华中科技大学课件 贝塞尔函数
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贝塞尔函数PPT课件
由条件(4），得
u 0 , u U (4)
z0
zh
u(, 0)
m1
(Cm
Dm
)
J
0
(
(0 m b
)
)
0
于是得
Cm Dm 0 (m 1,2, ) (11)
再由条件（5）得
u 0 (5) b
u(, h)
m1
m(0) h
(Cm e
m(0) h
(0)
Dm
e
)J0(
m
b
)
U
第31页/共37页
F r C1J0 r C2Y0 r
由 u(r, t) 的有界性, 可以知道 C2 0. 再由条件
u 0, r 1
知：J0 0, 即 是 J0( x) 的零点.
用
(n =1,2…) 表示
以上结果可得:
的正零点, 综合
第16页/共37页
方程
的特征值为：
相应的特征函数为： 这时方程
-0.5
第7页/共37页
Jn( x) 的零点和 Jn1( x) 的零点是彼此相间分 布，即 Jn( x) 的任意两个相邻零点之间有且仅有 一个 Jn1( x) 的零点，反之亦然；
1.0 J0( x)
0.5
J1( x)
o
246
-0.5
8 10 12
第8页/共37页
以
(n) m
(m 1, 2,
由条件（8）知 D 0 .
第28页/共37页
二、求本征值、本征函数
再由条件（9）得,
R(b) CJ0 ( b) 0
即，J0 ( b) 0 ，由此可知 b 是 J0 (x) 的零点。
贝塞尔函数
y ( s k )ak x s k 1
y ( s k )(s k 1)ak x s k 2
k 0
k 0
xy ( s k )ak x s k
k 0
x 2 y ( s k )(s k 1)ak x s k
2 2 x y xy ( x n ) y 0 2
5/13
比较欧拉方程
变换
x y xy y 0
2
x e xp(t )
dy dy dt 1 dy dx dt dx x dt
或
t ln x
d2y 1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 dx x dt x dx dt x dt dt
( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n ( x) xJn1 ( x) nJ n ( x) xJ n
2nJ n ( x) xJn1 ( x) xJn1 ( x)
③ ④
( x) J n1 ( x) J n1 ( x) 2J n
18/13
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
d n [ x J n ( x )] x n J n1 ( x ) dx
( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n ( x) x n J n1 ( x) nx n1J n ( x) x n J n
( 1)m 2( n m ) x 2 n1 2 m n 2 m m! ( n 1 m 1) m 0 2
贝塞尔函数详细介绍(全面)
(−1) m x 2 n + 2 m −1 = x n J ( x) = x n ∑ n + 2 m−1 n −1 2 m!⋅Γ(n + m) m =0
∞
d x n J n ( x ) = x n J n −1 ( x ) dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) dx
y = AJ n ( x) + BYn ( x)
A、B为任意常数， n为任意实数
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
三 贝塞尔函数的性质
(−1) m x J n ( x) = ∑ ⋅ m = 0 m! Γ ( n + m + 1) 2
∞ n+2m
J α ( x) cos απ − J −α ( x) Yn ( x) = lim α →n sin απ
= −3J1 ( x) + 2 J1 ( x) + J1 ( x) − J 3 ( x) = − J 3 ( x)
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
(4)
d n x J n ( x) = x n J n −1 ( x) dx = − xJ1 ( x ) + ∫ x −1 J1 ( x )dx 2 = − xJ1 ( x) + 2 ∫ J1 ( x)dx d −n x J n ( x) = − x − n J n +1 ( x) = − xJ1 ( x ) − 2 ∫ dJ 0 ( x) = − xJ1 ( x) − 2 J 0 ( x ) + C dx ′ (5) ∫ x 3 J 0 ( x )dx = ∫ x 2 dxJ1 ( x ) = x 3 J 1 ( x ) − 2 ∫ x 2 J1 ( x)dx J n −1 ( x) − J n +1 ( x) = 2 J n ( x) 2n J n −1 ( x) + J n +1 ( x) = J n ( x) 3 2 3 2 = x J 1 ( x ) − 2 ∫ dx J 2 ( x ) = x J 1 ( x ) − 2 x J 2 ( x ) + C x
