建模简介

数学建模概述

社会实际问题中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学思维方法以及相关知识解决实际问题，为社会服务。要解决实际问题最重要的一个步骤就是必须建立相应的数学模型。人们逐渐认识到建立数学模型的重要性．下面将对数学模型的概念及分类作简要介绍．

一、数学模型的概念

数学模型是用数学语言和方法对实际问题的一种数学描述．它用数学符号公式图表等刻画客观事物的本质属性与内在规律，是所研究对象的数学模拟．具体来讲就是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据其特有的内在规律，做出一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具，抽象归纳出的一个数学结构（或一个数学问题）．这里的特定对象，是指我们所要研究解决的某个具体问题．特定目的是指当研究一个特定对象时所要达到的特定目的，如分析、预测、控制决策等．数学工具是指数学各分支的理论和方法及数学的某些软件系统．数学结构包括各种数学方程、表格、图形等等．欧几里德所著的《几何原本》以及微积分就是一个很好的数学模型．牛顿建立的万有引力定律更可称之为大的数学模型，它不仅解释了行星的运动规律，而且对航天事业的发展也产生了巨大的影响．可见，数学模型总是和工程、经济以及其他自然科学的发展紧密结合的．

数学模型主要有解释、判断、预见三大功能．其中解释功能就是用数学模型说明事物发生的原因；判断功能就是用数学模型来判断原来认识的可靠性；预见功能就是用数学模型预测未来发展，为人们的行为提供指导．

二、数学模型的分类

数学模型按照问题本身所处的领域和解决问题的方法，以及人们的各种不同意愿有多种不同的分类方式，下面介绍常用的几种分类．

1.按照建模型所用的数学方法的不同，可分为：初等模型、运筹学模型、微分方程模型、概率统计模型、控制模型等．

2.按照数学模型的应用领域的不同，可分为：人口模型、交通模型、环境模型、城市

规划模型、经济预测模型、金融模型、生态模型、企业管理模型等．

3.按模型中使用的变量的性质的不同，可分为：确定性模型与随机性模型、静态模型

与动态模型、离散性模型与连续性模型等．

4.按照建模的目的不同，可分为：描述模型、分析模型、优化模型、决策模型、控制模型和预测模型等。

三、数学模型举例1——优秀研究成果评选的公平性模型

1.问题的提出

设有N 个评委组成的评选委员会，有M 项研究成果，评委会要从中选出()m m M <项优秀成果，但有些评委是某些成果的完成者，问应如何处理此问题才是公平的？

2.模型的构成与求解

方案1 按得票多少顺序，得票较多的前m 项成果为优秀成果。

分析评价：这个方案对非评委的研究成果的完成者不够公平。因为评委对自己完成的成果投赞成票的可能性最大。

方案2 对方案1做如下修改：评委不参加对自己的研究成果投票，按得票率多少排序，取得票率较大的前m 项成果为优秀成果.

分析评价：下面来分析一下方案2是否公平。

设某项成果涉及C 个评委，他们回避后该项成果得x 票，x N C ≤-，则该项成果的得票率为

1()x

r x N C

=

- 上述结果似乎可以接受。因为得票虽然少了，但作为分母的总人数也少了，所以似乎是公平的。参与完成该项成果的C 个评委仍不大满意，他们认为：若他们也参加投票，则投票率为

2()x C

r x N

+=

通过比较1()r x 与2()r x 的大小可知上述两个公式的差别。除x N C =-外，对每一个x ，均有1()r x <2()r x .

综合上述讨论，按照相对公平的原则，应采取对1()r x 与和2()r x 的折衷方案，即度量得票多少的函数()y x 应满足以下三个条件：

（1）()y x 是x 的单调递增函数;

（2）1()r x ()y x <<2()r x ，0,0;x N C C <<-> （3）(0)0,() 1.y y N C =-=

由上述三个条件还不能唯一确定函数()y x ，但可据此定出一个相对公平、且比较简单实用的度量函数()y x 。例如定义

()y x ==作为度量函数。

四、数学模型举例2——家庭教育基金计划模型

1.问题的提出 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度。为了保障子女将来的教育经费，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入x 元作为家庭教育基金。若银行的年复利率为r ，试写出第n 年后教育基金总额的表达式。预计当子女18岁进入大学时所需费用为30000元，按年利率10%计算，小张每年应向银行存入多少元？

2.模型的构建与求解

设n 年后教育基金总额为n a ,每年向银行存入x 元，根据复利计算公式有如下方程

()⎩⎨

⎧==++=-x a k x r a a k k 0

1,2,1,1

并且 ()1(1)11a x r x x r =++=++⎡⎤⎣⎦. 由（1）式可得

()()()()22111111a x r r x x r r ⎡⎤=++++=++++⎡⎤⎣⎦⎣⎦

， 同理可得

()()()32

31111a x r r r ⎡⎤=++++++⎣⎦

，

()()()1

1111n n n a x r r r -⎡⎤=+++++++⎣

⎦

，

由等比数列求和公式可得，n 年后的教育基金总额为

n

a ()r

r x

n 1

11

-+=+ 欲使18a =30000, 需将n =18,r =0.1代入（2）式,得

x =

()1

11-++n n r r

a 1

1.11

.03000019

-⨯=

=586.40(元) 因此，小张每年应向银行存入586.40元。 五、数学模型举例3——公平席位模型 1.问题的提出

某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名；若学生会中学生代表有20个席位，则公平又简单的分法应各有10，6，4个席位。若丙系有6名学生分别转入甲、乙两系各3人，此时各系的人数为103，63，34；按比例席位分配应为10.3，6.3和3.4，出现了小数，19个整数席位分配完后，最后一席留给小数部分最大的丙系，分别为10，6，4。为方便提案表决，现增加1席共21席，按比例计算甲、乙、丙三系分别占有10.815，6.615，3.570；按上面的分法应分别为11，7，3；这样虽然增加了一个席位，但丙系的席位反而减少一席，因此这种分法显然是不合理的，请给出一个比较公平的席位分配方案？

2.模型的构建与求解 法一：

什么是公平的分法？“绝对公平”的分法应是每个席位代表的学生数相同，这在一般情况下是做不到的。所以，希望每个席位代表的学生数尽量接近。

假定共有m 个系，各系人数分别为12,,,m n n n ，全校总人数为12m n n n n =+++ 。又假设学生会共设N 个席位，于是平均每个席位代表学生数为

n a N

=

又设各系分配的席位为12,,,m N N N ，则各系每席实际代表的人数为 ()1,2,,i

i i

n a i m N =

= 为了衡量一种分配方法的“公平”程度，我们可以提出不同的标准，也就是用各种不同的目标函数来衡量“公平度”，例如：

标准1 要求目标函数max i Z a =小。 标准2 要求目标函数1m

i i Z a a ==-∑最小。