2019-2020学年河南省驻马店市高三(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题
1．（3分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6}，{2A =，4，5}，{2B =，3，4，6}，则()(U A B =I ð
)
A ．{3，6}
B ．{1，3，6}
C ．{2，6}
D ．{2，3，4}
2．（3分）若202031i i z i
-=+，则z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．（3分）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当(1,0)x ∈-时，4()33x f x =+
，则33(log )(2
f = ) A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
4．（3分）cos350sin70sin170sin 20(︒︒-︒︒= ) A ．
3
B ．3-
C ．
12 D ．12
-
5．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos sin 3b B C c =，则(B = ) A ．
6
π
或56π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
6π或3
π 6．（3分）高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为( ) A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
7．（3分）函数2
()(1)
f x ln x x =
+-的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（3分）将函数()sin(3)6
f x x π
=+的图象向右平移(0)m m >个单位长度，再将图象上各点
的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( ) A ．
9
π
B ．
29
π C ．
18
π
D ．
24
π 9．（3分）明代数学家程大位(1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为( )
A ．
7
4
B ．5627
C ．2
D ．
164
81
10．（3分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是A ，B ，双曲线的右焦
点F 为(2,0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( )
A ．22
122x y -
= B ．2
213
y x -=
C ．2
213x y -=
D ．22
144
x y -
=
11．（3分）点O 在ABC ∆所在的平面内，||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，||2AB =u u u r ，||1AC =u u u r
，(,)AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42(0)λμμ-=≠，则||(BC =u u u r
)
A ．
73
B C ．7 D
12．（3分）有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )（附
2.236)≈≈
A ．22个
B ．24个
C ．26个
D ．28个
二、填空题
13．（3分）某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n = ． 14．（3分）抛物线2
112
y x =
的焦点坐标为 ． 15．（3分）已知偶函数()()f x x R ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，2
1
()()0f x xf x x '++>，1(5)25f =
，则不等式21
()f x x
>的解集为 ． 16．（3分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为 ． 三、解答题
17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2)，
规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”． 表1：男生
表2：女生
人数04121284
（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22
⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关．
每周运动的时长小于
15小时
每周运动的时长不小
于15小时
总计男生
女生
总计
参考公式：2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
参考数据：
2
()
P K k
…0.400.250.100.010
k0.708 1.323 2.706 6.635
18．已知数列{}
n
a满足
123
252525253
n
a a a a
+++⋯+=
----
．
（1）求数列{}
n
a的通项公式；
（2）设数列
1
1
{}
n n
a a
+
的前n项和为
n
T，证明：
11
226
n
T<
„．
19．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PC⊥平面ABCD，22
PC=，23
AB=，24
AD BC
==，90
DAB ABC
∠=∠=︒，点E为PD的中点．
（1）证明：CE AP
⊥．
（2）求点E到平面PAC的距离．
20．已知函数()f x xlnx x =+，()x x g x e
=
． （1）若不等式2()()f x g x ax „对[1x ∈，)+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()1()f x x g x +->．