《贝塞尔函数》课件
贝塞尔函数的用途
求解微分方程
贝塞尔函数经常用于求解各种微分方程，特 别是在处理波动方程和热传导方程时。
物理问题建模
贝塞尔函数在物理问题建模中用于描述波动 、振动和波动等现象。
数值分析
贝塞尔函数在数值分析中用于近似计算和插 值。
工程领域应用
贝塞尔函数在电气工程、机械工程和航空航 天工程等领域有广泛应用。
VS
在几何学中，贝塞尔函数可以用于描 述和分析一些曲线和曲面，如螺旋线 、悬链线等。在拓扑学中，贝塞尔函 数可以用于研究一些与空间结构相关 的问题，如纽结理论和三维流形等。
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04 贝塞尔函数在微分方程中 的应用
贝塞尔函数在常微分方程中的应用
贝塞尔函数在常微分方程中常常被用 作解的表达式，特别是在一些特殊类 型的常微分方程中，如二阶线性常微 分方程。
贝塞尔函数可以用于求解一些具有特 定边界条件或初始条件的常微分方程 ，例如在物理学、工程学和金融学等 领域中的问题。
贝塞尔函数在偏微分方程中的应用
02 贝塞尔函数的性质和用途
贝塞尔函数的性质
无限可微性
贝塞尔函数在全实数轴上都是无限可微的。
边界条件
在某些边界条件下，贝塞尔函数可能具有特定的 值或无穷大。
ABCD
递推关系
贝塞尔函数之间存在递推关系，可以通过已知的 贝塞尔函数来求解其他贝塞尔函数。
积分表示
贝塞尔函数可以通过积分来表示，这为求解某些 数学问题提供了方便。
在这些方法中，贝塞尔函数可以提供一种有效 的工具来求解微分方程的数值解，特别是在处 理复杂边界条件或非线性问题时。
05 贝塞尔函数与其他数学知 识的联系
第4章-贝塞尔函数
级数解的导数为： y '
k 0
(
k )ck
x k1
y"
k 0
(
k
)(
k
1)ck
x k 2
20
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
代入方程(2)，
y 1 y (1 2 ) y 0 (2)
x
x2
( v 为任意实数)
得到
(n )(n 1)cn xn2 (n )cn xn2 cn xn
利用级数的比值判别法（或达朗贝尔判别法）
可以判定这个级数在除 x=0 点外的整个实数轴 上收敛，因此，级数式是贝塞尔方程的解．
28
下面我们分两种情况，找出方程贝塞尔的两个线性无 关的解，得到方程贝塞尔的通解：
（１） 1 及 2 不是整数， 将 1 代入式
y(x) (1)n
1
( x)2n
n0
n!(n 1) 2
18
由定理2知, 在 x=0点的邻域 x 0 内至少存在
一个下面形式的级数解
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
将此式代入方程
y
1 x
y
2
(1 x2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
19
y
1 x
y
(1
x
2 2
)y
0
(2)
( v 为任意实数)
y x cn xn n0
( c0 0, 为常数)
31
我们可用
J
(x)
(1) n
n0
1
n!(n
( x )2n 1) 2
统一表示第一类贝塞尔函数(也称为第一类柱函数)。
数学物理方法贝塞尔函数
第七章贝塞尔函数7.1 Bessel 方程及其幂级数解定义:称Bessel 方程为:222'''()0x y xy x n y ++-=其中，n 为任意实数。
当n>0时，取级数解c k k k y a x ∞+==∑有120'()''()(1)c k c k k k k k y a c k xy a c k c k x ∞∞+-+-===+=++-∑∑代入原式，222222012{[()(1)()]}()[(1)]0k kk k a c k c k c k aa x a c a a c n x ∞-=++-++-++-++-=∑有222201222()0[(1)]0[()]0k k a c n a c n a c k n a --=+-=+-+=得1,0c n a =±=，取c=n, 有222()k k a a n k n -=+-定理：212200,1,...(1)!2!()!m m mma m n a m n m +==-=+ 取022!na n =得22(1)2!()!mmn m a m n m +-=+有一个特解220(1)()2!()!mn m n n m m y J x x m n m ∞++=-==+∑取c=-n, 得另一个特解2220(1)()2!()!m n mn n m m x y J x m n m -+∞--+=-==-+∑称J n (x)为第一类Bessel 函数。
当n 不为整数x-->0时，有J n (x)-->0, J -n (x)-->∞, 则J n (x)-与J -n (x)不相关。
