控制测量学1绪论

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（3）：重力位
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当重力方向与l平行时
dl dW g
（1-20）
由于同一等位面上g不相同，所以dl不会为常数，也不会为0，说明水
准面之间既不平行，也不相交和相切。
引力位函数为调和函数，离心力位、重力位函数不是调和函数。
重力采用重力加速度的量纲伽（Gal），单位cm·s-2；地面点重力近似 值980Gal，赤道重力值978Gal，两极重力值983Gal。
在确定参数a、α时，要满足全球n 范围的大地水准面差距N的平方和最小：
N 2 min
（1-21）
i 1
确定总椭球需要综合天文大地测量、重力测量、空间卫星测量等资料
完成。总椭球与某一国家或地区大地水准面的符合程度不一定优于参考
椭球。
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（4）：我国先后采用的坐标系统 ①1954北京坐标系； ②1980西安坐标系 ③国家2000坐标系统。 坐标系统不断优化的方向是：坐标系的原点由参心向质心变化，，椭
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（2）：引力与离心力
A.引力
引力F是由地球形状及其内部质量分布决定的。
假设地球是一个质量分布均匀的圆球，M是地球质量，m是质点质 量，f是万有引力常数，r是质点到地心的距离。则质点受到的引力将 指向地心，其大小根据万有引力定律：
F
f
• M•m r2
单位质点：
F f M r2
地球引力常数：fM=398 600km3/s2
参考椭球面理论是与定位区域大地水准面吻合最好旋转椭球面。 参考椭球参数一般采用长半径a、扁率α，或者长半轴a，短半轴b。
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（3）：总的地球椭球
为研究全球性测量问题，就需要一个和整个大地体最为密合的总的地 球椭球。
总椭球的中心和地球质心重合，短轴与地球地轴相重合，起始大地子
午面和起始天文子午面重合，同时还要求总椭球和大地体最为密合，即
基元分体（dmi）位函数的dVi（i=1,2,
…
，n）之和，因此有
dm
V dV f •
(M )
(M) r
（1-15）
式中：r为地球单元质量dm至被吸引的单位质量的距离，积分沿整个地球
质量（M）积分。
根据（1-13）式和（1-15）式有
W f • dm 2 (x2 y2 )
r2
（1-16
• 控制测量学的基本任务和主要内容（掌握） • 地球重力场的基本知识（了解） • 控制测量的基准面和基准线（掌握） • 控制测量的现状与发展概况（了解）
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（1）：基本任务 控制测量的基本任务是建立定位参照系统，实际上就是在定位范
围内，布设一系列测量标志，精确测定标志中心的位置。 在一定区域内，按测量任务所要求的精度，测定一系列地面标志
测量工作中，整平仪器都是根据重力作用完成，所以实际上外业测量 的基准线和基准面是测站处的铅垂线和水准面。
由于水准面既不平行也不相交，所以严格讲两点是不一样的。
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（2）：内业计算的基准面和基准线 由于地球形状不规则，质量分布均匀，因而铅垂线指向和大地水准面
形状都不规则，难以用一个简洁的数学表达式描述出来，所以建立覆盖 广大区域定位参照系统时，铅垂线和水准面不能作为内业数学计算的基 准面和基准线。
对其坐标分量x，y的偏导数在数值上和（1-11）是相等而符号相反，因此
得出离心力位函数：
Q 2 (x2 y2)
2
（1-13）
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（3）：重力位 重力是引力和离心力的合力，因而重力位就是引力位V和离心力位Q之和
W=V+Q
（1-14）
由于位函数是个标量函数，所以地球总体的位函数应等于组成其质量的各
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（1）：概述 1.地球空间任意一质点，都受到地球引力和由于地球自转产生的离
心力作用，他们的合力称为重力。 2.处处与重力方向（铅垂线方向）垂直的面称为水准面。水准面是
水准等位面，在地球引力范围内有无数个水准面，假设通过平均海水 面的水准面，称为大地水准面。
3.在大地测量范畴，重力场的研究和测量对研究地球形状和大小， 野外观测值的归算处理、空间探测器的发射与控制等工作具有重要意 义。
测定控制点平面位置
测定控制点高程位置 全国范围
在工程和城市 建设区域
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（2）：主要内容 作为控制测量服务对象的工程建设工作，大体可分为三个阶段：设
