正整数的等差分拆
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）＋ ， 。： （） ３
示 成 一个 或若 干个 正 整数 之 和 ， 即
ｍ ＝ ／ １ ＋ ｍ ２ ＋ … ｎ ＋ ｍ
其中ｍ ≥ １ ｉ＝ １２ … ，． ， ，， ｋ
一
的全部整 数解 可表 示为
＝ ｓ， ： ， Ｙ ｔ一 — 一 ｋ， ＝ 一 ｔ ＋ ｋ， ＝ ， 一 ｔ
］ ．
于是 ｍ ＝ １ ＝ （ｍ ＋ ）２ ２ ）当￡ 如 Ｐ ２ ２ １ １ （ｍ ＋１ ； ２
＝
（ ）在 （ ）中 ， 为偶 数 ， Ｐ 为 奇数 ， ≥ ２ ７ Ｐ 若 Ｐ Ｐ ｌ≥ ５ 若 Ｐ ； ２为 偶 数 ， Ｐ 则 ２≥ ２ １≥ ８ ｋ ∈ ｐ ，
ｒ
１ ｉ１ｍ ， 、 ２≥ １ ｍ 为 合数 ， ｍ ≥ ３×３ ＝９ 当 ｎ ， 且 ；
般均讨论无 序分拆． 参考文献 ［ ，］ １２ 对于
ｍ ， … ，／及 ｋ ｍ ， ／ ７ ， 没有 任何 限制 的 ｍ 的分 拆 的研
究 已有 很 多结 果． 而对 ／ ， … ， 有 限制 的正 ７ ｍ， ｍ ／ ，
其 中 ｓｔｋ∈ ２ｌ ， ｔ ，， ， ｓ２ｌ ． 证 明 方程 （ ）同解 于方程 ３
ａ ｘ＋ｂ ＝ｃ ｙ （） １
÷ｓ， 是方程（）的一个整数解 ， ￡ ｚ＝一 ５ 又因为
（， ２ｓ～１ ）＝ ｌ 由引理 １ ， ， 知 方程 （ ）的全 部整 数 ５
解 可表示 为
其 中 ａ ｂＣ 整数且 ａ ｂ 不是 ０ 有一 组整数 解 ， ，是 ，都 ． ＝ ， 。Ｙ＝Ｙ ， （ ，）＝ｄ 则 （ ） 。且 ａ ｂ ， １ 的一切 整数 解
充要 条件 及 重要 结果 ．
关键 词 ：正整数 ； 差分拆 等
＝
ｙ ＝ｙ 。＋
（） ２
Ｏ 引 言
正 整 数 的分拆 是 数论 、 图论 、 组合 数学 研究 的
一
其 中 ｋ∈ｚ ．
个 重 要课 题 ， 整数 的分 拆 是 指将 正整 数 ｍ 表 正
证明见参考文献［ ］ ３． 引理 ２ 关于 ， ，， ） ｕ的方程 ，
且 ｍ ≥ ６． ≠ ８ ｍ ．
证明 设 ２ ｍ存在满足Ｐ ≥Ｐ ＋１ ， ≥４ 同时 Ｐ 、 Ｐ 为一 奇一偶 的分 解 ＰＰ ， Ｐ 为 奇数 Ｐ 为偶 ：若 。 数， 则可设
Ｐ Ｉ＝２ ＋１ ｍ１ １ ，２＝２ （ ｍ２ ） ｔ＝ ｍ１ （ ≥ ）Ｐ ２ ＋１ （
１时 ， ２≥ １ｔ≥ ２时 ， ２≥ ０ ｍ ； ｍ ）
其 中 ∈ｚＰ 、２ ２ 的分解 （ Ｐ ２∈。 ，１ 是 ｍ Ｐ 即 １ ， Ｐ Ｐ １・ ２＝２ ｍ）并且 （ ）在 （ ）中 ，。 １ ６ Ｐ 为奇数 ， ≥ Ｐ Ｐ ＋１≥ ４ ，
ｋ∈ ［ ＋１ ｐ ，
１ 一
知， 方程 （ ）的全部 整 数解可 表示 为 ５
Ｉ＝ ｔ（ １ — 一ｓ ） Ｙ 一
