第九章 单系统输出数据分析(一)

2
36.24
当i=37时， t371,0.95 1.6883,
i
3.172
1.6883 0.5
2
36.17
因此i取37，还需实验27次。
相对误差
如果对于估计值 X有 X ，则称 X 的相
对误差为 。 假设 '是1- 置信水平下的调整相对误差，即：
X '
X
相对误差
则有：
1.645 0.5
2
34.33
即i至少为35，以此为基础寻找满足条件的i。
即
i
S
(10)ti1,0.95 0.5
2
当i=35时， t351,0.95 1.691,
i
3.172
1.691 0.5
2
36.28
当i=36时，t361,0.95 1.69,
i
3.172
1.69 0.5
例
某一个通信系统由几个部件加上几个备用部件组成。其中一
个分支环节由A、B、C、D四个部分组成，B和C呈并联方式
连接。 B 在系统失效为止的
时间周期TE内考虑系统。
停止事件E定义为
E={A失效，或D失效， 或B与C同时失效}
A
D
C 图7.1 通讯系统
初始条件为各部件在时刻0都是新的（系统处于理想状态）。
2
i
S (n)
ti1,1 /2
' X (n)
3.172 1.66062 (0.15 1.982) 2
98.96
因此i取99，即还需要重复实验89次。
序贯法
以上两种基于误差的方法都假设：在n足够大 的时候，方差基本不随着重复实验的次数增加 而变化。事实上，重复实验次数越多，样本方 差越小。因此，如果真正地重复运行实验，则 达到相同误差水平所需的重复实验次数会更少， 这就是序贯法的基本思路。
仿真的数据有两种： 仿真输出数据具有离散形式{X1，X2，…，Xn}，
用来估计θ 仿真输出数据具有连续形式{X(t)，0≤t≤T}，用
来估计φ
点估计（离散随机变量）
基于数据{X1，X2，…，Xn}的θ的点估计定义为
ˆ
1 n
n i 1
Xi
式中 ˆ 是基于样本量n的样本均值。
例如：制造系统仿真中工件的生产周期、 理发店系统仿真中顾客的停留时间等。
度(n)
Wq(n) 16.0 19.723 17.856 15.563 16.826 16.982
可以看到，仅从某一次仿真结果来推断系统的性能并 不一定保证是正确的。
基于输出分析的仿真分类
根据是否有一个明确的确定仿真运行长度的条 件，可将仿真分为： • 终止型仿真 • 稳态型仿真
二、终止型和稳态型仿真
S 2 (i)
i
当n足够大时，S2(n)不会随着实验次数的增加而 明显变化，于是给定绝对误差阀值 ，可以估算 出要进行实验的次数为：
n* ( ) min i n : ti1,1 /2
S 2 (n) i
由于 ti1,1 /2 Z1 /2
2
所以，i
S
(n)Z1
/
2
可以作为i的粗略估计值
终止型仿真是指具有一个终止事件，此事件的 发生会触发重复实验的结束，即设定了运行长 度。
终止事件必须在每次运行前设定，可以是一个 随机事件。
例如：研究银行系统中的客流情况，可以将其 看作终止型仿真系统
稳态型仿真是这样一种仿真，它的目的是研究 非终止型系统的长时间运行或稳态行为特性。
非终止型系统是一个连续运行的系统，或者至 少在一个相当长的时间内运行。例如：连续生 产的装配线、通信系统（互联网）、医院的急 诊室……
S2或置信区间反映了估计量的偏差范围。 • 确定出达到给定精度所需的观察次数。
例：考虑M/M/1排队系统，假设顾客到达时间间隔 是均值为5分钟的指数随机变量 ；服务时间也是独 立同分布的指数随机变量，均值为4分钟。顾客以 FIFO规则排队。下表给出了M/M/1系统仿真的实验 结果：
仿真长 理论值 1000 2000 3000 4000 5000
B
例
A
D
C
研究内容：电器元件的平均寿命
图7.1 通讯系统
研究方法：在相同的实验条件下，进行元件的寿命测量
即：在相同的实验环境下，从时刻0开始测量，一直进行到E事件变真。
结论 ：这样的仿真我们称其为终止型仿真
研究内容的变化：如果对于同样的系统，研究的是系统的特性，如通讯 能力、通讯容量等。
结论：这样的仿真我们称其为稳态型仿真。
1、均值估计和区间估计
假设系统性能可用参数θ(或φ)表示，系统仿真的目的是： 通过仿真，希望得到表示系统性能θ(或φ)的值。 如何得到或统计得到此值？
