续扩展。

在此阶段内,G 与R 沿着AB 段增长,直到B 点。

∆a
a
v 由于阻力的增长速度将大于推动力的增长速度，故裂纹不再扩展。

即对应于载荷σ2，过程可以进行到B 点，相应的裂纹扩展量为∆a 2。

c
Ø若进一步提高σ,使其达到某一临界值σc 时,推动力直线G(σc )与阻力曲线相切于C 点。

v 当σ达到σc 后，随着∆a 的增加，阻力的增长速度总赶不上推动力的增长速度，即推动力G 始终大于阻力R 。

表明:即使不再增加载荷，裂纹也会继续扩展下去直到整个构件断裂。

此即为裂纹的失稳扩展。

∆a a
1
i v C 点即为失稳点。

对应的阻力就是裂纹的临界扩展阻力R c ，对应的裂纹扩展量为∆a c 。

c
J 裂纹由起裂到失稳通
常有一个过程。

这一过程的长短以及对应这一
过程的裂纹扩展量∆
a c 取决于试样的材料及几何尺寸。

在这一过程中,裂纹的继续扩展要依赖于σ的不断提高。

此时,G 与R 均随着载荷的提高而沿R 曲线变化,即在这一过程中,G 与R 始终是相等的。

∆a
a
1
i ∴裂纹的失稳扩展条件为：
G R G R
a a
≥∂∂≥∂∂——裂纹稳态扩展。