第四讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应1

xi ( p, u ) xi ( p, e( p, u ).......(3.4)
h
引理3：
证明：设p p 0 , u u 0 , x h 表示p 0 .x h解决了e(.)的问题， 因此在u u 0时，p 0 .x h e( p 0u 0 )。由引理1， e( p 0u 0 ) e( p 0，v( p 0 , y 0 )) y 0，所以，x h解决了 ( p 0 , e( p 0 , u 0 )时的效用极大化问题。因此， x h xi ( p 0 , e( p 0 , u 0 )。 证毕。
第四讲 价格变化对消费者的配 置效应与福利效应
第一节 价格变化的替代效应与收入 效应
• 一、价格消费曲线与收入消费曲线（略） • PCC和ICC
二、替代效应和收入效应的图示
x2
x1 2 x x
0 2 s 2
Hale Waihona Puke Baidu

A C
B
o



p1
p10
1 p1
p10 0 p2
1 p1 0 p2
1 p1 0 p2
2、关于斯卢茨基补偿和希克斯补偿 的计算
• （1）斯卢茨基补偿 • 斯卢茨基补偿是在价格变动时，按照价格 发生变动前的消费量为基准，以消费者保 持相同的消费计划为目标，而对价格变动 后的消费者所实行的补偿。
•
• 设补偿金为 m ，价格变动向量为 p ( p , p ,..., p )， 则 m p.x 0 就行，这里， p 为价格变化向量， 0 • 为需求量在 p 0 时的向量。若只有 x p1 变化，则 m ( p p ).x
* x1
y 2 p1 y 2 p2 y 2p p
1 2 1 1 2 1 1 2 2
* x2
因此，间接效用函数为： v( p1 , p2 , y )
* * 如果我们用y= 2vp p 代入x1 与x2的表达式，则有 1 h x1
1 2 1
vp22 p
1 2 1 1 2 1 1 2 2
xh 2
1 2 n
1 1
0 1
0 1
• （2）希克斯补偿 • 希克斯补偿是以使消费者保持相同的效用 水平为目标所发放的补偿。 • 它意味着，价格变化之后，消费计划可以 变化，但可以达到以前一样的效用。
例1：如效用函数为u ( x1 , x2 ) x1 x2 , 如p 2不变(p 2 =1)， 收入y=2，p1由0.25上升到1，求希克斯补偿，并与 斯卢茨基补偿相比较。 解：利用效用函数最大化法则，求出该函数 的马歇尔需求函数，前面已求出为：
若p 0 .x 0 y 0，则与效用函数连续、递增以及效用最大 化相抵触，因消费者还可以用剩下的钱去购买更多的 物品，而且是不会厌足的。）。由引理1可知 e( p 0 , v( p 0 , y 0 )) y 0。或者等价地，e( p 0 , u 0 ) y 0。 由于u ( x 0 ) u 0 , 且p 0 .x 0 y 0，这意味着x 0解了( p 0 , u 0 ) 给定时支出最小e(.)的问题，而按希克斯需求函数的 定义，解决了e(.)问题的x则就是x h ( p 0 , u 0 )，所以 x 0 x h ( p 0 , u 0 )。于是x 0 x ( p 0 , y 0 ) x h ( p 0 , u 0 )。 证毕。
h

2、直接效应
• 斯拉斯基方程的两个组成部分，一部分说 明了价格水平变动对于商品需求量的影响， 另一部分说明了收入水平变动对于商品需 求量的影响。 x1 • 替代效应： ( p )u 总是负的，与价格变 1 x x ( ) 化的方向相反，而收入效应部分， w • 既可以是正向的，也可以是负向的。这就 要看商品的类别。
马歇尔需求曲线与希克斯需求曲线 的特征与原因
• 马歇尔需求曲线：比较平坦 • 原因:马歇尔需求曲线包含替代效应和收入 效应。 • 希克斯需求曲线：比较陡峭 • 只包含替代效应，所以希克斯需求只称为 补偿需求。
第二节 斯拉茨基公式
• 一、斯拉茨基公式的证明 • 定理：令x(p,y)为马歇尔需求，令u为消费者在 价格p与收入y的前提下达到的效用水平，则

1
1
p0
引理1： e( p, u* ) e( p, v( p, y )) y.....(3.2)
•
n 证明：固定（p, y ) R R ,由v( p, y )的定义知，如果
价格为p, 最大u可以由y保证，所以e( p, v( p, y )) y. 假定当u v ( p, y )时, e( p, u ) y。我们要证e( p, u ) y不 成立。设 u 为可达到（收入y保证的）的最大效用，由于 u (.)连续，e(.)连续，可以取 0，使得u u 。 且e( p, u ) y。让y e( p, u ),由v(.)定义知 v( p, y ) u 。由于y y, v是严格递增，所以 v( p, y ) v( p, y ) u 。但我们开始假定u v( p, y ), 这等于说u u 。矛盾。因此，e( p, v( p, y )) y。 证毕。
4, 要在p1变化后仍让消费者购买4单位 的x1 , 则斯卢茨基补偿为4 0.75 3。 可见，希克斯补偿比斯卢茨基补偿要小。
3、关于斯卢茨基公式的说明
xi ( p, y ) x h ( p, u ) x ( p, y) ( i ) x j ( p, y )( i ) p j p j y xi p j x j ( p, y )(