由齐次线性常微分方程通解的结构定理知道，当n 不为整数，Bessel 方程的通解为()()n n y aJ x bJ x -=+由级数收敛差别法，有22211limlim 04()m m m m a a m n m R→∞→∞-===+ 式中R 为收敛半径，可知R=∞,则J n (x)与J -n (x)的收敛范围为0<|x|<∞ 定义：当n 为整数时，J n (x)-称为整数阶Bessel 函数 例计算J 0(1)的前三项和。
第7章贝塞尔(Bessel)函数
(4) 三类函数的关系:
Jν
(x)
=
1 2
⎡⎣ Hν(1)
(x)
+
Hν( 2 )
( x) ⎤⎦
Nν
(x)
=
1 2i
⎡⎣Hν(1) (x)
−
Hν(2) (x)⎤⎦
15
7.2 贝塞尔函数的母函数,递推关系等
1. 母函数
P68, 例3.4.2
∑ ∑ ∑ f
( x, t )
=
x (t−1)
e2 t
=
∞ n=−∞
k =0
s=0
k =0
s=0
k =0
要使上式在 z < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必须等于零。
5
由 z 的最低次幂的系数为零得：
C0[ρ(ρ −1) + a0ρ + b0 ] = 0
( a0 , b0 已知)
C0 ≠ 0 ⇒ ρ(ρ −1) + a0 ρ + b0 = 0
(10)
—— ρ 的二次方程，指标方程
k =0
k+v
=
∞
C2n X
n=0
2n+v
=
∞ n=0
(−1)n Γ(ν 22n n!Γ(ν
+ 1)C0 + n +1)
X
2 n +ν
另一个特解为: (ρ2 = −ν )
∑ ∑ ∑ y2(x) =
∞
Ck X k −ν
k =0
=
∞
C2n X 2n−ν
n=0
=
∞ (−1)n Γ(−ν +1)C0 n=0 22n n!Γ(−ν + n +1)
华中科技大学课件贝塞尔函数课堂课件
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
医药&医学
6
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
是绝对收敛的。
医药&医学
17
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k)2 n2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
医药&医学
5
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
医药&医学
3
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
u |t0 (x, y).
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
数学物理方程课件第五章贝塞尔函数
(c 2 n2 )a0 xc (c 1)2 n2 a1xc1 (c k )2 n 2 ) ak ak2 xck 0
k 0
(c2 n2 )a0 0
(c 1)2 n2 a1 0 (c k)2 n2 ) ak ak2 0
c n c n
a1 0
a1 a3 a5.... 0
y
x2 y xy x2 n2 y 0, x R
y( R) 0, y(0)
n阶贝塞尔方程
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
二 贝塞尔方程的求解
n阶贝塞尔方程 n任意实数或复数
x2 y xy x2 n2 y 0
假设 n 0
令：y xc (a0 a1x a2 x 2 ak x k ) ak xck k 0 (c k)(c k 1) (c k) (x2 n2 ) ak xck 0 k 0
J
(x)
y AJn (x) BYn (x)
数学物理方程与特殊函数
x2 y xy x2 n2 y 0
J
n
(
x)
m0
(1)m m!(n m
1)
x 2
n2m
Yn
(
x)
lim
n
J
(x)
cos sin
J
(
x)
y AJn (x) BYn (x)
A、B为任意常数，
n为任意实数
0
数学物理方程与特殊函数
第5章贝塞尔函数
例3：将1在 0 x 1区间内展成
J
0
(
(0) i
x)
的级数形式
1
Ci
J
0
(
( i
0)
x)
华科大数理方程课件——贝塞尔函数的应用(2014)
由有界条件| R(0) | 知 D 0, 再利用条件(67)
R( B) 0得 J 0 ( B) 0, 即 B 是J 0 ( x) 0 的零点。
(n) ( 0) ) 0. 则得方程 以 m 表示 J 0 ( x) 的正零点， 即J 0 ( m (66)在有界条件及(67)下的固有值及相应固有函数 为
r u |t 0 h(1 ), u t |t 0 0. B
u | r B 0,
(62) (63) (64)
再由初始条件(64)中的第二式得
( 0) m
于是得
B
bm J 0 (( 0) ຫໍສະໝຸດ mBr ) 0,
bm 0 (m 1, 2, ).
