《3.1.1变化率问题》教学案

3.1.1《变化率问题》教学案

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；

2．了解平均变化率的几何意义；

3．会求函数在某点处附近的平均变化率

4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.

教学重点：

1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；

2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 教学难点：

平均变化率的概念．

教学过程：

一、创设情景

(1) 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？

(2) 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．

让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习．

二．新课讲授

(一)问题提出

问题1气球膨胀率问题：

老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33

4)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数，那么343)(π

V V r =

分析: 343)(π

V V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时，气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(62.00

1)0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时，气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.01

2)1()2(L dm r r ≈-- 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？

问题2 高台跳水问题：

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在怎样的函数关系？

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.

)如何计算运动员的平均速度？并分别计算0≤t ≤0.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，

2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.

思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度

在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=

； 在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=

探究：计算运动员在49

650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()49

65(h h =， 所以)/(0049

65)0()4965(

m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤

≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

(1)让学生亲自计算和思考，展开讨论；

(2)老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.

(3)得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；

(二)平均变化率概念:

引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.

1．上述问题中的变化率可用式子

1212)()(x x x f x f --表示， 称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率

2．若设12x x x -=∆， )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2，同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)

3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111

212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？ (1) 师生一起讨论、分析，得出结果；

(2) 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δ

x =x 2-x 1；②求函数的增量Δf =f (x 2)-f (x 1)；③求平均变化率2121

()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；

②x 2= x 1+Δx ；③Δf =Δy =y 2-y 1；

三．典例分析

例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆x

y ________． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-， ∴x x

x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2．求2x y =在0x x =附近的平均变化率.

解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆2

020)( x x x

x x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 所以2x y =在0x x =附近的平均变化率为x x ∆+02

四．课堂练习

1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为 __________． 2.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动，求在4s 附近的平均变化率.

3.过曲线y =f (x )=x 3上两点P (1，1)和Q (1+Δx ，1+Δy )作曲线的割线，求出当Δx =0.1时割线的斜率.

五．回顾总结

让学生进行课堂小结.

(1) 随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢，即随着气球体积的增大，比值气球膨胀率越来越小；

(2) 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态；

(3) 函数的平均变化率的概念 ；

(4) 求函数的平均变化率的步骤；

(5) 课后思考问题：需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态，那么该量应如何定义？

(6) 思考问题方法：从实际生活到数学语言，数学概念．