第三章 集中量数

集中量数
二、计算方法 三、加权算术平均数 四、算术平均数的性质
第二节 中位数 中位数的计算方法 第三节 几何平均数 一、概念
二、计算公式 三、几何平均数在教育上的应用
习
题
描述一组数据集中趋势的量数，称为集中量 数。 集中量数是统计总体各统计事项某一数量标 志的代表值，它概括说明总体某一数量标志的 综合特征，反映研究对象在一定时间、地点、 条件下的一般水平。 常用的集中量数有：算术平均数、中位数、 众数、几何平均数和调和平均数等等,本章只介 绍算术平均数、中位数和几何平均数。
二、计算公式
几何平均数的计算公式为：
M G n X1 X 2 X 3 X n
（3.6）
式中， X 1 , X 2 , X 3 X n 为n个数据值。 例如2、6、18这三个数的几何平均数为
M G n X 1 X 2 X 3 X n 3 2 6 18 6
X c 72 i
X c 72
25 20 15 10 5 0 -5 -10 -15 -20 -25
f d
30 20 21 14 7 0 —3 —4 0 —8 —5 72
代入公式：
fd i 72 72 5 79.5 X C
N 48
第三章
集中量数
第三章
第一节 算术平均数 一、概念
① 排序 4、5、7、8、10、12、18 ② ③ =8。
N 1 8 1 9 4.5 再如，一组数值为4、5、7、8、10、12、 2 2 2
N 1 7 1 8 4 中间位置序号 2 2 2
由左向右第4号对应的数据即为中位数， Mdn
18、19，其中间位置序号为
8 10 2
X X
N
i
则
cX
N
c X
4． 离差（各数值与平均数的差）之和为零。 即 (X X ) 0 5、离差平方和为最小。 A 即设 为任一定值，对于 ( X A) 2 ，则有
2 ( X A) 2 X X） （
第二节
• 中位数的计算方法
中位数
对原始数据计算中位数 对次数分布表数据计算中位数
45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
成 绩
图1 48名学生数学成绩次数分布直方图
根据某班48名学生的数学成绩所作直方图
3 2 1 0
45 50
55 60
9 8 7 6 5 次4 数 3 2 1 0 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 成 绩
组别
f
95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 合计 6 5 7 7 7 8 3 2 0 2 1 48
Xc
97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47
d
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5
图1 48名学生数学成绩次数分布直方图
次数分布表求出的平均数是近似值，假设各组内的数据是均匀分布 的，利用组中值代表各组数据，与实际不符，原始数据计算的准确
f x X
N
c
3816 79.5 48
• 根据算术平均数的性质
fd i X C
N
Xc C d i c为常数 在没有计算器的情况下可以用
97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47
6 5 7 7 7 8 3 2 0 2 1 48
48 42 37 30 23 16 8 5 3 3 1
表2
某班数学考试成绩累计次数分布表
组中值 次数 累计次数 下—上 累计次数 上—下
组别
95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 合计
第二节 中位数
一组按大小顺序排列的数据中，居中间位置对应 的数据值即为中位数，用符号 Mdn 表示。
适用条件： 1、有极端值 2、有个别数据模糊或有不确定组限 3、需要快速估计一组数据的代表值
• 1． 对原始数据计算中位数 • 步骤：①将数据按大小顺序排列 • ②计算中间位置序号 N 1 2 • ③找出中间位置对应的数据值 • 例如有一组数值为18、4、5、7、8、12、 10,计算其中位数。
97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47
6 5 7 7 7 8 3 2 0 2 1 48
48 42 37 30 23 16 8 5 3 3 1
6 11 18 25 32 40 43 45 45 47 48
根据某班48名学生的数学成绩所作直方图
9 8 7 6 5 4 次数 3 2 1 0
（3.4）
式中， X w 表示加权算术平均数； W为每一数值X所对应的权重。 N
i 1 表示数据与对应权数乘积的总和；
W W
i
W1 W2 WN
例3．某年级5个班的语文考试成绩如下， 求该年级语文平均成绩。
解：根据公式（3.4）得
Xw
WX W
45 94 .2 48 93 .5 52 92 .7 54 95 .2 55 91 .6 45 48 52 54 55 93 .41
X
式中 ，
N
X
i 1
i
（3.1）
X
i
为一组数据的算术平均数； 连加到i
N
X 表示从 i 1 的 X 1
X
i 1
N
i 1
N 的 X N ；即
i
＝ X X X X 1 2 3 N
X （3.2） X
N
• 同质数据：
指使用同一个观测手段，采用相 同的观测标准，能反映某一个问题的同 一个方面特质的数据。
5 1.12 0.90 1.05 1.16 1.22 1.08 也可由公式（3.7）直接计算。
MG
n
an a0
5
170 .3 1.08 114 .4
③计算平均增长率 x ' M G 1 1.08 1 0.08 所以，1980—1985年我国普通高等院校的在校生人 数是以每年平均8%的速度递增。
X 1 , X 2 , X 3 X n 的几何平均数便是平均发展速度。
MG
n
X1 X 2 X 3 X n
n
a a1 a 2 a 3 n a 0 a1 a 2 a n 1
n
an a0
(3.7)
说明只要知道初期量和末期量，就可以用公式（3.7）求平均 发展速度。 ' ' 若以 x 表示平均增长率，则 x =MG－1 （3.8）
使用条件
• • • • 1、同质数据 2、无模糊数据或不确定组限 3、无极端值 4、需要精确的集中量
二、计算方法 1. 对原始数据计算算术平均数
例1．已知一组数据值分别为80、90、75、 68、57, 求该组数据的算术平均数。 解：根据公式（3.2）得
X X
N
80 90 75 68 57 74 5
2.
对次数分布表计算算术平均数
如果数据已经整理成次数分布表的形式， 可根据公式（3.3）来计算算术平均数。
X
ห้องสมุดไป่ตู้fX
N
c
（3.3） 式中， X 表示对次数分布表计算的算术平 均数； X c 表示各组的组中值； f 表示各组对应的次数； N 表示总次数。
例2．某班62名学生成绩的次数分布 表如下，求该班学生成绩的算术平均数。
1、次数分布表 2、累计次数分布表 3、次数分布曲线图（次数分布多边图、次数分布直方图、累积次数分布 图） 4、原始数据计算平均数 5、次数分布表计算平均数 6、利用算术平均数的性质在无计算器时，计算平均数
某班48名学生数学成绩如下：
98 96 86 97 77 94 50 64 83 75 81 75 88 97 91 75 84 95 73 66 74 76 80 53 84 47 89 86 93 65 94 72 87 83 67 73 78 72 62 71 98 79 85 88 73 70 82 91
四、算术平均数的性质
1．常数的算术平均数等于该常数。 即 c Nc
X N N c
2．一组数据中，每一个数值加上（或减去） 一个常数后所得到的新的一组数据，其算术平 均数等于原一组数据的算术平均数加上（或减 去）这个常数。
若
X X
N
i
，则
(X
i
c)
N
X c
3． 一组数据中，每一个数值乘上一个常数后所 得到的新的一组数据，其算术平均数等于原一组 数据的算术平均数乘以这个常数。 若
第三节、几何平均数 • 一、概念 • 二、计算公式 三、几何平均数在教育上的应用
1.求平均发展速度和平均增长率 2.进行预测估计
第三节、几何平均数
一、概念
N个数值的连乘积的 N 次方根，称为几何平均 数，用符号 M G 表示。几何平均数也是平均数的
一种，如果一组数据值按比例递增或递减，表示 其平均水平时应使用几何平均数。几何平均数一 般用于计算平均发展速度、平均增长速率等统计 指标。
例4．根据下列次数分布表中数据计算中位数。
解：
①寻找中位数所在组，因 N 69 34.5由向上
2 2
累积次数可知中位数所在组为60 69 这一组。
②赋值 Lb 59.5
f 24
Fb 21
i 10
N 69
③代入公式（3.5）得
N Fb Mdn Lb 2 i f 69 21 59 .5 2 10 24 65 .13
，
说明中间位置在第4和第5位之间，那么中位数是 Mdn 9
第4与第5位对应数据值和的一半，即
2、对次数分布表数据计算中位数
N 在50%（即 ）这点上的数值就是中位数。中位数是次数分 2
如果一组数据已经列成了次数分布表，那么处
布的二等分点，有一半数据在中位数之上，另一半数据在中位 N 数以下。其计算公式为： Fb （3.5） Mdn Lb 2 i f 式中， Mdn 表示中位数； Lb 表示中位数所在组的精确下限； Fb 表示中位数所在组下限以下的累积次数； f 表示中位数所在组对应的次数； i 表示组距； N 为总次数。
第一节
算术平均数