21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、
右焦点，直线23
b
y =与C 交于A ，B 两点，290AF B ∠=︒，且220
9
F AB S =V ．
（1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM ，PN ，MN ，OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k g 的值．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为9,
(x t y t
⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2216
13sin ρθ
=
+．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离． 23．设函数()|1||21|f x x x =++-． （1）求不等式()3f x …的解集；
（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求222(1)(2)x y z ++++的最小值．
2019-2020学年河南省驻马店市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）已知集合{1U =，2，3，4，5，6}，{2A =，4，5}，{2B =，3，4，6}，则()(U A B =I ð
)
A ．{3，6}
B ．{1，3，6}
C ．{2，6}
D ．{2，3，4}
【解答】解：全集{1U =，2，3，4，5，6}，集合{2A =，4，5}， {
1U A ∴=ð，3，6}， Q 集合{2B =，3，4，6}， (){3U A B ∴=I ð，6}，
故选：A ．
2．（3分）若202031i i z i
-=+，则z 在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：Q 202045053313111i i i i i
z i i i
⨯---===
+++ (13)(1)12(1)(1)
i i i i i --==--+-， z ∴在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--，位于第三象限．
故选：C ．
3．（3分）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当(1,0)x ∈-时，4()33x f x =+
，则33
(log )(2
f = ) A ．2-
B ．2
C ．3-
D ．3
【解答】解：根据题意，3
33223log log =-，且32
103
log -<<， 又由()f x 为定义在R 上的偶函数，
则3233333424
(log )(log )3222333
log f f ==+=+=；
故选：B ．
4．（3分）cos350sin70sin170sin 20(︒︒-︒︒= )
A B ． C ．
12 D ．12
-
【解答】解：3cos350sin 70sin170sin 20cos10cos20sin10sin 20cos30︒︒-︒︒=︒︒-︒︒=︒=． 故选：A ．
5．（3分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4cos sin 3b B C c =，则(B = ) A ．
6
π
或56π
B ．
4
π
C ．
3
π D ．
6π或3
π 【解答】解：由4cos sin 3b B C c =，得4sin cos sin 3sin B B C C =， 3sin 2B ∴=
，23B π∴=或23π
， 6B π∴= 或3π，
故选：D ．
6．（3分）高考“33+”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为( ) A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
【解答】解：选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为20
0.2100
=． 故选：B ．
7．（3分）函数2
()(1)
f x ln x x =
+-的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：Q
()()f x f x -=
=
==-，
()f x ∴为奇函数，排除B ，C ；
又
3()()0,()022f f f πππ===
>，排除D ； 故选：A ．
8．（3分）将函数()sin(3)6
f x x π
=+的图象向右平移(0)m m >个单位长度，再将图象上各点
的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，若()g x 为奇函数，则m 的最小值为( ) A ．
9
π
B ．
29
π C ．
18
π
D ．
24
π 【解答】解：将函数()sin(3)6
f x x π
=+的图象向右平移(0)m m >个单位长度，可得
sin(33)6
y x m π
=-+的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1()sin(3)
26
g x x m π
=-+的图象，
若()g x 为奇函数，则当m 的最小时，306
m π
-+=，18
m π
∴=
，
故选：C ．
9．（3分）明代数学家程大位(1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为( )
A ．
74
B ．5627
C ．2
D ．
164
81
【解答】解：模拟程序的运行过程知， 34y x =-，1i =；
34916y y x =-=-，2i =； 342752y y x =-=-，3i =； 3481160y y x =-=-，4i =； 34243484y y x =-=-，
此时不满足3i …，跳出循环，输出结果为243484x -， 由题意2434842y x =-=，得2x =． 故选：C ．