16
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
根据叠加原理，方程(62)满足条件(63)的解为
( 0) (0) ( 0) a m a m m u (r , t ) (a m cos t bm sin t)J 0 ( r ). B B B m 1
2
(44) (45)
u | t 0 1 r 2 .
u (r , t ) C m e
m 1
(0) 2 ( m a) t
(46)
(0) J 0 ( m r ).
(51)
(0) 4J 2 m C m (0) 2 2 (0) , ( m ) J1 m
将 C m 代入(51)即得问题(44)-(46)的解为
(65) (66)
12
1 u tt a (u rr u r ) (0 r B), r
2
第七章 贝塞尔函数
2 x 1 n 1 (n m 1)! x n 2 m N n ( x) J n ( x)(ln ) ( ) π 2 π m0 m! 2 m x n2m (1) ( ) n m 1 m 1 1 1 1 2 ( ) π m 0 m!(n m)! k 0 k 1 k 0 k 1 0.5772 为欧拉常数． 其中，
故 x 0为 p( x), q( x) 的奇点
数学物理方法
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
0 xb
下面应用奇点邻域的幂级数解法：贝塞尔方程的求 解．设方程的一个特解具有下列幂级数形式：
y x Ck x k Ck x k
k 0 k 0
(1) x J v ( x) n ! ( v n 1) 2 n 0
n
2 n v
讨论： (1)当 不为整数时，例如 J ( x) 为分数阶贝塞尔函数：
J ( x), J ( x),
1 2 1 2
等, 当 x 0 时，
2n
x J ( x) 2
可证明， Nv ( x) 是贝塞尔函数方程的解，
Neumann 函数曲线
数学物理方法
cos( π)J ( x) J ( x) N ( x) sin( π) 是一个特解，它既满足贝塞尔方程，又与J n ( x) 线性无关．
这样我们可以得到
我们定义第二类贝塞尔函数（又称为诺依曼函数）为
l 从零开始，故
x n J n ( x) ( ) (1) n l 2 l 0
x 2l 2 n x 2l n ( ) ( ) 2 (1) n ( 1)l 2 (n l )!l ! (n l )!l ! l 0
第五章-贝塞尔函数
第五章-贝塞尔函数n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V VVT a T x y∂∂'=+∂∂或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+=（5.4）22220V VV x y λ∂∂++=∂∂ （5.5）从（5.4）得2()a t T t Ae λ-=方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
