大学物理竞赛辅导——光的干涉

v f x2 (v f )2
当x＜＜v f f 2 时 a f
1 2
x f
2 (a
f
)
(15)
例(第1届): 波长为的两个相干的单色平行光束1、2,
分别以图示的入射角 , 入射在屏幕面MN上;
求:屏幕上干涉条纹的间距?
1
2
D C
M
A
B
N
解: 设AB为相邻两明纹间距x,则相邻两明纹的光程
当 PS1 PS2 const. 时，
P点构成以S1、S2为焦点的部分椭圆曲线。
(19)
例(第14届): 圆柱形均匀透明体的底面下平放着一枚
小硬币, 两者间有微小间隙, 且硬币厚度可忽略, 设周
围都是空气, 若通过透明体侧壁看不到硬币, 求:透明
体折射率的取值范围是多少?
解:
sin1 nsin2 n 1 cos2 2
解: (1) 图中的△S1AS2
为相干区域。 (2) P点的光程差:
S•
LSBP LSCP
B
O1 O2 C
S1 P S2 A
(LSBS1 PS1 ) (LSCS2 PS2 )
物点与像点间各 光线的光程相等
(LSO1S1 PS1 ) (LSO2S2 PS2 )
S1S2 (PS1 PS2 ) k 为亮线
求: d1、d2的最小厚度?
解: a与b的光程差: 1 2n1d1
n1
n2
n3
b
c
d1
d2
b与c的光程差: a与b的相位差:
2 1
2n2d 2
2
2
1
b与c的相位差:
2
2
2
令1 2 / 3，2 2 / 3
d1 /(6n1)，d2 5 /(12n2 )
2
3 b 2
c
3
a
用振幅矢量图
5
n
rn2
R
5rn2 rm2 rn2
e
rm1 rn4 (n 4)R (rn2 4rm2 ) / 5
r rm rm1 0.13 10 3[m]
(10)
解法二: r 2 kR 两边取微分:
2rdr Rdk
取r rm，dk 1
由前面可知： R rm2 rn2
5
dr R rm2 rn2 0.13103[m]
max / 2 540 nm min / 2 440nm
设从第k级变得模糊不清
kmax (k 1)min
k min 4.4
取k=5
max min
(4)
三、光源的宽度对干涉条纹可见度的影响
I
A
s1
bs
d
B
s2
l
D
1 非
0s 相 0A 干
叠 加
当线光源s扩展成面光源AB时,干涉条纹的可见度降低 问题：扩展面光源的宽度b多大时，条纹的可见度
干涉条纹的可见度
(Visibility of interference fringe)
问题的提出:
1.非单色光入射时,只能 在中央条纹附近看到有 限的为数不多的几条干 涉条纹(即级次k有限)。
2.单缝宽度增大时,干涉 条纹变得模糊起来。
为什么？
s1
d
s2
x
r1 r2
O
D
(1)
一、干涉条纹的可见度(或对比度或衬度比)
)Δx 2
所以，P为暗纹位置
最低亮纹位于xP上方x/2处，其级数为20或21。 (18)
例(第22届):将一块凸透镜一分为二,如图放置,主光轴上 物点S通过它们分别可成两个实像 S1、S2, 实像的位置如 图。(1)纸平面上作图画出可产生光相干叠加的区域; (2) 纸平面相干区域中相干叠加所成亮线是什么形状?
l
s
bs
s1
d
由dmax= l / b
l s2
500106
dmax
1.72[mm]
60 180
(8)
例(第6届):如图,已知1<n1<n2>n3, 波长为 的单色平行
光垂直入射到增透膜上,设三束反
a
射光(只考虑一次反射) a、b、 c 在空气中的振幅相等, 欲使这三 束光相干叠加后的总强度为零。
n
90
2
2
侧壁上发生全反射的条件:
1 来自硬币的光线
nsin(90 2 ) ncos2 1
sin2 1 n2 1 n 1 sin2 1
当1 90的光线发生全反射时, 所有光线都全反射
n 2
(20)
可见度好(V =1)
决定可见度的因素: 振幅比, 光源的非单色性和宽度
(2)
源自文库
二、光源的非单色性对干涉条纹可见度的影响
I
扬氏实验中明纹 的位置:
xk D
d
合成光强
-(/2) +(/2)
0 0' 1 1' 2 2' 3 3' 4 4' 5 5'6
当波长为 /2
x
的k+1级明纹和波
长为+/2 的 k
级明纹恰好重合时, 条纹的可见度为零, 这时对应的
度h=0.50mm, 光源波长=500nm。
幕
求:
(1)幕上相邻干涉亮条纹的间距； s
(2)幕上干涉亮条纹的最低级数。 h
解：劳埃镜干涉相当于图示的
Mr N
l
杨氏双缝干涉。
x
(1)幕上相邻干涉亮条纹间距为
P
Δx D l 1.5[mm]
d 2h
s
d=2h s'
D=r+ll
o
(17)
(2)劳埃镜中s'光线是由平板玻璃反射形成的，所以在
hk
rk2 2R
②