’
Ｅ
互
： ：
＋２
综上 ， 引理 ２成 立．
引 理 ３ 正整 数 ２ ｍ存在 满足 Ｐ Ｐ ＋１≥ ２≥ ｌ
４ 同时 Ｐ 、２ ， 。Ｐ 为一 奇一 偶 ， Ｐ 或 ：≥ ２ ≥ ８ 同时 ｐ ， Ｐ 、 为一奇 一偶 的分 解 ＰＰ ， Ｐ Ｉ 当且仅 当 ｍ 为合 数
整 数 的分 拆 即等差 数 列 、 偶分 拆 、 奇 连续分 拆等 也 同样具 有 研究 价值 ， 文 讨 论 了正 整数 的一 种 有 该 限制 的拆 分 ， 即等 差分 的充 要 条 件 ， 给 出 了这 种 拆 并
２ 主要结果
定理 ４ 当且 仅 当正整 数 ｍ为合 数且 ｍ ≥６ ， ｍ ≠ ８时 ， 可 以等 差分 拆 ， 分 拆 数 列 由 以下 ｍ 且 （ ）式和 （ ）式 全部 给 出． ｏ为首 项 ， １ ２ （ ｄ为公 差 ， ｎ 为项 数 ）
（ ，，） ： （ ｍ 一 ｎ。 ｄ 后 ，一Ｐ ） ２＋ （） ６ （ ， ， ） ＝ （ ｊｍ 一（ Ｉ一１ ｋ 一Ｐ ｎｎ ｄ Ｐ， Ｐ ） ， ２＋２ ） ｋ （） ７
可 以表示 为
收稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ９—２ ０
』＝ 一 ｙ
【 一 ＋ ： ￡ ｋ
．
２８
哈 尔 滨 师范 大 学 自然 科学 学 报
当２ 时， 样Ｙ ÷５ ＝ ￡ Ｉ 同 ＝ 一 是方程（ ） ， ５的
一
引理 ３得 证．
个整数解 ， 因为（ ， 又 ２ｓ一１ ）＝ １ 仍 由引理 １ ，
第２ ６卷
第 ５期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡＬ Ｓ Ｉ ＣＥ ＯＵＲＮＡ ＡＴ Ｃ ＥＮ ＳＪ Ｌ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＮＩ ＲＳＴ
正 整 数 的等 差分 拆
魏 运
（ 内蒙财经学 院）
【 摘要】 讨论 了正整数的等差分拆问题 ， 出了所有 大于 ８的合数等差分拆的 给
１ 预备 知 识
定义 １ 如果 正整 数 ｍ是 整数 能表示 为某 个 以下 求 方程 （ ）的解． ５ 当 ２Ｉ 时 ， ５ 由于 ２Ｉｓ， 以 ２ Ｉｔ易 知 Ｙ ＝ ｔ所 ，
各 项 都为 正整 数且 公 差不 为零 的等 差数 列各项 的
和 ， 么 这个 数列 叫做 ｍ 的一 个 等差分 拆． 那 引理 １ 若方 程
ｆ ２时 ， 然 ｍ 为合数 ， ｍ ≥２×３×ｌ＝６ ｍ ≥ 显 且 ，
分 的重要 结果 ．
ｘ２ ［ｙ＋（ 一１ ＝２ ）］ ｕ
知， 方程 （ ）同整 数解 于方程 组 ３
（） ４
对任 意 ｓｔ∈ｚ ２Ｉ ｔ令 ２ ＝ｓ， 由方 程 （ ） ， 且 ｓ， ｕ ｔ则 ４
ｆ一， 、＝ｔ 【 ） ２ ： ｓ一１ ｙ＋（