我们可以运用参数的估计方法：既要得到这个值——点估 计，又要得到这个值的精度范围——区间估计。区间估计 的范围（或长度）是点估计准确度的一个测度。
例：对银行排队系统的例子而言，如果希望在 置信水平90%的条件下期望平均排队时间的绝 对误差阀值为0.5分钟，则根据已有的10次重 复实验的结果，确定还要进行多少次重复实验 才能满足该误差水平。
解：
i
S (10) ti1,0.95 0.5
2
3.172 0.5
Z 0.95
2
3.172
X
M
M
S2
X n (t),
0 t TEn X n•
1
X i• TEi
TEi 0
Xi (t)dt
X 1 n X i• n i1
S 2 1
n
(X i• X )2
n 1 i1
根据中心极限定理，当n足够大时，样本均值
__
X : NORM (, 2 / n)
统计量 T X ~ t(n 1)
点估计（连续随机变量）
基于数据{X(t)，0≤t≤T}的φ的点估计定义为
ˆ
1 T
T
0
X
t
dt
式中 T是仿真的运行长度， ˆ 称为X(t)在〔0，T〕上的时
间加权均值。
例如：制造系统仿真中的在制品、理发店 系统仿真中的队长等。
X1 (t),
0 t TE1 X 1•
X 2 (t),
0 t TE2 X 2•
X (68) 1.872, S 2 (68) 1.865.
与前一种方法相比，S 2 (n) 3.172 S 2 (68) 所需实验次数68次少于99次。
注意事项
如果对置信区间的精度要求不高，可以采用固 定样本规模的方法；在对精度要求比较高的时 候，建议采用序贯法。
对任何一个模型，建议至少运行5次。 当重复实验次数n>50时，根据中心极限定理，
解： ' 0.18 0.15
1 1 0.18
i
S (n) Z1 /2
'X
2
3.172 1.6452 (0.15 1.982)2
97.11
即i至少为98，以此为基础寻找满足条件的i。
即寻找
i
S (n) ti1,1 /2
2
' X (n)
当i=99时，t991,0.95 1.6606
n* ( )
min i
n:
ti1,1 /2 S 2 (n) / i X (n)
'
由于 ti1,1 /2 Z1 /2
2
因此，i
S
(n)
Z1
/2
可以作为一个粗略的估
计值。
'X
例：对于银行排队系统的例子而言，如果希望 在置信水平90%的条件下期望平均排队时间的 相对误差阀值为0.18，则根据10次重复实验的 结果，确定还要进行多少次重复实验才能满足 该误差水平。
S2 n
则μ的置信度为1－ 的置信区间为
[X
S n
t1
2
(n
1)]
例：考虑银行排队系统，假设银行从早上9点至下午5点 营业，顾客以泊松分布到达，到达率为每小时12位；只 有一个服务窗口，服务时间也是独立同分布的指数随机 变量，均值为4分钟/位。客户以FIFO规则排队。下表给 出了10次独立重复实验的运行输出结果数据。
S2 (10) 1.982 1.833 10
3.172 1.982 1.032 10
即在90%的置信程度上相信平均等待时间落在
区间[0.95，3.014]分钟内。
2、误差分析（误差控制）
置信区间的半宽，称为 X (n)的误差。对于固 定的n，半宽的大小取决于Xj的总体方差，n 越大，则半宽越小。
重复实验 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
次数
平均排队
时间
1.051 6.438 2.646 0.805 1.505 0.546 2.281 2.822 0.414 1.307
（分钟）
根据表中数字，可以计算得到
X (10) 1.982, S 2 (10) 3.172,
因此，均值90%置信区间为
X (10) t9,0.95
X11 , X 12,, L , X 1m1 X 1•
X 21 , X 22,, L , X 2m2 X 2•
X
M
M
S2
X n1 , X n 2,, L , X nmn X n•
mi
X i• Xij / mi j 1
X 1 n X i• n i1
S 2 1
n
(X i• X )2
n 1 i1
可以认为 X 近似满足正态分布。
初始条件设定
假设银行早上9点开门，且系统中没有客户， 如果希望对从中午12点到下午1点之间到达并 排完队的客户的平均排队时间期望值进行估计， 那么应该如何设定中午12点时的系统状态？