华中科技大学课件 贝塞尔函数

[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
情形 如果 n 不为整数(包括0)和半奇数，则
1s1 s2 2n 也不为整数。先取 s1 n, 代入(15)得
a1 0, 代入(16)得
ak

ak2 . k(2n k)
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
7
G G 0,
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
由于温度函数 u(x, y,t)是单值的，所以V (x, y)也必
是单值函数，即 V (r, ) V (r, 2 ),
[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(14) (15) (16)
由于 a0 0, 从(14)可得 s1 n, s2 n.
下面分三种情形讨论
14

y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
a2m

(1) m
1 2n2m m!(n
m 1)
将此系数表达式代回(13)中，
17
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)

y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
(13)
得到方程(12)的一个特解，记作 J n (x)
J n
为此，将(13)以及
y ak (s k )x sk1,
k 0

带入方程(12)
y ak (s k 1)(s k )x sk2
k 0
11
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)

y(x) ak x sk
1)
,
a4

a2 4(2n 4)

a0 2 4(2n 2)(2n
4)

a0
,
24 2 1(n 1)(n 2)

a2m

(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n
2)
(n
, m)
16

y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
(12)

y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0


ak (s k ) 2 n 2 x sk ak2 x sk 0,
k 0
k 2
(s 2 n 2 )a0 x s [(s 1)2 n 2 ]a1x s1

2
5.1 贝塞尔方程及贝塞尔函数
一、贝塞尔方程的导出
在应用分离变量法解决圆形膜的振动问题或 薄圆盘上瞬时温度分布规律时，我们就会遇到 贝塞尔方程。下面，我们以圆盘的瞬时温度分 布为例来导出贝塞尔方程。
设有半径为 R 的圆形薄盘，上下两面绝热，
圆盘边界上的温度始终保持0度，且初始温度 分布为已知， 求圆盘内的瞬时温度分布规律。
(3) 当 n 0, 1, 2, 时 1 0. (n)
1
第五章 贝塞尔函数
在应用分离变量法解其他偏微分方程的定解问 题时，也会导出其他形式的常微分方程边值问题， 从而引出各种各样坐标函数系。这些坐标函数系就 是人们常说的特殊函数。
本章，我们将通过在柱坐标系中对定解问题进 行分离变量，导出贝塞尔方程；然后讨论这个方程 的解法及解的有关性质；最后再来介绍贝塞尔函数 在解决数学物理中有关定解问题的一些应用。
ak
ak2 . k(2n k)
(k
2, 3,
).
由上公式可知
a1 a3 a5 0,
19
另外

y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
ak
ak2 . k(2n k)
(k
2, 3,
).
(13)
a2


a0 2(2n
(x)


a2m xn2m
m0


(1) m
m0
2n2m
x n2m m!(n

m
, 1)
(18)
J n (x)称为 n 阶第一类贝塞尔函数。又由于
lim um1 lim
x2
0 1
m um m 4(m 1)(n m 1)
则由达朗贝尔判别法可知级数(18)在整个实轴上
u |t0 (x, y).
于是有
亥姆霍兹 方程
方程(4)的解为
T a2T 0, Vxx Vyy V 0.
T (t) Aea2t .
由边界条件(2)有
V |x2 y2 R2 T (t) 0,
V |x2 y2 R2 0.
(1) (2) (3) (4) (5)
2)


22
a0 1 (n
1)
,
a4


a2 4(2n
4)
2 4(2n
a0 2)(2n

4)

a0
,
24 2 1(n 1)(n 2)

a2m

(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n 2)
(n
, m)
20

y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
a2m

(1) m
k 0
a0
V |rR 0.
(8)
再令 V (r, ) F(r)G( ), 代入方程(7)得
F G 1 F G 1 FG FG 0,
r
r2
两端乘以 r 2 移项得
FG
G r 2 F rF r 2 F

,
G
F
于是有
G G 0,
k 0
a2m

(1) m
22m
a0 m!(n 1)(n 2)
(n
, m)
由于 a0 是任意常数，我们可以这样取值：
使一般项系数中 2 与 x 有相同的次数，并且同时
使分母简化。为此取
a0

