高考数学复习点拨 双曲线的第二定义

用心 爱心 专心 双曲线的第二定义

观察教材第57页例5我们可知双曲线的轨迹还可以用另一种形式给出，这就是双曲线的第二定义，此定义可以快速解决某些双曲线问题，下面对其作简单介绍：

一、双曲线的第二定义

例 1 点()M x y ，与定点(0)F c ，的距离和它到定直线2

:a l x c =的距离的比是常数(0)c c a a

>>，求点M 的轨迹． 解：设d 是点M 到直线l 的距离．根据题意，所求轨迹就是集合MF c P M d a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

|， 由此得22

2

()x c y c a a x c

-+=-．化简，得22222222()()c a x a y a c a --=-． 设2

22c a b -=，就可化为22

221(00)x y a b a b -=>>，，这是双曲线的标准方程，所以点M 的轨迹是实轴长、虚轴长分别为22a b ，的双曲线（如图）

．

由例1可知，当点M 到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数(1)c e e a

=>时，这个点的轨迹是双曲线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率．

对于双曲线22221x y a b -=，相应于焦点(0)F c ，的准线方程是2

a x c =，根据双曲线的对称性，相应于焦点(0)F c '-，的准线方程是2

a x c

=-，所以双曲线有两条准线． 二、第二定义的应用

例 2 一动点到定直线3x =的距离是它到定点(40)F ，的距离的

12

，求这个动点的轨迹

用心 爱心 专心 方程．

误：由题意知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，所以动点的轨迹是双曲线．

又(40)F ，∵，4c =∴．

∵准线3x =，2

3a c

=∴，即22124a b ==，． 故双曲线方程为22

11214

x y -=． 析：错解中误认为曲线中心为原点．仅由焦点（即定点）(40)F ，和准线（定直线）方程

3x =，不能得出4c =及2

3a c

=． 正：由题设知离心率2e =，

又定点(40)F ，与定直线3x =是双曲线相应的右焦点与右准线，

所以2c a =，21a c c -=，解得2433

a c ==，． 所以双曲线中心为803O ⎛⎫' ⎪⎝⎭

，． 又2

43b =，故双曲线方程为22(38)3144x y --=． 评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．