计、施工和运营。 1.在设计阶段建立用于测绘大比例尺地形图的测图控制网。 2.在施工阶段建立施工控制网。 3.在工程竣工后的运营阶段，建立以监视建筑物变形为目的的变形
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（3）：重力位
同理，重力位对坐标分量的偏导数等于重力在各个坐标轴方向的重力
加速度
gx
W x
V x
Q x
gx
W x
V x
Q x
gx
W x
V x
Q x
（1-17）
重力加速度在质点为单位质点时，也等于该方向的分力。
各坐标轴方向重力加速度（分力）的模：
g
式（1-10）表明：位函数对某一方向的导数，数值上等于该方向的加速度
值。由于向径r可以直角坐标（x，y，z）表示，所以可进一步得出：一质点
引力位对其坐标分量的偏导数，等于质点在坐标轴方向加速的负值（方向相
反）。
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（3）：引力位与离心力位
B.离心力位
由图1-1可知，质点坐标可用质点向径r，地心纬度φ及经度λ表示为
观测专用控制网。
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（2）：主要内容 把控制测量学的基本科学技术内容概括如下： 1.研究建立和维持高科技水平的工程和国家水平控制网和精密水准
网的原理和方法，以满足国民经济和国防建设以及地学科学研究的需 要。
2.研究获得高精度车辆成果的精密仪器和科学的使用方法。 3.研究地球表面测量成果向椭球及平面的数学投影变换及有关问题 的测量计算。 4.研究高精度和多类别的地面网、空间网及其联合网的数学处理的 理论和方法、控制测量数据库的建立及应用等。
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（1）：测量外业的基准面和基准线 由于海洋面积占地球总面积的71%，所以设想与平均静止海水面重合，
并延伸到大陆下面处处与铅垂线相垂直的水准面称为大地水准面。 由于大地水准面的形状和地球自然表面的形状，所围成的大地体和地
球大小非常接近，所以测量上选取大地水准面作为外业测量的基准面， 与之垂直的铅垂线作为基准线。
x=rcos φ cos λ， y=rcos φ sin λ， z=rsin φ （1-11）
地球自转仅仅引起经度变化，由于它对时间的一阶导数等于地球自转角速 度 ω时，继续求二阶导数
x”=- ω2x
y”=- ω2y
（1-12）
z”=0
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（3）：引力位与离心力位
B.离心力位
由图1-1可知，x，y是质点在随地球旋转时变化的两个坐标分量，其对时 间的二阶偏导数就是单位质点离心加速度在两坐标轴方向的两个分量。
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（1）：空间测量技术给控制测量学注入了新的活力，促使控制测量学进 入生机勃勃发展的新时期
全球卫星导航系统（GNSS）：中国的北斗卫星导航系统、美国全球定 位系统（GPS）、俄罗斯全球导航卫星系统（GLONASS）、欧盟伽利略 （Galileo）。
其他有关空间定位技术的发展情况：法国正在发展卫星多普勒定轨和无 线电定位系统DORIS（Doppler Orbitography and Radiopositioning Intergrated by Satellite）；甚长基线干涉测量VLBI（Very Long Baseline Interferometry）；惯性测量系统INS（Inertial Navigation System）。
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（2）：引力与离心力
C.重力
重力g向量等于地球引力向量F及离心力向量P的和向量，即
g F P
（1-5）
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（3）：引力位与离心力位
A.引力位
假如两个质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr，那么必须做
功
M •m
dA f • r 2 • dr （1-6）
dA在数值上等于引力位能的减少，所以对上式积分后得出位能
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（1）：基本任务 建立覆盖一个国家或地区广大区域的参照系统属于大地测量范畴，
建立服务于大型工程和城市建设的定位参照系统，则属于工程控制测 量范畴。
本教材的内容体系定位于工程控制测量范畴。
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（1）：基本任务
按定位
控
类型分
制
测
量
分
类
按定位
区域分
平面控制测量 高程控制测量 大地控制测量 工程控制测量
所以在内业计算时，是采用一个形状规则的数学椭球面，来作为建立 广大区域坐标系统的基准面，采用椭球面的法线作为基准线。