１
（ ５ ）
示 成 一个 或若 干个 正 整数 之 和 ， 即
ｍ ＝ ／ １ ＋ ｍ ２ ＋ … ｎ ＋ ｍ
其中ｍ ≥ １ ｉ＝ １２ … ，． ， ，， ｋ
一
的全部整 数解 可表 示为
＝ ｓ， ： ， Ｙ ｔ一 — 一 ｋ， ＝ 一 ｔ ＋ ｋ， ＝ ， 一 ｔ
］ ．
于是 ｍ ＝ １ ＝ （ｍ ＋ ）２ ２ ）当￡ 如 Ｐ ２ ２ １ １ （ｍ ＋１ ； ２
＝
（ ）在 （ ）中 ， 为偶 数 ， Ｐ 为 奇数 ， ≥ ２ ７ Ｐ 若 Ｐ Ｐ ｌ≥ ５ 若 Ｐ ； ２为 偶 数 ， Ｐ 则 ２≥ ２ １≥ ８ ｋ ∈ ｐ ，
ｒ
１ ｉ１ｍ ， 、 ２≥ １ ｍ 为 合数 ， ｍ ≥ ３×３ ＝９ 当 ｎ ， 且 ；
般均讨论无 序分拆． 参考文献 ［ ，］ １２ 对于
ｍ ， … ，／及 ｋ ｍ ， ／ ７ ， 没有 任何 限制 的 ｍ 的分 拆 的研
究 已有 很 多结 果． 而对 ／ ， … ， 有 限制 的正 ７ ｍ， ｍ ／ ，
其 中 ｓｔｋ∈ ２ｌ ， ｔ ，， ， ｓ２ｌ ． 证 明 方程 （ ）同解 于方程 ３
ａ ｘ＋ｂ ＝ｃ ｙ （） １
÷ｓ， 是方程（）的一个整数解 ， ￡ ｚ＝一 ５ 又因为
（， ２ｓ～１ ）＝ ｌ 由引理 １ ， ， 知 方程 （ ）的全 部整 数 ５
解 可表示 为
其 中 ａ ｂＣ 整数且 ａ ｂ 不是 ０ 有一 组整数 解 ， ，是 ，都 ． ＝ ， 。Ｙ＝Ｙ ， （ ，）＝ｄ 则 （ ） 。且 ａ ｂ ， １ 的一切 整数 解
充要 条件 及 重要 结果 ．
关键 词 ：正整数 ； 差分拆 等
＝
ｙ ＝ｙ 。＋
（） ２
Ｏ 引 言
正 整 数 的分拆 是 数论 、 图论 、 组合 数学 研究 的
一
其 中 ｋ∈ｚ ．
个 重 要课 题 ， 整数 的分 拆 是 指将 正整 数 ｍ 表 正
证明见参考文献［ ］ ３． 引理 ２ 关于 ， ，， ） ｕ的方程 ，
且 ｍ ≥ ６． ≠ ８ ｍ ．
证明 设 ２ ｍ存在满足Ｐ ≥Ｐ ＋１ ， ≥４ 同时 Ｐ 、 Ｐ 为一 奇一偶 的分 解 ＰＰ ， Ｐ 为 奇数 Ｐ 为偶 ：若 。 数， 则可设
Ｐ Ｉ＝２ ＋１ ｍ１ １ ，２＝２ （ ｍ２ ） ｔ＝ ｍ１ （ ≥ ）Ｐ ２ ＋１ （
１时 ， ２≥ １ｔ≥ ２时 ， ２≥ ０ ｍ ； ｍ ）
其 中 ∈ｚＰ 、２ ２ 的分解 （ Ｐ ２∈。 ，１ 是 ｍ Ｐ 即 １ ， Ｐ Ｐ １・ ２＝２ ｍ）并且 （ ）在 （ ）中 ，。 １ ６ Ｐ 为奇数 ， ≥ Ｐ Ｐ ＋１≥ ４ ，
ｋ∈ ［ ＋１ ｐ ，
１ 一
知， 方程 （ ）的全部 整 数解可 表示 为 ５
Ｉ＝ ｔ（ １ — 一ｓ ） Ｙ 一
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Ｅ
