05-第三章 线性规划及其原始-对偶算法-2(第4次课)

第三章 线性规划及其原始－对偶算法（II ）

3.5 线性规划的对偶理论

先从一个简单的例子谈起。

例子：某工厂在计划期内要安排生产I 、II 两种产品，已知生产单位产品所需要的设备台时及A 、B 两种原材料的消耗，如下表：

I II 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16 原材料B 0 4 12

该工厂每生产一件产品I 可获利2，每生产一件产品II 可获利3。问应该如何安排生产计划使该工厂获利最大？

设、分别表示I 、II 的产量，则该问题的数学模型为：

1x 2x 0

,1241648

2s.t.32max

2121

2121≥≤≤≤++=x x x x x x x x z 用单纯形方法可以求得最优解为：2*,4*21==x x ，最优值为。 14*=z 假设：该工厂的决策者决定不生产产品I 、II ，而将其所有资源出租或外售。这时工厂的决策者就要考虑给每种资源定价的问题。设用分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料A ，B 的附加额，则

321,,y y y 3

,2,1,03

4224s.t.12168min 31

2

1321=≥≥+≥+++=i y y y y y y y y i ω

也可以用单纯形方法求得最优解为：0*,8

1

*,23*321===

y y y ，最优值为14*=ϖ。

显然：

0*)2*8(21=−−x x 且，即0*1>y 0**)2*8(121=−−y x x ——原始约束紧，对偶变量松

0*)416(1=−x 且，即0*2>y 0**)416(21=−y x ——原始约束紧，对偶变量松

0*)412(2>−x 且，即0*3=y 0**)412(32=−y x ——原始约束松，对偶变量紧 同样，对称的，

0*>x 1211且，即0)2*4*(21=−+y y 0)2*4*(*=−+⋅y y x ——原始变量松，对偶约束紧

0*2>x 且，即0)3*4*2(31=−+y y 0)3*4*2(*312=−+⋅y y x ——原始变量松，对偶约束紧

最终达到平衡，原始－对偶目标函数取值相等，得到原始－对偶最优解。这就是所谓的“互补松弛性”

互补松弛性

原始与对偶规划之间存在者拉锯式争夺：

一个问题里的某个约束越紧，另一个问题中对应的变量就越松；最终的平衡表示式，就是x 和y 是原始－对偶问题最优解的充分必要条件，这就是所谓的互补松弛性条件

定理 3.13 （互补松弛性条件）x 和y 分别为原始－对偶可行解，则它们分别是原始－对偶最优解⇔对一切i 和j 有：

)(0)(=−==−=j T j

j j i T i i i x y A c v b x a y u

证明：显然，对一切i 和j 有：。定义

0,0≥≥j i v u ∑∑==j

j i

i v v u u ,

则 （对一切）

00=⇔=i u u i 00=⇔=j v v （对一切j ）

而

y b x c v u T T −=+所以，（对一切i ）且0=i u 0=j v （对一切j ）⇔0=u 且 0=v ⇔0=+v u ⇔0=−y b x c T T ⇔x 和是原始－对偶问题最优解。

y

注：上述定理隐含着下述事实：

z 对最优解x 和y ，如果对偶中一个约束取严格等式，则原始规划中对

应的变量取值必须为0；

z 对称地，如果一个非负变量取值为正值，则其对应的约束必取等式。 所以，称之为互补松弛性。 Farkas 引理

Farkas 引理描述了n R 中向量间的一种基本关系。在某种意义下，它反映了对偶的本质。

给定一组向量由这组向量生成的锥记为：

),,2,(m i R a n i L =∈}{i a )(i a C },,2,1,0,:{)(1∑==≥=∈=m

i i i i n

i m i y a y x R x a C L

即非负线性组合。 }{i a

x 1

给定向量的一个集合及另外一个向量，“如果对一切向量

，若y 在有非负投影，那么y 在c 上也有非负投影”

k i i a ,,2,1}{L =n R c ∈n R y ∈k i i a ,,2,1}{L =Farkas 引理断言

C 在锥里

)(i a

C

定理3.14（Farkas 引理）给定一组向量及向量，则有：

),,2,(m i R a n i L =∈n R c ∈)(0,2,1,0i T T i a C c y c m i y a ∈⇔≥⇒=≥L

证明：“⇐” 给定一组向量及向量且),,2,(m i R a n i L =∈n R c ∈)(i a C c ∈，要证明： 对于，若，则必有。事实上, n R y ∈m i y a T i L ,2,1,0=≥)(0i T a C c y c ∈⇔≥)(i a C c ∈Q ,

∴),,2,1(0m i y i

L =≥∃使得。由已知，

则。

∑==m

i i

i a

y c 1

m i y a T i L ,2,1,0=≥01

≥=∑=m

i T i i a y T

y y c

“⇒” 给定一组向量及向量，满足：对于

),,2,(m i R a n i L =∈n R c ∈n R y ∈，若，则一定有，要证明必有：

。事实上，可考察下述线性规划问题：

m i y a T i L ,2,1,0=≥)(0i T a C c y c ∈⇔≥)(i a C c ∈无限制

y m i y a y

c T i T (LP) ,,2,1,0min L =≥ 0＝y Q 是一个可行解，∴(LP)可行。又及，

m i y a T i ,,2,1,0L Q =≥0≥y c T ∴(LP)有界，∴(LP)的对偶问题：

(LP) ,,2,1,0

max ≥==x n j c x A j T j L 其中

()n T m T T

mn m m n n A A A a a a a a a a a a a a a A ,,,21212

1

22221

11211L M L M M M M L L =⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛= 一定有可行解，即存在，使得，即

0≥x n j c x A j T j ,,2,1,L ==m mn n n n m m m m x a x a x a c x a x a x a c x a x a x a c +++=+++=+++=L L

L L L 22112222112212211111

所以

∑==+++=⎟⎟⎟⎟

⎟

⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=m

i i

i m m m

mn m m n n a x a x a x a x x a a a x a a a x a a a c 1221121222221111211L M L M M