弹簧类问题的求解

弹簧类问题的求解
由于涉及到的弹簧弹力是变力，学生往往对弹力大小和方向的变化过程缺乏清晰的分析，不能建立与之相关的物理模型，导致解题思路不清、效率低下，错误率较高。

下面我们归纳六类问题探求解法。

一、“轻弹簧”类问题
在中学阶段，凡涉及的弹簧都不考虑其质量，称之为"轻弹簧"，是一种常见的理想化物理模型。

由于“轻弹簧”质量不计，选取任意小段弹簧分析，其两端所受张力一定平衡，否则，这小段弹簧的加速度会无限大。

故：轻质弹簧中各部分间的张力处处相等，均等于弹簧两端的受力。

弹簧一端受力为F ，另一端受力一定也为F 。

若是弹簧秤，则弹簧秤示数为F 。

例1、如图所示，一个弹簧秤放在光滑的水平面上，外壳质量m 不能忽略，弹簧及挂钩质量不计，施加水平方向的力F 1、F 2，且F 1>F 2则弹簧秤沿水平方向的加速度为 ，弹簧秤的读数
为 .
分析与解 以整个弹簧秤为研究对象：利用牛顿运动定律
12F F ma -= ∴12F F a m
-= 仅以轻质弹簧为研究对象：则弹簧两端的受力都是F 1，所以弹簧秤的读数为F 1 说明 F 2作用在弹簧秤外壳上，并没有作用在弹簧左端，弹簧左端的受力是由外壳内侧提供的。

二、弹簧弹力瞬时问题
因弹簧（尤其是软质弹簧）其形变发生改变过程需要一段时间，在瞬间内形变量可以认为不变。

因此，在分析瞬时变化时，可以认为弹力大小和方向不变，即弹簧的弹力瞬间不突变。

例2、如图所示，木块A 与B 用一轻弹簧相连，竖直放在木块C
上，三者静置于地面，A 、B 、C 的质量之比是1∶2∶3．设所有接触
面都光滑，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，木块A 和B 的加速
度分别是a A =____ ，a B =____
分析与解 由题意可设A 、B 、C 的质量分别为m 、2m 、3m
以木块A 为研究对象，抽出木块C 前，木块A 受到重力和弹力一
对平衡力，抽出木块C 的瞬时，木块A 受到重力和弹力的大小和方向均没变，故木块A 的瞬时加速度为0
以木块AB 为研究对象，由平衡条件可知，木块C 对木块B 的作用力F cB =3mg 以木块B 为研究对象，木块B 受到重力、弹力和F cB 三力平衡，抽出木块C 的瞬时，木块B 受到重力和弹力的大小和方向均没变，F cB 瞬时变为0，故木块C 的瞬时合外力为竖直向下的3mg 。

瞬时加速度为1.5g
说明 区别不可伸长的轻质绳中张力瞬间可以突变
三、弹簧长度的变化问题
设劲度系数为k 的弹簧受到压力为－Ｆ1时压缩量为－ｘ1，弹簧受到拉力为Ｆ2时伸长量为ｘ２，此时的“－”号表示压缩的含义。

若弹簧受力由压力－Ｆ１变为拉力Ｆ２，弹簧长度将由压缩量－ｘ１变为伸长量为ｘ２，长度增加量为ｘ１＋ｘ２
由胡克定律有： Ｆ２＝ｋｘ２ －Ｆ１＝ｋ（－ｘ１）
∴Ｆ１－（－Ｆ２）＝ｋ［ｘ１－（－ｘ２）］ 即： △Ｆ＝ｋ△ｘ
说明弹簧受力的变化与弹簧长度的变化也同样遵循胡克定律，此时△ｘ表示的物理含义是弹簧长度的改变量，并不是形变量。

例３、如图所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧两端分别与质量为m 1、
m 2的物块1、2拴接，劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端
压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态.现施力将物块1缓慢地竖
直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面.在此过程中，物块2的重力
势能增加了______，物块1的重力势能增加了________.
分析与解 由题意可知：弹簧ｋ２长度的增加量就是物块２的高度增
加量，弹簧ｋ２长度的增加量与弹簧ｋ１长度的增加量之和就是物块１的高
度增加量，
由物体的受力平衡可知：弹簧ｋ２的弹力将由原来的压力（ｍ１＋ｍ２）ｇ变为０；弹簧ｋ１的弹力将由原来的压力ｍ１ｇ变为拉力ｍ２ｇ，弹力改变量也为（ｍ１＋ｍ２）ｇ。

