自考高等数学一历年真题

全国2010年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数

x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（ ）

A.-2

B.-1

C.2

D.3

2.下列极限中，极限值等于1的是（ ）

A.e

)1

1(lim

x

x x -∞→ B.x x x sin lim ∞→ C.2)1(lim x

x x x +∞→ D.x x

x arctan lim ∞→

3.已知曲线

x x y 22-=在点

M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为

A.(-1，3)

B.(1，-1)

C.(0，0)

D.(1，1) 4.设

C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f x

x

d )2(2

=（ ）

A.

C F x +2

ln )

2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C

5.若函数),(y x z z

=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数

y

x z

∂∂∂2

=（ ）A.x sin - B.y sin C.x cos D.y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是______.

7.极限=-+-∞→1

7272lim n n n

n n ______.

8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+

8

2q ，则产量q =120时的边际成本为

______.

9.函数2

12x x

y -=在x =0处的微分d y =______.

10.曲线2

ln 2-+=x x x

y 的水平渐近线为______.

11.设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，则方程0)(='x f 的实根个数为______.

12.导数

⎰

=-x

t t t x

d )1(d d ______.

13.定积分

x x d |1|20

⎰-=______.

14.二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15.设y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定的隐函数，则导数

x

y d d =______.

三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数

|

|sin )(x x x x f -=

，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续?并说

明理由.

17.求极限

)5

cos 1(lim 2x

x x -∞→. 18.设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程

)1()2(322y x y y ++='的通解.

20.求不定积分

⎰

--x x

x d 112

.

四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x )=sin e -x ，求

)0()0()0(f f f ''+'+.

22.计算定积分⎰-=

1

2

1

d 12arctan

x x I .

23.计算二重积分⎰⎰+=

D

y x y x

I d d )1(2

，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y

轴所围成的区域.

五、应用题(本题9分)

24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(100

1

)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t

.

(1)求电流I (t )单调增加的时间段；

(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?

六、证明题(本题5分)

25.设函数f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：

⎰

⎰

-=a

a

a

x x g x x g x f 0

d )(2d )()(.

全国2010年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题 课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.函数f (x )=arcsin ⎪⎭

⎫

⎝⎛-21x 的定义域为（ ） A.[-1，1] B.[-1，3] C.（-1，1） D.（-1，3）

2.要使无穷级∑∞

=0

n n

aq

（a 为常数，a ≠0）收敛，则q =（ ）

A.0.5

B.1

C.1.5

D.2

3.函数⎪⎩⎪⎨

⎧≥<+=1

31

2)(3

x x

x x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B.2 C.3

D.不存在 4.函数y =x 2-ln(1+x 2)的极小值为（ ） A.3 B.2 C.1

D.0

5.下列反常积分收敛的是（ ） A.

⎰

+∞

1

2

d 1x x B.

⎰

+∞

1d 1

x x

C.⎰

+∞

1

d ln x

x

D.

⎰

+∞

1

d ln x x

x

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设⎩⎨⎧≤->=0

10

1)(x x x f ，g (x )=x 2+1,则f [g (x )]=_______________.

7.1

arctan lim

2+∞

→x x x =_______________.

8.∞

→n lim n [ln (n +2)-ln n ]=_______________.

9.函数⎩

⎨

⎧≤≤-<≤-=21e e 1

0)(x x x k x f x

在x =1处连续，则k =_______________.

10.设函数y =ln sin x ,则y ″=_______________. 11.设函数y =x 2e -x ,则其弹性函数Ex

Ey

=_______________. 12.曲线x

x

y ln =

的水平渐近线为_______________. 13.不定积分

⎰

-2

2d x

x =_______________.

14.微分方程（1+x 2）d y -(1+y 2)d x =0的通解是_______________.

15.设z=y

x 322e

-,则y

x z

∂∂∂2=_______________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16.求极限x

x x

x x x sin cos lim

--→.

17.求曲线y =x -2arctan x 的凹凸区间.

18.求函数f (x )=x 4-2x 2+5在区间[-1，2]上的最大值和最小值.

19.已知函数f (x )满足

⎰

+=C x x

x f x e d )

(，求⎰x x f d )(.

20.方程xyz -ln(xyz )=1确定了隐函数z =z (x,y ),求

y

z x z ∂∂∂∂,. 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21.设y =x sin x +x arctan e x ，求y ′. 22.计算定积分I =

⎰+1

d )1ln(x x x .

23.计算二重积分I =

⎰⎰

D

y y x y d d e 2

，其中D 是由y =x ,x =1,x =2及

x 轴所围成的闭区域.

五、应用题（本大题9分）

24.过抛物线y =x 2+1上的点（1，2）作切线，该切线与抛物线及y 轴所围成的平面图形为D . (1)求切线方程； （2）求D 的面积A ；

（3）求D 绕x 轴旋转一周的旋转体体积V x .

六、证明题（本大题5分） 25.证明：当x >0时，1+x x +>12

1

.

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