满意度数学建模概要

s.t
min h
0 h hkj
W
r h
hkj
kj
(r ) bkj
* kj
第二步，如果 h 0 ，这 表明，此时刻的所有人都可以上车， 因此这个时候该车站上，第k 辆车 实际新上车的的乘客人数为
Pkj Wkj (h)
第三步，如果 h 0 ，表明此时 车站上的所有乘客并不能够都上车， 必然要留下一部分人，因此这个时候， 新上车的人数就是原来车上尚余的最 Pkj ，同时显然 bkj 大的空间，既： 这个时候，余下的人中第k+1辆车到 达车站以后，还没有上车的人中等车 趟数的最大值应当是：
试根据这些资料和要求，为该线 路设计一个便于全天操作的公交车调 度方案，包括两个起点站的发车时刻 表；一共需要多少车； 这个方案以怎样的程度照顾到了 乘客和公交公司的利益．
如何将这个调度问题抽象成 一个明确的、完整的数学模型， 指出求解模型的方法；根据实际 问题的要求，如果设计成一个更 好的调度方案，应如何采取运营 数据。
对于形成的多个满意度指标，需要将它们合 成一个总的指标。而这种综合方法最常用的就是 层次分析法，利用层次分析建立不同指标在总满 意度目指标下的权重大小，然后再利用这些权重 进行线性加权，构成总的满意度指标。
• 在形成指标体系时，有时还要对人群进行 不同的分类，因为在形成分指标时，不同 的人群的满意度标准不一样，因此经常要 进行某些因子的调节。 • 满意度的定义方式可以多种多样，经常用 函数形式来表示针对考察对象的某个方面 的满意度,函数的形式可以是多种多样的, 有时可以是分段函数.
刻记为：
Tkj
Tkj Tk1
j 2,...n 1
2
９、第k辆车驶离j站的时侯该车上的 Pk (Tkj )
人数，记为：
k=1,2,…,m ; j=1,2,…,n-1
１０、 Wkj (0) 表示从Tk 1, j到 Tk , j 时段 上的来客数；
Wkj (h) 表示第k辆车驶到j站时，该站上
^
pk (Tkj )
交通平峰时段候车的超时率为：
OverW （ 2 T）
W
OverW （ 2 T）
Tkj [T 1 ,T2 ]
^ ^
kj
(h) WTkj (h) 10, h 1,...,hkj

p (T
k TkjT [T 1 ,T2 ]
^ ^
kj
)
满载率低于50%的段数的百分比为
交通高峰时段候车的超时率为
高峰时段的候车超过 5分钟的总人数 高峰时段上车的总人数
记为： OverW （ 1 T）
OverW （ 1 T）
Tkj[T 1 ,T2 ]
^ ^
Wkj (h ) WTkj (h ) 5, h 1,...,hkj

^
TkjT [T 1 ,T2 ]
min C .OverW1 (T ) .OverW2 (T ) .Cap.low(T )
T
求
T (T0 , T1 ,.. Tk .,Tm )
min C .OverW1 (T ) .OverW2 (T ) .Cap.low(T )
T
其中 , , 是给定的权重， 反映的是对三个目标的重视程度
^
５、每辆车的载客量：B；载客的上限
６、交通高峰时刻等待时间的上界， 交通的平峰时刻等待时间的上界
__
t
t
７、发车时刻表：T
(T0 , T1 ...,Tk ,...,Tm )
T0
Tk
，
表示第一辆车到达起点站j=1的时刻 表示的是第k辆车驶离起 点站j＝１的时刻，k=1,2,…m
j 1
８、第k辆车驶离j站的时
有关数据
问题分析：
问题的目标是确定公交车的调度方 案，给出公交车全天的运行时刻发车表， 并确定需要的车数，分析乘客和公交公 司的满意程度．实际上就是要确定出使 得乘客和公交公司都满意的最佳方 案．根据题目的意义可知，公交车的调 度方案就是驶发车站每一次车的发车时 刻表，只要发车时刻定下来以后，每一 辆车的运行情况就会完全确定下来．
模型三
超时率和载客率的计算模型