所以１、２弹簧的伸长量分别为11k （m 1+m 2）g 和2
1k （m 1+m 2）g 故物块2的重力势能增加了2
1k m 2（m 1+m 2）g 2， 物块1的重力势能增加了（
1211k k +）m 1（m 1+m 2）g 2 四、弹力变化的运动过程分析
弹簧的弹力是一种由形变而决定大小和方向的力，当题目中出现弹簧时，要注意弹力的大小与方向时刻要与当时的形变相对应。

在题目中一般应从弹簧的形变分析入手，先确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出形变量x 与物体空间位置变化的几何关系，分析形变所对应的弹力大小、方向，弹性势能也是与原长位置对应的形变量相关。

以此来分析计算物体运动状态的可能变化
结合弹簧振子的简谐运动，分析涉及到弹簧物体的变加速度运动，往往能达到事半功倍的效果。

此时要先确定物体运动的平衡位置，区别物体的原长位置，进一步确定物体运动为简谐运动。

结合与平衡位置对应的回复力、加速度、速度的变化规律，则很容易分析物体的运动过程
例4、如图所示，质量为m 的物体A 用一轻弹簧与下方地面上质量也为m 的物体B 相连，开始时A 和B 均处于静止状态，此时弹簧压缩量为x 0，一条
不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连接物体A 、另一端C 握在手中，
各段绳均处于刚好伸直状态，A 上方的一段绳子沿竖直方向且足够
长。

现在C 端施水平恒力F 而使A 从静止开始向上运动。

（整个过
程弹簧始终处在弹性限度以内）
（1）如果在C 端所施恒力大小为3mg ，则在B 物块刚要离开地
面时A 的速度为多大？
（2）若将B 的质量增加到2m ，为了保证运动中B 始终不离开
地面，则F 最大不超过多少？
分析与解 由题意可知：弹簧开始的压缩量0mg x k
=，在B 物块刚要离开地面时弹簧
的伸长量也是0mg x k = （1）若F=3mg ，在弹簧伸长到x 0时，B 开始离开地面，此时弹簧弹性势能与施力前相等，F 所做的功等于A 增加的动能及重力势能的和。

即
2002
122mv x mg x F +⋅=⋅ 可解得：022gx v = （2）所施力为恒力F 0时，物体B 不离开地面，类比竖直弹簧振子，物体A 在竖直方向上除了受变化的弹力外，再受到恒定的重力和拉力。

故物体A 做简谐运动。

在最低点： F 0－mg+kx 0=ma 1
式中k 为弹簧劲度系数，a 1为在最低点A 的加速度。

在最高点，B 恰好不离开地面，此时弹簧被拉伸，伸长量为2x 0，则：
K （2x 0）+mg －F 0=ma 2
考虑到： kx 0=mg 简谐运动在上、下振幅处 a 1=a 2
解得：F 0=2
3mg 也可以利用简谐运动的平衡位置求恒定拉力F 0。

物体A 做简谐运动的最低点压缩量为x 0，最高点伸长量为2x 0，则上下运动中点为平衡位置，即伸长量为
02x 所在处。

由： 002x mg k F += 解得：F 0=2
3mg 说明 区别原长位置与平衡位置。

与原长位置对应的形变量与弹力大小、方向、弹性势能相关；与平衡位置对应的位移量与回复大小、方向、速度、加速度相关。

五、与弹簧相关的临界问题
通过弹簧相联系的物体，在运动过程中经常涉及到一些临界极值问题：如物体速度达到最大；弹簧形变量达到最大时两物体速度达到相同；使物体恰好要离开地面；相互接触的物体恰好要脱离等等。

此类题的解题关键是利用好临界条件，得到解题有用的物理量和结论
例5、如图所示，A 、B 两木块叠放在竖直轻弹簧上，已知木块A 、B 质量分别为0.42 kg 和0.40 kg ，弹簧的劲度系数k =100 N/m ，若在木块A 上作用一个竖直向
上的力F ，使A 由静止开始以0.5 m/s 2的加速度竖直向上做匀加速运动
（g =10 m/s 2）.
（1）使木块A 竖直做匀加速运动的过程中，力F 的最大值；
（2）若木块由静止开始做匀加速运动，直到A 、B 分离的过程中，弹
簧的弹性势能减少了0.248 J ，求这一过程F 对木块做的功。