距中心最近的暗环半径为 r4=0.3cm, 对应k=4
n1=1.2 rk hk d=1.1m
n2=1.5
R
由①, 并注意到2n1d=4.4
2n1h4 2n1d (4 0.5) 0.9
再由②得 R n1r42 20[m]
0.9
(13)
例(第3届): 如图的光路中, PO是薄凸透镜的主光轴, A是焦平面上与中心点O相隔小距离x的一点, 求自P 点发出经透镜折射分别至A的光线的光程与至O的光 线的光程之差(用a, f, x表示)
定义:
V＝ Imax Imin Imax Imin
当 Imin=0, 暗条纹全黑时,V=1, 条纹清晰可见; 当 Imax=Imin时, V=0,条纹模糊不清,甚至不可辨认。
I1 I2 I
Imax
Imin
-4 -2 o 2 4
可见度差(V <1)
I1 I2 I
Imax=4I1
Imin=0
-4 -2 o 2 4
降为零？
(5)
I
A
s1
bs
d
B l1
l l2
s2
D
1
P
非
0s 相
0A
干 叠
加
合可 成见 光度 强为
零
当点s光源在屏上形成的干涉条纹与点A光源在屏上形 成的干涉条纹错开半级时,即在屏上它们形成的光程差
的分布相差/2时,条纹的可见度降为零。如图所示。
考察任意点P。
点A到s1和s2的光程差为 d sin d
当 d dmax= l/b 时,干涉条纹消失;
当 d<dmax= l/b 时, 有干涉条纹。
(7)
例(第5届): 若用太阳光作光源观察双缝干涉花样, 为 不使条纹模糊不清, 两缝间距的最大值是多少?(已知 太阳光的发散角为1', 平均波长为500nm)
解: 设为太阳光的发散角
P
b (很 小 时)
差的改变量为 ,设A点两束光的光程差为零,则B 点两束光的光程差为x (sin + sin ), 得
x(sin sin )
x
sin sin (16)
例(第20届):如图所示, 在劳埃镜实验中, 平板玻璃MN
的长度r＝5.0cm, 与平板玻璃垂直的幕到平板N端的距
离l=3.0m。线光源s位于M端正上方, 离平板玻璃的高
光程差为实现干涉的最大光程差, 称为相干长度。
max
(k
1)(
Δ
2
)
k
(
Δ
2
)
k Δ
max
2 Δ
(3)
例(第10届): 借助于滤光片从白光中取得蓝绿色光作
为扬氏干涉的光源, 其波长范围=100nm , 平均波 长为=490nm
求: 干涉条纹大约从第几级开始变得模糊不清?
解: 蓝绿波长上,下限分别为
2rm 10rm
(11)
例(第13届):如图, 用 = 600nm的单色光垂直照射油膜
上, 看到离油膜中心最近的暗环的半径为0.3cm。 求:(1)整个油膜上可看到的暗环数目?
(2)油膜上表面球面的半径?
解:(1)属于薄膜等厚干涉。油 膜的上下两个表面产生的反 射光的干涉。
n1=1.2 rk hk d=1.1m
求极小值
(9)
例(第6届):以波长 = 0.6m 的单色平行光束垂直入射
到牛顿环装置上, 观测到某一暗环n的半径为1.56mm, 在它外面第五个暗环m的半径为2.34mm。 求:在暗环m处的干涉条纹间距是多少?
解法一: 暗环条件为 r 2 kR
rn2 nR , rm2 (n 5)R
R rm2 rn2
计算s和s‘光线到达P点的光程差时必须考虑半波损失。
因此劳埃镜干涉零级亮纹位置的坐标为
x
1
x0 2 Δx 0.75[mm]
s d=2h
xP
min
o
幕中相干区域最低点P的坐标xP s'
D=r+ll
由反射光的最小出射角min确定，即有
xP
l tgmin
l
h r
30[mm]
20Δx
1
xP
x0
(20
n2=1.5
R
其光程差的暗环的条件:
2n1(d
hk )
(2k 1)
2
(k 1,2, ) ①
k 2n1(d hk ) 1
2
kmax=4.9, 取kmax=4
有完整的四个暗环， 对应k=1, 2, 3, 4
(12)
(2)设暗环半径为rk ,该处油膜厚度为d－hk
rk2 hk (2R hk ) hk 2R
P • a＞f
A
x
P
O f
v f
v
解: 由点光源到其象点的各光线的光程都相等,得
光程：LPAP LPOP LPA LAP LPO LOP
光程差： LPA LPO LOP LAP OP AP
(14)
P • a＞f
A
x
P
O f
v f
v
1 1 1 象距：v af
av f
a f
b
d
2 2
l1 l2
bd
2l
将以上三式联立,并略去
平方项d2/(2l)。
(6)
当＝/2时，即 b l
d
则干涉条纹的可见度为零。
光源的极限宽度(又叫临界宽度):
l
b临 d
当bb临时, 干涉条纹消失; 当 b<b临时, 有干涉条纹。
若光源宽度 b 给定时,两缝之间的距离d存在一个最
大值，即 dmax= l/b 。