一、概念 二、计算方法
1、对原始数据计算算术平均数
2、对次数分布表计算算术平均数

三、加权算术平均数
四、算术平均数的性质
一、概念
一组同质数据值的总和，除以数据总个数所得的商称为算术
平均数。
统计学中常用 （读谬）表示总体平均数，用 X （读X杠） 表示样本平均数。 设变量 X 1 , X 2 , X 3 X N 代表各次观测的结果，N 为观测 N 的次数
表1
某班考试成绩次数分布表
次数（ ）
组别
组中值（X c）
f
fX c
582 460 609 574 539 576 201 124 0 104 47 3816
累计次数
95-99 90-94 85-89 80-84 75-79 70-74 65-69 60-64 55-59 50-54 45-49 合计
解：将表中合计的结果代入公式（3.3）。
X
fX
N
c
3949 63 .70 62
三、加权算术平均数 把表示统计事项重要性程度大小的量数称为 权数。 一组同质数据中，每一数值与其对应权数乘 积的总和，除以权数之和所得的商，称为加权算 术平均数，用符号 X w 表示, 公式
Xw
WX W
如果数据的个数较多，求几何平均数时就需开 高次方，通常需借助计算器来完成。
三、几何平均数在心理和教育 上的应用
1.求平均发展速度和平均增长率 平均发展速度是各阶段发展速度的平 均值。 平均增长率 ＝ 平均发展速度 － 1。
设 a0 , a1 , a2 an 为各阶段某种统计量值，其中 a 0 为初期量、 an 为末期量，X 1 , X 2 , X 3 X n为各阶段环比发展速度。即 a3 an a1 a2 X 1 ；X 2 ；X 3 ；X n a0 a1 a2 a n 1
a n a0 1 x
n
（3.9）
例5．某高校1980年—1985年在校生人数 如表3—4。求年平均增长率。
解：
①先求逐年发展速度 。用每一年与其上一年量值的 环比求出逐年的发展速度列入表3—4的第3列。 ②计算平均发展速度 。将表中第3列数据代入公式 （3.6）得： M G n X 1 X 2 X 3 X n