1. 2n (n 1)
利用递推公式 n(n) (n 1), 则一般项系数变为
(a0 0),
(13)
k 0


y ak (s k )x sk1, y ak (s k 1)(s k)x sk2
k 0
k 0
可得


ak (s k 1)(s k)x sk ak (s k )x sk
k 0
k 0
(9)
r 2 F rF (r 2 )F 0. (10)
将 n2代入方程(10)得
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
该方程叫做 n 阶贝塞尔方程。
由边界条件(8) V |rR 0 可知 V (R, ) F (R)G( ) 0,
是绝对收敛的。
18

y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
[(s 1)2 n2 ]a1 0,
[(s k )2 n 2 ]ak ak2 0 (k 2, 3, )
(13) (15) (16)
再令 s2 n,代入(15)得 a1 0, 代入(16)得

y(x) ak x sk k 0
(a0 0),
(13)
(s 2 n 2 )a0 x s [(s 1)2 n 2 ]a1x s1

(s k )2 n 2 ak ak2 x sk 0,
k 2
比较上式两边系数则有
(s 2 n2 )a0 0, [(s 1)2 n2 ]a1 0,
(6)
5
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
为了求解方程(5)满足条件(6)的非零解，
Vxx Vyy V 0,
(5)
V |x2 y2 R2 0.
(6)
r, 并记
F(r) F
x



y(x),
则
Fr yx , Frr ( yxx ) yxx ,
将上式代入方程(11)可得
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
方程(12)是具有变系数的二阶线性常微分方程，
它的解称为贝塞尔函数。(有时称之为柱函数)。
10
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.
(12)
二、贝塞尔函数
由微分方程解的理论知：方程(12)有如下形式
的广义幂级数解：

y(x) ak x sk
(a0 0),
(13)
k 0
其中 s 为常数，下面来确定 s, ak (k 0,1, 2, ).
我们采用平面上的极坐标系，则得定解问题
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
V |rR 0.
(8)
6
2V 1 V 1 2V V 0 (0 r R), (7)
r 2 r r r 2 2
附录： 函数的基本知识
(1) 定义
(x) ett x1dt (x 0), 0
(1) 1, (1) .
2
(2) 函数的递推公式
(x) 1 (x 1) x
特别的，当 x 为正整数 n 时，有
(n 1) n(n) n(n 1)(n 1) n!(1) n!.
u(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, y,t) V (x, y)T (t), 代入方程(1)得
VT a2 (Vxx Vyy )T,
用 1 乘之，得
a 2VT
T a 2T
Vxx Vyy V

( 0),
4
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2), u |x2 y2 R2 0,
由(17)可知
(k 2, 3, ).
(17)
a1 a3 a5 0,
15
另外

y(x) ak x sk
k 0
ak

ak2 . k(2n k)
(a0 0),
(k 2, 3, ).
(13) (17)
a2


a0 2(2n
2)


22
a0 1 (n
G( ) G( 2 ),
求解常微分方程的边值问题
G G 0, G( ) G( 2 ),
可得
n2 (n 0,1, 2, )
G0 ( )

1 2
a0
Gn ( ) an cos n bn sin n. (n 1, 2, )
8
G G 0,
我们用u(x, y,t)来表示时刻 t 圆盘上点 (x, y)
处的温度函数。
3
这个问题归结为求解下列定解问题：
ut a2 (uxx uyy ) (x2 y2 R2),
(1)
u |x2 y2 R2 0,
(2)
u |t0 (x, y).
(3)
应用分离变量法求这个问题的解。为此，令

ak (s k )2 n 2 x sk ak2 x sk 0,
k 2
k 2
(s 2 n 2 )a0 x s [(s 1)2 n 2 ]a1x s1

(s k )2 n 2 ak ak2 x sk 0,
k 2 13
F(R) 0.
另外，由于圆盘上的温度是有限的，特别在圆心 处也应如此，由此可得
| F(0) | ,
9
因此，原定解问题的最后解决就归结为求问题
r 2 F rF (r 2 n2 )F 0,
(11)
F(R) 0 | F(0) | ,
的固有值与固有函数。
若令 x
n 2 ak x sk ak x sk2 0,
k 0
k 0


ak (s k 1)(s k ) (s k) n2 x sk ak2 x sk 0,
k 0
k 2
12
x 2 y xy (x 2 n2 ) y 0.