10．（3分）已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右顶点分别是A ，B ，双曲线的右焦
点F 为(2,0)，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为( )
A ．22
122x y -
= B ．2
213
y x -=
C ．2
213x y -=
D ．22
144
x y -
= 【解答】解：不妨设点P 的坐标为(2,)m ，0m >，由于||AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，
也等价于tan APB ∠取得最大值，
因为2
tan a APF m
+∠=， 2tan a BPF m
-∠=
，所
以
2222tan tan()221a a
a a m m APB APF BPF a a
b b m m m m +--
∠=∠-∠===+-++g …，当且仅当2b m m =，即当m b =时，等号成立，
此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，
点P 的坐标为(2,)b ，代入22
221x y a b -=
可得a =
b =
所以双曲线的方程为：22
122
x y -=．
故选：A ．
11．（3分）点O 在ABC ∆所在的平面内，||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，||2AB =u u u r ，||1AC =u u u r
，(,)AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，且42(0)λμμ-=≠，则||(BC =u u u r
)
A ．
73
B
C ．7 D
【解答】解：由||||||OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r
，可知，点O 为ABC ∆外心，
则2122AB AO AB ==u u u r u u u r u u u r g ；21122
AC AO AC ==u u u r u u u r u u u r g ，
又(,)AO AB AC R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r
，
所以242AO AB AB AC AB AC AB λμλμ=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g g ①； 2AO AC AB AC AC AB AC λμλμ=+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g g ②；
因为42(0)λμμ-=≠，③ 联立方程①②③可得56λ=
，43
μ=，1AB AC =-u u u
r u u u r g ，因为BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， 所以22227BC AC AB AC AB =+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g ；
即||BC =u u u r
故选：D ．
12．（3分）有一圆柱状有盖铁皮桶（铁皮厚度忽略不计），底面直径为20cm ，高度为100cm ，现往里面装直径为10cm 的球，在能盖住盖子的情况下，最多能装( )（附
:2 1.414,3 1.732,5 2.236)≈≈≈
A ．22个
B ．24个
C ．26个
D ．28个
【解答】解：由题意，若要装更多的球，需要让球和铁皮桶侧面相切，且相邻四个球两两相切，
这样，相邻的四个球的球心连线构成棱长为10cm 的正四面体， 以两层为例，如图，求得52EF =．
即求得正四面体相对棱的距离为52cm ，每装两个球称为“一层”，这样装n 层球， 则最上层球面上的点距离桶底最远为(1052(1))n cm +-，
若想要盖上盖子，则需要满足1052(1)100n +-„，解得19213.726n +≈„，
∴最多可以装13层球，即最多可以装26个球．
故选：C ．
二、填空题
13．（3分）某公司的老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中青年人数为100，n = 300 ． 【解答】解：用分层抽样的方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查， 其中青年人数为100，
根据老年人、中年人、青年人的比例为2:6:4， 则
1004
264
n =
++， 解得300n =， 故答案为：300． 14．（3分）抛物线2
112
y x =
的焦点坐标为 (0,3) ． 【解答】解：抛物线2112
y x =
的标准方程为2
12x y =，则6p =，所以焦点坐标为(0,3)
故答案为：(0,3)．
15．（3分）已知偶函数()()f x x R ∈，其导函数为()f x '，当0x >时，2
1
()()0f x xf x x '++>，1(5)25f =
，则不等式21
()f x x
>的解集为 (-∞，5)(5-⋃，)+∞ ． 【解答】解：令1
()()g x xf x x
=-
， 当0x >时，21
()()()0g x f x xf x x
''=++>， ()g x 在(0,)+∞上单调递增．
因为()f x 是偶函数， 所以()g x 是奇函数． 因为f （5）125
=
， 所以g （5）5f =（5）1
05
-=．
()05g x x ∴>⇔>；()05g x x <⇔<-
不等式2
1()f x x >
等价于()
0g x x >，所以0()0x g x >⎧⎨>⎩或0()0x g x <⎧⎨<⎩
，解得5x >或5x <-． 故答案为：(-∞，5)(5-⋃，)+∞．
16．（3分）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是正方形11BB C C 的中心，M 为11C D 的中点，过1A M 的平面α与直线DE 垂直，则平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面
面积为