第 k辆车到达j站时，该站 上已经等候h趟车的乘客的人数是： Wkj (h), h 1,2,...,hkj 他们已经等候的时间是：
WTkj (h) Tkj Tk h , j , h 1,2,...,hkj
^ ^
记交通的高峰时期为 [T1 , T2 ] ，而 整个时段为 [T1 , T2 ]
符号说明：
１、车站标记：j=1,2,…,n; 共n个车站 ２、来客的密度：在时刻t到达j站的 乘客的密度为
u j (t ), j 1,2,...,n
３、下车乘客的密度：在时刻t 从车
站j 下车的乘客的密度
d j (t ), j 1,2,...n
４、站间的行车时间： j ,
j 2,3,...,n
该条公交线路共上行共14站，下 行方向共13站，下面给出的是一个典 型工作日中两个运行方向的各个站上 下车的乘客数量统计。公交公司配给 该线路同一型号的大客车，每辆的标 准载客是100人，客车的平均运行速 度是20公里/小时。根据运营的要求， 乘客候车的时间一般不要超过10分钟， 早高峰时一般不要超过5分钟，而车 辆的满载率120%，一般也不要低于 50%
等待过h辆车仍然未能上车的乘客数;
hkj 表示第k辆车驶到j站时，该站上等待时间
最久的乘客的候车趟数。 显然有
Wkj (hkj ) 0, Wkj (hkj 1) 0,
11、
a kj
：表示第k辆车驶到j站时，
等到该站的乘客下完车以后，车上仍然
留下的乘客数。 计算公式为：
Tkj
akj max{Pk (Tk , j 1 ) d j (t )dt ,0}
模型假设：
为了计算和分析方便起见，需要对于 问题的背景、条件等做出适当的简化、 规范，使得我们能够较好地反映出实际 的状况，建立起适当的数学模拟形式， 能够方便地进行计算和求解。 １、该公交线路是双停车场，晚上公交 车集中停放在两个发车场。
２、公交车在路上运行速度正常， 不考虑路上的堵车，以及在各个站上 的耽搁时间，２０公里／小时的速度 是全天的平均运行速度。 ３、乘客到达各个车站的时间分布是 均匀的，即假设在局部时间段上，乘 客到达每个车站的人数分布密度是均 匀的。 ４、乘客在每个车站下车的人数，在 局部时间段上是均匀的。
Baidu Nhomakorabea 模型计算
本问题属于无约束最优化问 题，可以用诸如数值微分等方法 计算。也可以用离散化的计算方 法，根据问题的实际背景，通过 仅考虑决策变量的部分特殊的、 符合实际的离散化的状态，再从 中选择较优的方案。
将上行和下行两个运行方向的运营 分开分别计算，求出两个方向各自在一 个运行周期中的所有的发车的时间表、 发车的次数，求出可能的发车次数以后， 再进行配车，将发车次数的计算与车辆 的陪给数分开计算是合理和必要的。只 要知道了一天要运行的次数，就能够求 出所用的车辆数。这也是运输问题建模 的重要的方法。
二是由人们主观上对于相应方案的喜 好、审美、心理因素、能够接受的极限以 及中立的标准等反映出来的特征、规律决 定的体系。
这里关键是个人或者某个群体对于某 种状态、特征、表现、行为、规模、机会 等的接受标准、喜好尺度的判定。两方面 的结合，形成了相应的满意度数量指标。
满意度指标体系往往由多个指标所组成,因为 一个系统或过程本身涉及到多方面的特征,而主观 上人们又可能关心多个方面的属性\特点,并根据 综合指标进行最后的判断。
Cap _ low(T )
=
满载率低于50%的段数 发车次数 （车站数 1）
Pk (Tkj ) 0.5 1 B Cap _ low(T ) m (n 1)
模型四 优化模型
为了使得公交公司与乘客都满意，就要保证在 所选的方案中，乘客等车时间超过上限的人次数 尽量最小；同时也要保证公交公司的车辆的不满 50%的段数尽量地小，显然用段数作为计量的单位 是必要的，因为人数的变化、车辆的满载状况是 在每个段上衡量的。当然这里并不关心总的等车 的时间，而关心的是等车超过上限时间的次数， 这也是表现等车的基本的数量信息。为了构造满 意度模型，我们可以用比率模型来表示，而不是 用实际等车的时间数来表示。