贝塞尔函数课件
3
正交性
贝塞尔函数之间具有正交性质，适合用于展开函数。
贝塞尔函数的计算方法
级数展开求解
可以使用贝塞尔函数的级数展开 式近似求解。
径向波动方程求解
使用贝塞尔函数表（示例）
贝塞尔函数是径向波动方程的解， 可用于求解相关问题。
通过查表，可以直接获取贝塞尔 函数的数值。
贝塞尔函数的在物理学中的应用
电磁场问题中的应用
贝塞尔函数用于描述电磁场分 布、辐射和散射等问题。
圆形共振问题中的应 用
贝塞尔函数用于解决圆形共振 腔中的电磁波问题。
量子力学中的应用
贝塞尔函数用于描述量子力学 中的球对称问题和径向波函数。
总结
在本课件中，我们介绍了贝塞尔函数的定义和基本类型，讨论了贝塞尔函数的性质和计算方法，以及它在物理 学中的应用。希望通过这些内容，您对贝塞尔函数有更全面的了解。
贝塞尔函数PPT课件
贝塞尔函数是一种数学函数，常用于解决各种科学领域中的物理和数学问题。 本课件将介绍贝塞尔函数的定义、类型、性质、计算方法以及在物理学中的 应用。
什么是贝塞尔函数
贝塞尔函数是一类特殊的数学函数，它是贝塞尔微分方程的解。它广泛应用 于物理学、工程学和数学等领域，例如波动理论、振动问题和量子力学。
下一步研究方向
贝塞尔函数作为一种重要的数学工具，在各个领域中仍有许多未解决的问题 和有待深入研究的方向。我们鼓励您继续探索和应用贝塞尔函数。
参考文献
1. Jiang, X., & Li, X. (2019). Applications of Bessel functions in physics. Physics Education, 54(6), 065010.
数学物理方程第12讲 贝塞尔函数
n阶贝塞尔函数
5.1
的引出
以圆盘热传导过程中瞬时温度分布为例
一个半径为 R 的薄圆盘，侧面绝热，
圆周边缘温度为零度，且初始温度已知，
求圆盘内瞬时温度分布规律。
P"( ) P' ( ) ( n )P( ) 0
2 2 2
0 时，
令r ，并记P( ) P(
Ch5 ξ5.1
特殊函数
贝塞尔函数的引出
ξ 5.2 贝塞尔方程的求解
特殊函数
1）这些函数在解决工程实际 问题中具有重要作用，地位特殊
为什么 特殊
2）它不能通过五种基本的初等函数的四则运算 和乘方开方得到，它一般是
收敛的无穷级数来表达
举例
n2m x J n ( x) (1) m n 2 m 2 m!(n 1)(n 2)...(n m)(n 1) m 0
当
r
2
) F (r )
得到r F (r ) rF (r ) (r n ) F (r ) 0
2 2
n阶贝塞尔方程 最常见的形式
5.2 贝塞尔方程的求解
x y xy ( x n ) y 0
2 2 2
1）n为任意实数或者复数，不只是整数， 可以是非整数 2）这个方程的解称为n阶贝塞尔函数 3）变系数的二阶常微分方程
Solve: 1)设方程有一个级数解
y ak x c k
k 0
2 2 2 代入到n阶贝塞尔方程， x y xy ( x n ) y 0
求c和系数ak
2）c=n,-n c=n,
ak 2 ak k ( 2n k )
a1 a3 ....a2m1 0
第4章贝塞尔函数_728908945
[2(2 k )uk (s) k (22 k )uk (s)]eks uk 2 (s)e ks 0
k n2 0 .比较系数，可得
0 22u0 (22 1)u1 0 2(2 1)u1 k (22 k )uk uk 2 0, k 2 2(2 k )uk
0, k 2n 1 k(k2n1)= 0, k 2n 1
(4.1.14)
于是，当 k 2n 1 时，由(4.1.9)
k (k 2n 1)ck ck 2 0
解出
(4.1.15)
c1 c3 = c5 =
= c2 n 1 =0
(4.1.16)
(4.1.25)
对 k 2n ，我们有
n 0u2n u2n2 0 2nu2
5
由此解出
u2n 0 (s 0 )
其中
c0 1
当取 1 时，(4.1.5)式写成
(4.1.8)
k (k 2 )ck ck 2 0, k 2
由此可见
ck
可令
ck 2 0, k 0 k (k 2 )
(4.1.9)
c0 1 ， c2 m
c2 c2 m
c2( m1) 4m(m )
将 2 n 代入. (4.1.23a)
0 2nu0 (1 2n)u1 0 2(1 n)u1 k (k 2n)uk uk 2 0, k 2 2(k n)uk
显然，
(4.1.23b)
u1 0
并因此有
u1 u3 = u5 =
=0
(4.1.24)
k (k 2 )ck ck 2 0, k 2
第十七章贝塞尔函数
第十七章 贝塞尔函数贝塞尔方程是拉普拉斯方程在柱坐标系中分离变量得到的。
17.1 贝塞尔方程及其解贝塞尔方程：()02'''2=-++y v x xy y x修正贝塞尔方程：()022'''2=+++y v x xy y x当v 不是整数时，贝塞尔方程通解是：()()()x BJ x AJ x y v v -+=当v 是整数m 时，由于()()()x J x J m mm1-=-，因此其通解为()()()x BY x AJ x y m m +=17.1.1 第一类贝塞尔函数第一类贝塞尔函数()x J v 的级数形式为()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=∑及()()[]kv kk v x k v k x J 2021!11+-∞=⎪⎭⎫⎝⎛++-Γ-=∑式中Γ是伽马函数。