【解答】解：如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接MC ，CN ，1NA ，则平面1A MCN 即为平面α．证明如下：
由正方体的性质可知，1//A M NC ，则1A ，M ，C ，N 四点共面， 记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥，所以MC ⊥平面DEF ， 则DE CM ⊥．
同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =I ， 则DE ⊥平面1A MCN ，
所以平面面1A MCN 即平面α，且四边形面1A MCN 即平面α截正方体所得的截面．
因为正方体的棱长为2，易知四边形面1A MCN 是菱形，其对角线1AC =，MN =，
所以其面积1
222
326
2
S=⨯⨯=．
故答案为：26
三、解答题
17．某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2)，规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”．
表1：男生
时长[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]
人数2816842
表2：女生
时长[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25)[25，30]
人数04121284
（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面22
⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关．
每周运动的时长小于
15小时
每周运动的时长不小
于15小时
总计男生
女生
总计
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
参考数据：
【解答】解：（1）每周运动的时长在[20，25)中的男生有4人，在[25，30]中的男生有2人，
则共有2615C =个基本事件，
其中[25，30]中至少有1人被抽到的可能结果有112
4
229C C C +=g 个， 所以抽到“运动达人”的概率为
93
155
=． （2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人； 每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人． 可得下列22⨯列联表：
计算2
80(26241416)2000
6 6.63540404238399
K ⨯⨯-⨯==<<⨯⨯⨯，
所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关． 18．已知数列{}n a 满足
123123252525253
n n n
a a a a +++⋯+=----． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列11{
}n n a a +的前n 项和为n T ，证明：11226
n T <„． 【解答】（1）解：
123123252525253
n n n
a a a a +++⋯+=----，① 当1n =时，14a =．
当2n …
时，11111
25253
n n n a a ---+⋯+=
--，②
由①-②，得
35
2
n
n
a
+
=，
因为
14
a=符合上式，所以
35
2 n
n
a
+
=，
（2）证明：
1
14411
()
(35)(38)33538
n n
a a n n n n
+
==-
++++
4111111411
()()
3811111435383838
n
T
n n n
=-+-+⋯+-=-
+++
，
因为
11
3811
n
<
+
„，
所以
11
226
n
T<
„．
19．如图，在四棱锥P ABCD
-中，PC⊥平面ABCD，22
PC=，23
AB=，24
AD BC
==，90
DAB ABC
∠=∠=︒，点E为PD的中点．
（1）证明：CE AP
⊥．
（2）求点E到平面PAC的距离．
【解答】（1）证明：取CD的中点F，连接AF，PF．
在直角梯形ABCD中，23
AB=24
AD BC
==，90
DAB ABC
∠=∠=︒，
所以4
AC AD CD
===．
又因为F为CD的中点，所以AF CD
⊥．
因为PC⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，
所以PC AF
⊥，
又因为PC CD C
=
I，
所以AF⊥平面PCD，所以AF CE
⊥．
在直角PCD
∆中，22
PC=4
CD=，E，F分别为PD，CD的中点，
因为
2
2
PC CF
CD PC
==，所以PCD FCP
∆∆
∽，
所以CPF PDC ECD ∠=∠=∠， 所以CE PF ⊥．
又因为AF ，PF ⊂平面PAF ，AF PF F =I ， 所以CE ⊥平面PAF ，则CE AP ⊥．
（2）解：设点E 到平面PAC 的距离为h ，由（1）可知AF ⊥平面PCD ， 所以A PCE E PAC V V --=⇒11
33
PAC PCE hS AF
S ∆∆=g g ， 整理得1
42
2
h ⨯⨯g 1
2232222
=⨯⨯，
解得：3h =．
所以点E 到平面PAC 的距离为3．
20．已知函数()f x xlnx x =+，()x
x g x e =
． （1）若不等式2()()f x g x ax „对[1x ∈，)+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()1()f x x g x +->．
【解答】（1）解：由2()()f x g x ax „对[1x ∈，)+∞恒成立，化简可得1x lnx
a e +…
令1()x lnx m x e +=，则1
1
()x lnx x m x e --'=，因为1x …，所以11x
„，11lnx +…
， 所以()0m x '„，()m x 在[1，)+∞上单调递减，1
()(1)m x m e =„，
所以a 的最小值为1
e
．
（2）证明：要证()1()f x x g x +->，即1x x
xlnx e
+>，0x >， 两边同除以x 可得11x