* kj
hkj
h 0
hk 1, j h 1
* kj
并且有递推数量关系：
Wk 1, j (h 1) Wk , j (h) h 0,1, ,...,h 1
* kj
Wk 1, j (h 1)
* kj
* h hkj
W
hkj
kj
(h) bkj
即这个时候的第k+1辆车到达该站时 * 已等候车数 hkj +1的人数，就是刚上了 上辆车后，已经上车后剩下的人中原 * 来已经等了 h 辆车的人数，这个数 kj 就是 ， h
* h hkj
Wkj (h) bkj
kj
所以可以计算出关键的数据：第k 辆车驶离j站时该车上的乘客数量为：
hkj hkj * akj Wkj (h), hkj 0, Wkj (h) bkj h 0 h 0 Pk (Tkj ) akj Pkj hkj ___ * B , hkj 0, Wkj (h) bkj h 0
满意度指标的构成方法
1、比值法 2、心理曲线法
3、满意度函数法
4、等级量化法
满意度数学模型方法
1、数学规划法
2、多目标优化法
公 交 车 调 度 模 型
CUMCM2001B
公共交通是城市交通的重要组 成部分，做好公交车的调度对于完 善城市交通环境、改进市民出行状 况、提高公交公司的经济和社会效 益，都具有重要的意义。下面考虑 一条公交线路上的公交车的调度问 题，其数据来自于我国一个特大城 市，某条公交线路上的客流调查和 运营资料。
满意度数学建模
青岛理工大学 理学院
胡京爽
满 意 度 数 学 建 模
以满意度为目标的优化决策或评 价模型,称之为满意度数学模型.
通过引入表现满意度特征的数量 指标,建立相应的决策数学模型,给出 符合满意度要求的解决问题的方案, 称之为满意度数学建模.
满意度数量指标
从决策方案涉及到的对象体系、系统、 过程中提炼出来的，能够与人们主观上是否 满意相一致的数量指标体系，称之为满意度 指标，用S表示，它是决策方案的函数. 这种指标是由两个方面决定的：一是决 策方案本身固有的、能够反映其突出特征的 数值，是由方案本身涉及到的对象、过程、 因素、属性等构成的泛函；
Tk 1 , j
bkj 表示第k辆车驶到j站 １２、 后，等到该站的乘客下完后，j站 可容纳的上车乘客的人数的上界， ___ 显然有： b Ba
kj kj
１３、Pkj 表示第k辆车驶到第 j站后，该车上实际上车的人数
模型建立
模型一 一段时间内公交车上下车的乘 客数计算模型 第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j站 的时间段内，该站上乘客来到的人数 为： T Wkj (0) u j (t )dt ,
我们关心的是：乘客和公交公司的 满意度，就是等候超过正常的等候时间 的状况，等候的时间越短满意度越大， 或者用超时等候的人数来表现满意度； 而对于公交公司来说，关心的主要是车 的满载率，他们的满意程度可用公交车 的载客率来表示，实际上载客率越高， 所用的车数越少，公交公司越满意．
因此，解决问题的关键在 于当发车时刻表确定以后，根 据已知的各种条件，确定出每 一辆车运行过程中，在每一个 站上，乘客的等车时间；在每 个运行区间上汽车的上座率， 根据这样的数据来计算乘客和 公交公司的满意程度，并从中 选出最好的方案来。
k,j
Tk 1 , j
第k-1辆车驶离j站到第k辆车驶到j 站的时间段内，该站上乘客下车人数 为：
Tk , j
Tk 1, j
d ( t ) dt , j
模型二
第k辆车驶离j站时该车上
的乘客数量
第一步，按照先到先上车的原 则，确定在j站的正在等待的乘客 中，当第k+1辆车到达车站时，除 了能够上车的乘客以外，仍然还 要继续等待的车辆数的最大值记 * 为 hkj ，这个数满足下面的问题