互
： ：
＋２
综上 ， 引理 ２成 立．
引 理 ３ 正整 数 ２ ｍ存在 满足 Ｐ Ｐ ＋１≥ ２≥ ｌ
４ 同时 Ｐ 、２ ， 。Ｐ 为一 奇一 偶 ， Ｐ 或 ：≥ ２ ≥ ８ 同时 ｐ ， Ｐ 、 为一奇 一偶 的分 解 ＰＰ ， Ｐ Ｉ 当且仅 当 ｍ 为合 数
整 数 的分 拆 即等差 数 列 、 偶分 拆 、 奇 连续分 拆等 也 同样具 有 研究 价值 ， 文 讨 论 了正 整数 的一 种 有 该 限制 的拆 分 ， 即等 差分 的充 要 条 件 ， 给 出 了这 种 拆 并
２ 主要结果
定理 ４ 当且 仅 当正整 数 ｍ为合 数且 ｍ ≥６ ， ｍ ≠ ８时 ， 可 以等 差分 拆 ， 分 拆 数 列 由 以下 ｍ 且 （ ）式和 （ ）式 全部 给 出． ｏ为首 项 ， １ ２ （ ｄ为公 差 ， ｎ 为项 数 ）
（ ，，） ： （ ｍ 一 ｎ。 ｄ 后 ，一Ｐ ） ２＋ （） ６ （ ， ， ） ＝ （ ｊｍ 一（ Ｉ一１ ｋ 一Ｐ ｎｎ ｄ Ｐ， Ｐ ） ， ２＋２ ） ｋ （） ７
可 以表示 为
收稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ９—２ ０
』＝ 一 ｙ
【 一 ＋ ： ￡ ｋ
．
２８
哈 尔 滨 师范 大 学 自然 科学 学 报
当２ 时， 样Ｙ ÷５ ＝ ￡ Ｉ 同 ＝ 一 是方程（ ） ， ５的
一
引理 ３得 证．
个整数解 ， 因为（ ， 又 ２ｓ一１ ）＝ １ 仍 由引理 １ ，
第２ ６卷
第 ５期
哈尔滨师范大学 自然科学学报
Ｎ ＵＲＡＬ Ｓ Ｉ ＣＥ ＯＵＲＮＡ ＡＴ Ｃ ＥＮ ＳＪ Ｌ ＯＦ ＨＡＲＢ Ｎ ＮＯＲＭＡＬ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ Ｉ ＮＩ ＲＳＴ
正 整 数 的等 差分 拆
魏 运
（ 内蒙财经学 院）
【 摘要】 讨论 了正整数的等差分拆问题 ， 出了所有 大于 ８的合数等差分拆的 给
１ 预备 知 识
定义 １ 如果 正整 数 ｍ是 整数 能表示 为某 个 以下 求 方程 （ ）的解． ５ 当 ２Ｉ 时 ， ５ 由于 ２Ｉｓ， 以 ２ Ｉｔ易 知 Ｙ ＝ ｔ所 ，
各 项 都为 正整 数且 公 差不 为零 的等 差数 列各项 的
和 ， 么 这个 数列 叫做 ｍ 的一 个 等差分 拆． 那 引理 １ 若方 程
ｆ ２时 ， 然 ｍ 为合数 ， ｍ ≥２×３×ｌ＝６ ｍ ≥ 显 且 ，
分 的重要 结果 ．
ｘ２ ［ｙ＋（ 一１ ＝２ ）］ ｕ
知， 方程 （ ）同整 数解 于方程 组 ３
（） ４
对任 意 ｓｔ∈ｚ ２Ｉ ｔ令 ２ ＝ｓ， 由方 程 （ ） ， 且 ｓ， ｕ ｔ则 ４
ｆ一， 、＝ｔ 【 ） ２ ： ｓ一１ ｙ＋（
１
（ ５ ）