lnx x e +
>．
设1()t x lnx x =+
，则21()x t x x
-'=， 在(0,1)上，()0t x '<，所以()t x 在(0,1)上单调递减，
在(1,)+∞上，()0t x '>，所以()t x 在(1,)+∞上单调递增．所以()t x t …（1）1=． 设1
()x
h x e =
，因为()h x 在(0,)+∞上是减函数，所以()(0)1h x h <=， 所以()()t x h x >，即()1()f x x g x +->．
21．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、
右焦点，直线23
b
y =与C 交于A ，B 两点，290AF B ∠=︒，且220
9
F AB S =V ．
（1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线PM ，PN ，MN ，OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k g 的值．
【解答】解：（1）
由题意不妨设(A ，2)3b
，B ，2)3b ，
则2(F A c =-u u u u r ，2
)3
b
，2(F B c =-u u u u r ，2
)3
b ．
290AF B ∠=︒Q ，∴2222254
099F A F B c a b =-+=u u u u r u u u u r g ，2245a b ∴=．
又11220
239F AB S b ==
V g
，a b ∴=g
a ∴=，2
b =，
故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设0(P x ，0)y ，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则0
OP y k x =．0OP MN k k +=Q ， 00MN y k x ∴=-
，设直线MN 的方程为00
(0)y
y x m m x =-+≠， 00
2
2
15
4y y x m x x y ⎧
=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得2222200000(45)105(4)0x y x mx y x x m +-+-=． P Q 在C 上，220
04520x y ∴+=，∴上式可化为22
200042(4)0x mx y x x m -+-=． 00122mx y x x ∴+=
，22201204m x x x x =-，△222
2004(416)0x m y m =-+>， 22
00012120(4)2()225
y m y mx y y x x m x -∴+=-++==，
22222222
000000121212120020000()()()(1)45
y y y my y m x y y x m x m x x x x m m y y x x x x =-+-+=-++=--=-，
2222222
22
0000001020120120
0022()()()555
m x mx y m x mx y y y y y y y y y y y y y -∴--=-++=--+=
， 2222000
1020120120
2()()()5
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=
， 102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --∴==--g g ．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为9,
(x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
为参数），以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2216
13sin ρθ
=
+．
（1）求C 和l 的直角坐标方程；
（2）已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离． 【解答】解：（1）由曲线C 的极坐标方程为22
16
13sin ρθ
=
+，得2223sin 16ρρθ+=，转换为直角坐标方程为22
1164
x y +=．
直线l
的参数方程为9,
(x t y t ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数）
，转换为直角坐标方程为90x --=．
（2）可知曲线C 的参数方程为4cos (2sin x y α
αα
=⎧⎨
=⎩为参数），
设(4cos ,2sin )P αα，则线段OP 的中点(2cos ,sin )M αα， 则(2cos ,sin )M αα到直
线90x --=的距离
为
d =
所以线段OP 的中点M 到直线l
． 23．设函数()|1||21|f x x x =++-． （1）求不等式()3f x …的解集；
（2）若()f x 的最小值为a ，且x y z a ++=，求222(1)(2)x y z ++++的最小值．
【解答】解：（1）3,11()|1||21|2,1213,2
x x f x x x x x
x x ⎧
⎪-<-⎪
⎪
=++-=-+-⎨⎪
⎪>⎪⎩剟 ()3f x Q …，∴当1x <-时，由33x -…
，解得1x <-； 当1
12
x -剟时，由23x -+…，解得1x =-； 当1
2
x >
时，由33x …，解得1x …． ∴所求不等式的解集为{|1x x -„或1}x …．
（2）由（1）知，当12x =
时，3
()2
min a f x ==， ∴3
2
x y z ++=
，2[(1)(2)]x y z ∴++++ 222(1)(2)2[(1)(2)(1)(2)]x y z x y x z y z =+++++++++++ 2223[(1)(2)]x y z ++++„， 由32x y z ++=
，可知281[(1)(2)]4
x y z ++++=， ∴22227
(1)(2)4
x y z ++++…
， 当且仅当311
,,222
x y z ===-时，等号成立．
222(1)(2)x y z ∴++++的最小值为
27
4
．。