当v 是整数时()∞=++-Γ1k v （k=0,1,2，…，v-1）所以当v=m （整数）时，上述级数实际上是从k=m 开始的，即()()[]km kk v x m k k x J 202!!11+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑填空：()()()x J x J m mm--=1当x 很小时，保留级数中头几项，可得()()x v x x J vv +Γ⎪⎭⎫⎝⎛≈12()⋯---≠,3,2,1v特别是()100=J ，()00=m J ()⋯=,3,2,1m当x 很大时 ，()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈-2324cos 2x v x x x J v οπππ17.1.2 第二类贝塞尔函数定义：()()()ππv x J x J v x Y v v v sin cos --=；注意，()()()x Y x Y n nn 1-=-性质：当x 很小时，保留级数中头几项，可得：()()kv x Y vv Γ⎪⎭⎫⎝⎛-≈ππ21()0≠v ；()xx Y ln 20π≈()0=v当x很大时，其近似为()⎪⎭⎫ ⎝⎛--≈24sin 2πππv x x x Y v第三类贝塞尔函数第三类贝塞尔函数由第一、第二类贝塞尔函数组合得到，通常定义为：()()()()x iY x J x H v v v +=1()()()()x iY x J x H v v v -=2由于他们的线性组合是贝塞尔方程的两个解，故贝塞尔方程的通解可以写成: ()()()21v v BH AH x y += 。
贝塞尔函数的性质
利用递推关系可以证明， N
1 也是初等函数。 m 2
第四章-贝塞尔函数的性质
13
13
三、贝塞尔方程的固有值问题 考虑贝塞尔方程的固有值问题
r 2 R(r ) rR( r ) ( r 2 2 ) R( r ) 0 | R(0) | R( R0 ) 0， (13)
m 2
m 2
证明：由于
1 2n x J 1 ( x ) (1) n ( ) 2 1 2 n 0 2 n ! ( n ) 2
1
1 2n 1 x ( 1) n ( ) 2 (2n 1)!! 2 n 0 n! 2n 1 1 1 2n 1 2n 3 1 1 (2n 1)!! ( n ) ( n ) ( n ) ( ) n 2 2 2 2 2 2 2 2
由（3）和（4）式相加减分别可得
2 J 1 ( x) J 1 ( x) J ( x) (5) x
J 1 ( x) J 1 ( x) 2 J ( x) (6)
第四章-贝塞尔函数的性质
4
4
注：从这些递推关系可以得到 ( x ) J1 ( x ) J0 (把 0 代入(3)即得) 注：对所有正整数m, J m ( x) 都可以用 J 0 ( x) 和
贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质
J ( x)
n 0 一、递推公式 J 1 ( x) d J ( x) ( ) (1) dx x x
(1) n
1 x ( ) 2 n n!(n 1) 2
2n d J ( x) d 1 x 证明: ( ) [ (1) n ] 2 n dx x dx n 0 n !( n 1) 2 2 n 1 2 n x (1) n 2 n n ! ( n 1) 2 n 1
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1)
,
a4
a2 4(2n 4)
a0 2 4(2n 2)(2n
4)
a0
,
24 2 1(n 1)(n 2)
a2m
(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n
2)
(n
, m)
16
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
(13)
(s 2 n 2 )a0 x s [(s 1)2 n 2 ]a1x s1
(s k )2 n 2 ak ak2 x sk 0,
k 2
比较上式两边系数则有
(s 2 n2 )a0 0, [(s 1)2 n2 ]a1 0,
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F
,
G
F
于是有
G G 0,
2)
22
a0 1 (n
1)
,
a4
a2 4(2n
4)
2 4(2n
a0 2)(2n
4)
a0
,
24 2 1(n 1)(n 2)
a2m
(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n 2)
(n
, m)
20
y(x) ak x sk
它的解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数
由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式
的广义幂级数解：
y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
其中 s 为常数，下面来确定 s, ak (k 0,1, 2, ).