分析与解
此题难点和失分点在于能否通过对此物理过程的分析后，确定两物体分离的临界点，即当弹簧作用下的两物体加速度、速度相同且相互作用的弹力 N =0时 ,恰好分离.
当F =0（即不加竖直向上F 力时），设A 、B 叠放在弹簧上处于平衡时弹簧的压缩量为x ，有
A B A B m +m g kx=(m +m )g x k
()即 = ① 对A 施加F 力，分析A 、B 受力如右图所示 对A A A F+N-m g=m a
② 对B ''B B kx -N-m g=m a
③
可知，当N ≠0时，AB 有共同加速度a =a ′，由②式知欲使A 匀加速运动，随N 减小F 增大.当N =0时，F 取得了最大值F m ,
即m A F =m (g+a)=4.41 N
又当N =0时，A 、B 开始分离，由③式知， 此时，弹簧压缩量B B m (a+g)kx'=m (a+g) x'=
k ④ AB 共同速度 2 v =2a(x-x')
⑤ 由题知，此过程弹性势能减少了W P =E P =0.248 J
设F 力功W F ，对这一过程应用功能原理
2F A B A B p 1W =( m +m )v +(m +m )g(x-x')-E 2
⑥
联立①④⑤⑥，且注意到E P =0.248 J 可知，W F =9.64×10-2 J
六、弹力做功与弹性势能的变化问题
弹簧弹力做功等于弹性势能的减少量。

弹簧的弹力做功是变力做功，求解一般可以用以下四种方法：1、因该变力为线性变化，可以先求平均力，再用功的定义进行计算；2、利用F －ｘ图线所包围的面积大小求解；３、用微元法计算每一小段位移做功，再累加求和；４、据动能定理和能量转化和守恒定律求解。

由于弹性势能仅与弹性形变量有关，弹性势能的公式高考中不作定量要求，因此，在求弹力做功或弹性势能的改变时，一般以能量的转化与守恒的角度来求解。

特别是涉及到两个物理过程中的弹簧形变量相等时，往往弹性势能的改变可以抵消，或替代求解。

例６、如图所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，小物块A 和B 大小可忽略，它们分别带为+Q A 和+Q B 的电荷量，质量分别为ｍＡ和ｍＢ。

两物块由绝缘的轻弹簧相连，一个不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另一端连接轻质小钩。

整个装置处于场强为E 、方向水平向左的匀强电场中，A 、B 开始时静止，已知弹簧的劲度系数为k ，不计一切摩擦及A 、B 间的库仑力，A 、B 所带电荷量保持不变，B 不会碰到滑轮。

（1）若在小钩上挂质量为M 的物块C 并由静止释放，可使物块A 对挡板P 的压力恰 为零，但不会离开P ，求物块C 下降的最大距
离ｈ
（2）若C 的质量为2M ，则当A 刚离开挡
板P 时，B 的速度多大？
分析与解
通过物理过程的分析可知：当A 刚离开挡板P 时，弹力恰好与Ａ所受电场力平衡，弹簧伸长量一定，前后两次改变物块Ｃ质量，在第２问对应的物理过程中，弹簧长度的变化及弹性势能的改变相同，可以替代求解。

设开始时弹簧压缩量为x 1
由平衡条件：B EQ kx =1 可得1B EQ x k =
① 设当A 刚离开档板时弹簧的伸长量为2x ：
由：A EQ kx =2 可得k
EQ x A =2 ②
故C 下降的最大距离为： 21x x h += ③
由①—③式可解得 )(A B Q Q k
E h += ④ （2）由能量转化守恒定律可知：C 下落h 过程中，C 重力势能的减少量等于B 电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和
当C 的质量为M 时： 弹E h E Q mgh B ∆+⋅= ⑤
当C 的质量为2M 时，设A 刚离开挡板时B 的速度为V 2)2(212V m M E Eh Q Mgh B B ++∆+=弹 ⑥
由④—⑥式可解得A 刚离开P 时B 的速度为： )
2()(2B B A m M k Q Q MgE V ++= ⑦ 说明 研究对象的选择、物理过程的分析、临界条件的应用、能量转化守恒的结合往往在一些题目中需要综合使用。

另外，有关弹簧的串、并联和弹性势能的公式，高考中不作定量要求，这里不再说明。