(完整版)吉林大学高职高专《高等数学》第03章

都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
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第一节 导数的概念
一、导数概念的两个引例 二、导数的定义 三、求导数举例 四、导数的几何意义 五、函数可导性与连续性的关系
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一、导数概念的两个引例(略讲)
1. 变速直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为
则 到 的平均速度为
v f (t) f (t0 ) t t0
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三、求导数举例
由导数的定义可知，求函数y=f(x)的导数f′(x)，可以分为以下三个步骤：
(1)求增量：Δy=f(x+Δx)－f(x)；
下面，就根据这三个步骤来求一些比较简单的函数的导数．
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【例1】求函数y C（C为常数）的导数． 解（1）求增量：y C－C 0；
（2）算比值：y 0； x
= x3 3x2x 3x(x)2 (x)3 x3
f '(x) lim y lim f (x x) f (x)
x x0
x0
x
lim 3x2x 3x(x)2 (x)3
x0
x
lim (3x2 3xx (x)2 ) 3x2 x0
(x3)' 3x2
一般地，有：(x ) ' x 1
x
数 y f (x) 在区间[x0 , x0 x]上的平均变化率，而 f (x0 ) 表示函数 y f (x) 在点 x0 处的变化率，它反 映了函数随自变量的变化而变化的快慢程度．
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单侧导数
如果极限
lim f (x0 x) f (x0 ) 及 lim f (x0 x) f (x0 )
（3）取极限：y lim f (x x) f (x) = lim y 0
x0
x
x0 x
故C 0，这就是说常数的导数等于零．
f '(x) C lim y 0.
x0 x
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【例2】求幂函数 y f (x) x3的导数。
【解】y f (x x) f (x) (x x)3 x3
第三章 导数与微分
第一节 导数的概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 相关变化率 第五节 函数的微分
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导数与微分
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
f
( x)
，
y
，
dy dx
，或
df (x) dx
，即
f
( x
y
)
＝
lim
x0
x
＝ lim x0
f (x x) x
f (x)
.
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函数 y f (x) 在点 x0 处的导数 f (x0 ) ，就是导 函数 f (x ) 在点 x x0 处的函数值，即
f (x0 ) ＝ f (x ) |xx0 ． 导数在工程技术中常叫做变化率，y 表示函
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
h0
h
h0
h
lim 2 cos(x h)
h0
2
lim cos(x h)
h0
2
cos x
即
(sin x) cos x
类似可证得 (cos x) sin x
电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
变 化 率 问 题
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二、导数的定义
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dy 或 df( x)
dx x x0
dx x x0
即
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 )
其它形式
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运动质点的位置函数 s f (t)
在 t0 时刻的瞬时速度
f (t0 )
o t0
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极限位置即
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为 tan y y0 f ( x) f ( x0 ) ,
N 沿曲线C M , x x0 , x x0
x x0
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
y
x x0
x x0
y f (x)
N
T
C MM
o
x0
xx
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瞬时速度 切线斜率
f (t0 )
o y
t0
f (t)
t
s
y f (x)
N
CM
T
两个问题的共性:
o x0 x x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .
类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限
x0 x
x0 处不可导． 若函数 y f (x) 在开区间 I 内每一点都可导，
则称函数 y f (x) 在开区间 I 内可导．
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若函数 y f (x) 在开区间 I 内可导，则对应
于 I 中的每一个确定的 x 值，对应着一个确定的
导数值 f (x) ，这样确定的新函数称之为函数
y f (x) 的导函数，记作
x0
x
x0
x
存在，则极限值分别称为函数 f (x) 在点 x0 处的左导数 和右导数，记作 f(x0 ) 及 f(x0 ) ，即
， ． f(x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
f ( x0
)
lim
x0
f (x0 x) x
f (x0 )
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左导数和右导数统称为单侧导数． 若函数 f (x) 在开区间 (a,b) 内可导，且在左端 点存在右导数 ,右端点存在左导数,即 f(a) 及 f(b) 都存在，就说 f (x) 在闭区间[a,b] 上可导． 函数 f (x) 在点 x0 的可导的充要条件是函数 f (x) 在点 x0 的右导数和左导数都存在且相等，即 f(x0 ) ＝ f(x0 ) ．
f (t) s t
f (t0 )
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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如果极限 lim y 不存在， 就说函数 y f (x) 在点
而在 时刻的瞬时速度为
v lim
t t0
f (t) f (t0 ) t t0
自由落体运动
s
1 2
gt
2
f (t0 )
o t0
源自文库
f (t)
t
s
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2.切线问题
M,N为曲线C上不同点，作割线MN．当点 N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋 转而趋于极限位置M， 直线MT就称为曲线C 在点M处的切线．