ak (s k )2 n 2 x sk ak2 x sk 0,
k 2
k 2
(s 2 n 2 )a0 x s [(s 1)2 n 2 ]a1x s1
(s k )2 n 2 ak ak2 x sk 0,
k 2 13
由(17)可知
(k 2, 3, ).
(17)
a1 a3 a5 0,
15
另外
y(x) ak x sk
k 0
ak
ak2 . k(2n k)
(a0 0),
(k 2, 3, ).
(13) (17)
a2
a0 2(2n
2)
22
a0 1 (n
r, 并记
F(r) F
x
y(x),
则
Fr yx , Frr ( yxx ) yxx ,
将上式代入方程(11)可得
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
为此，将(13)以及
y ak (s k )x sk1,
k 0
带入方程(12)
y ak (s k 1)(s k )x sk2
k 0
11
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
y(x) ak x sk
[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
情形 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数，则
1s1 s2 2n 也不为整数。先取 s1 n, 代入(15)得
a1 0, 代入(16)得
ak
ak2 . k(2n k)
a2m
(1) m
1 2n2m m!(n
m 1)
将此系数表达式代回(13)中，
17
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
(13)
得到方程(12)的一个特解，记作 J n (x)
J n
(a0 0),
(13)
a2m
(1) m
k 0
a0
ak
ak2 . k(2n k)
(k
2, 3,
).
由上公式可知
a1 a3 a5 0,
19
另外
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
ak
ak2 . k(2n k)
(k
2, 3,
).Biblioteka (13)a2
a0 2(2n
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
7
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
是单值函数，即 V (r, ) V (r, 2 ),
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
处的温度函数。
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令
[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(14) (15) (16)
由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s2 n.
下面分三种情形讨论
14
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
u(x, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V
( 0),
4
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
u |t0 (x, y).
于是有
亥姆霍兹 方程
方程(4)的解为
T a2T 0, Vxx Vyy V 0.
T (t) Aea2t .
由边界条件(2)有
V |x2 y2 R2 T (t) 0,
V |x2 y2 R2 0.
(1) (2) (3) (4) (5)
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0, G( ) G( 2 ),
可得
n2 (n 0,1, 2, )
G0 ( )
1 2
a0
Gn ( ) an cos n bn sin n. (n 1, 2, )
8
G G 0,
k 0
a2m
(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n 2)
(n
, m)
由于 a0 是任意常数，我们可以这样取值：
使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时
使分母简化。为此取
a0
1. 2n (n 1)
利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
(x)
a2m xn2m
m0
(1) m
m0
2n2m
x n2m m!(n
m
, 1)
(18)
J n (x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。又由于
lim um1 lim
x2
0 1
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
将 n2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。
由边界条件(8) V |rR 0 可知 V (R, ) F (R)G( ) 0,
(a0 0),
(13)
k 0
y ak (s k )x sk1, y ak (s k 1)(s k)x sk2
k 0
k 0
可得
ak (s k 1)(s k)x sk ak (s k )x sk
k 0
k 0
是绝对收敛的。
18
y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
再令 s2 n,代入(15)得 a1 0, 代入(16)得