二、若干说明
• 1、对引理3的说明 • 引理3实质上讲了马歇尔需求函数与希克斯需求函 数之间的关系。 • 两者不等的原因： • （1）从数学公式上看，马歇尔需求函数是从有约 束的效用最大化问题推导出来的。 • 希克斯需求函数是根据谢泼德引理得到的。 • （2）从几何图形上看，马歇尔需求函数包括收入 效应和替代效应之和的全部总效应。 • 希克斯需求函数只是剔除了收入效应之后的替代 效应。
u 常量

xi ( p, y ) ).......(3.1' ) y
• 这右边第一项是 p j 变化对第 i 种商品需求量 的替代效应。如果无差异曲线凸向原点，则 xi • 替代效应 是正的。
p j
u 常量
• 原因是 p j 上升时， x j 下降，由于 xi 对 x j 是替代的，所以在同一条无差异曲线上 xi 会 上升，反之， p j下降，在同一条无差异曲线上xi • 会下降。
e( p, u ) x h ( p, u ) x h ( p, v ( p, y )).....(3.6) j j p j
又由公式（3.4)知x h ( p, u ) x j ( p, e( p, u )) x j ( p, y ), 所以 j e( p, u ) x j ( p, y )...(3.7) p j x h i ( p, u ) x ( p , y ) x ( p , y ) 从而, ( i ) i x j ( p, y )...(3.8) p j p j y 移项可得公式(3.1) xi ( p, y )) x h i ( p, u ) x ( p, y ) x j ( p, y ) i (i 1,..., n) p j p j y 证毕。
• • 公式（3.1)称为斯卢茨基公式。它表示价格p对x 的消费量的总效应等于替代效应与收入效应之 和。 • 为了证明公式（3.1），我们引入三个引理。
xi ( p, y ) x i ( p, u ) xi ( p , y ) ( ) x j ( p, y )( )......(3.1) p j p j y
• 两者相等的情形： • 在马歇尔需求函数曲线和希克斯需求函数曲线 相交的交点。 • 原因：这就是引理3的内容。
设交点是在u u 0，p p 0的时候, （如消费品
0 只有两类, p 0 p10 , p2 )。在这一点上，最优的消费 （
量x10必定是把收入y花尽并且等于e( p 0，u 0 )，即 y e( p 0，u 0 )。这就是说，在该交点，收入与( p 0，u 0 ) 相对应的最小支出e( p 0，u 0 )是相等的。 所以，xi h ( p 0 , u 0 ) xi ( p 0 , e( p 0，u 0））
公式（3.1)证明： 因为xi h ( p, u * ) xi ( p, e( p, u * )) （引理3），所以， 当p 0时，xi h (.)可以对x j的价格p j 求偏导，从而 x h i ( p, u ) x h i ( p, e( p, u )) x ( p , e( p, u )) e( p, u ) ( ) i . ...(3.5) p j p j y p j 由引理1 e( p, u ) e( p, v ( p, y )) y。 ， 再利用谢泼德引理即公式（2.9),由于u v ( p, y )，可知
x1

0 x1 ( p1 , p2 , u )
h 0 x1 ( p1 , p2 , u )
SE IE

o
x x x
0 1
s 1
1 1
x1
总效应的希克斯分解图形说明
• 运用希克斯的分解，对下图给出说明。 • 图形说明价格下降的总效应:
0 x1的总效应为： 1 x10 )，x2的总效应为： 1 x2 ) ( x1 ( x2 0 总效应的方向变化为： 1 x10 ) 0， 1 x2 ) 0 ( x1 ( x2 0 x1的替代效应为： 1s x10 )，x2的替代效应为： 2 x2 ) (x (xs 0 替代效应的方向变化为： 1s x10 ) 0， 2 x2 ) 0 (x (xs s x1的收入效应为： 1 x1s )，x2的收入效应为： 1 x2 ) ( x1 ( x2 s 替代效应的方向变化为： 1 x1s ) 0， 1 x2 ) 0 ( x1 ( x2

引理2
xi ( p, y ) xi h ( p, v( p, y))......(3.3)
证明：令x 0 x( p 0 , y 0 ), 并且u 0 u ( x 0 )，即当价格为p 0， 收入为y 0时消费者选择了x 0并且达到效用u 0。由于这是
0 最优选择，所以有v( p 0 , y 0 ) u 0。并且p 0 .x 0 y（否则，
• 不相等情形的经济含义和说明： • 无论是价格上涨还是下降，马歇尔需求函数包含 全部的价格变动的总效应，对于正常物品而言， 价格变动的总效应比较大，因为收入效应和替代 效应是同方向的。所以马歇尔需求曲线比较平坦。 • 而按照希克斯补偿原则，无论价格上涨还是下跌， 都应该实行相反的补偿。这样就会抵消了价格上 涨和下跌的部分效应，使得希克斯需求曲线 • 比较陡峭。
vp p
上述就是希克斯补偿需求函数，因为 现在需求取决于效用v，而不是收入y。 在v不变时，只随价格而变。
希克斯补偿
由于p10 0.25, p2 1, y 2, 所以v 2。 当p1从0.25上升到1时，x1h 会从4下降到2，
h x2 会从1上升到2。由于希克斯补偿后的 h h 支出必须保证让（x1 ,x2 )在新的价格水 h 平上收支平衡，即e=1 x1 ( p1 1, p2 2, v 2)
＋1 xh ( p1 1, p2 2, v 2)＝1 2＋1 2＝4， 2 而原来的收入只有2，所以，需要补偿4－2＝2。 因此，希克斯补偿为2。
斯卢茨基补偿
由于p1从0.25上升到1, 而p2不变,因此
* 0 p 1 0.25 0.75.而x1 ( p10 , p2 , y )为