为方便计算，规则椭球面采用旋转椭球面，即由长半轴a、短半轴b确 定的椭圆，绕短半轴旋转而形成的椭球体面。
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（2）：内业计算的基准面和基准线 确定旋转椭球体要求与大地水准面包围的地球体（称为大地体）尽可
大地水准面的距离PP2。
三者关系为：
H=H正+N H=H正+ ζ
（1-22）
其中，N为大地水准面差距， ζ为高程异常。
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（5）：大地高H、正高H正、正常高H正常 正常高系统是我国目前采用的高程系统。 正常高与正高在海面上相等，平原相差为厘米级，高山区可达4米。
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（6）：垂线偏差 地面一点上的重力向量g和相应椭球面上的法线向量n之间的夹角称为该点
V f •M •m
（1-7）
r
将质点m的质量取单位质量，则得到地球的引力位或位函数
V f •M r
（1-8）
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（3）：引力位与离心力位
A.引力位
根据牛顿第二定律F=m ·a，则得加速度
a
f
•
M r2
（1-9）
对（1-8）式取微分，并顾及上式后得
a dV
（1-10）
dr
位函数是一个标量函数，负号的意义是加速度方向与向径向量方向相反。
球体由区域地表符合最好，向与全球范围地表符合最好演化。
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（5）：大地高H、正高H正、正常高H正常 根据高程系统采用的基准面不同，高程系统主要有大地高、正高、正常
高三类。
大地高H：地面点沿法线到椭球面的距离PP0；
正高H正：地面点沿实际重力（垂）线到大地
水准面的距离PP1；
正常高H正常：地面点沿正常重力（垂）线似
正常重力位函数形式简单，不涉及地球形状和密度，首先求出正常重 力位，然后设法求出其与实际重力位的差值（扰动位），从而求得接近 实际的重力位。
由于（1-16）式右端第二项是容易计算的，因此求解地球正常重力位 的关键是先找出表达地球引力位的计算公式，再根据需要选取头几项而 略去余项，再估计右端第二项，就可得到地球正常重力位。
的垂线偏差。 同总地球椭球（或参考椭球）法线构成的角度称为绝对（或相对）垂线偏
差，统称为天文大地垂线偏差。 实际重力场中的重力向量g同正常重力场中的正常重力向量γ之间的夹角称
为重力垂线偏差。 如图所示，以测站O为中心做任意半径的辅
助球，其中， μ是垂线偏差， ξ、 η分别 是μ在子午圈和卯酉圈上的分量。
（1-1） （1-2）
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（2）：引力与离心力
B.离心力
离心力P指向质点所在平行圈半径的外方向。
单位质点
P m 2 P 2
（1-3） （1-4）
其中，ω为地球自转角速度，按天文精确测量，有ω=2π：86 164.095=7.292 115×10-5rad·s-1；ρ为质点所在平行圈半径，随纬度不 同而不同。
点（控制点）的水平位置和高程位置，建立控制网，作为地形测量和 工程测量的依据，这种测量工作称为控制测量。
控制点位置是通过其在参照系中的坐标来描述的，为计算控制点 坐标，控制测量是以角度、边长、高差、坐标差（GPS观测）等观测 值将各控制点连接起来。
由于观测值连接的控制点图形通常是网状，所以通常也称控制测 量为建控制网。
g
2 x
g
2 y
g
2 z
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（3）：重力位
同重力方向重合的线称为铅垂线。
重力位对任意方向的偏导数等于重力在该方向上的重力加速度或分力。
当g与l相垂直时，有dWWl=0，有glW=常g数c。os g, l
（1-19）
当给出不同的常数值，就得到一簇曲面，称为重力等位面，这就是测 量上所谓的水准面。水准面有无数多个，其中，把完全静止的海水面所 形成的重力等位面，专称为大地水准面。
由于地球的极曲率及周日运动的原因，重力从赤道向两极增大。
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（4）：地球的正常重力位和正常重力 重力位表达式（1-16）是在假设地球是个质量分布均匀的球体基础上
得出的。实际上地球既不是规则的球体，质量分布也很不均匀，所以公 式不能精确求得实际的重力位。测量学中就引入了一个近似而方便计算 的正常重力位。
能接近。除了确定旋转椭球体的大小、形状外，还要确定其与大地体的 关系，这个工作称为椭球体定位。
为了减少观测值归算投影变形，旋转椭球体越接近大地体越好。历史 上各国都是采用接近本国大地水准面的旋转椭球面作为基准面，相应的 椭球体称为参考椭球体。定位采用旋转椭球中心与参考椭球中心重合， 短轴与地球旋转轴重合。