2.1.1合情推理-类比推理

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
目前最佳的结果是中国数学家陈景润於1966年 证明的，称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) ? “ 任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数 之和，而後者仅仅是两个质数的乘积。” 通 常简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ” 的形式。
,
a2 c2 a2 b2
S 2 PE2PF2 sin2 EPF a2b2 a2c2 b2c2
4
4
S12 S22 S32.
S2

S12

S
2 2

S32 .
例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
圆的面积 S r 2
球的体积 V r3
圆心与弦（非直径）中心的连线垂 球心与截面（不经过球心的小截面
直于弦
圆）圆心的连线垂直截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆 与球心距离相等的两个截面圆面积
心距离不相等的两弦不等,距圆心 相等;与球心距不相等的两个截面
较近的弦长.
圆面积不相等,距球心较近的截面
圆面积较大.
以点P(x0, y0 )为圆心, r为半径的圆 以点P(x0, y0 )为球心, r为半径的球的方 的方程为(x x0 )2 ( y y0 )2 r 2. 程为(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r 2.
点评：本题推测球的有关性质第二个是错误的，由此可见， 类比的结论只具有或然性，即可能真，也可能假.
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
推理过程概括: 从具体问题出发
观察,分析,比较,联想
归纳,类比
提出猜想
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察,分 析,比较,联想,再进行归纳,类比,然后提出猜想的推理,我 们把它们统称为合情推理(plausible reasoning).通俗 的说,合情推理是指“合乎情理”的推理.
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮助 我们猜想和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理 常常能为我们提供证明的思路和方向.
这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳)
例1:在数列 an
中 a1
1, an1

2an 2 an
,
试猜想这个数列的通项公式 an .
分析：根据已知条件和递推关系，先求出数列的前 几项，然后总结归纳其中的规律，写出其通项.
- 方程.
---------------------------------------------------------
--------.
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
解:
a1
1, a2

2a1 2 a1

2, 3
a3

2a2 2 a2

1 2

2, 4
a4

2a3 2 a3

1 2

2, 5
2
an

n
. 1
点评：通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不 正确，它的正确性需通过严格的证明，本题的结论可 以通过适当的变形得证.
例:如右图所示,直线l1与l2是同一平面内的两条相交直线, 它们有一个交点，如果在这个平面内再画第三条 直线l3,那么这三条直线最多可能有___个交点;如果在 这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有 ___个交点,由此我们可以猜想:在同一个平面内,6 条直线最多可有___个交点,n(n为大于1的整数)条直线 最多可有___个交点,用含n的代数式表示.
B 5，5，5，…的第 1000 项是（
）.
A 42 B 45 C 48 D 51
6.设f (n) 0(n N *), f (2) 9,并且对任意的n1, n2 N *,
f (n1) f (n2 ) f (n1 n2 ),成立,猜想f (n)
3n .
7.已知sin2 30 sin2 90 sin2 150 3 ;sin2 5 sin2 65 sin2 125 3 .
十六进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十六进位 ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
十进位
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①----------(-x--a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上---述--两---圆--的---对---称--轴--
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
课堂练习
1. 由数列 1，10，100，1000，……猜测该数列的第n
B 项可能是 （
）.
A．10n B．10n-1 C．10n+1 D．11n
B 2. 1，3，7，15，( )，63， ···，括号中的数字应
为（ ）. A. 33 B. 31 C. 27 D. 57
3. 数列 1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，
歌德巴赫猜想的提出过程：
3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，
改写为:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．
这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说 ，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的 问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便 引起了许多数学家的注意。从提出这个猜想至今，许多数学家 都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具 体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . . 等等。有人对33×108以内且大过6之偶数 一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。 从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注 意。200年过去了，没有人证明它。
2
2
通过观察上述两等式的规律, 请你写出一般性的命题:
sin 2 sin 2 ( 60 ) sin 2 ( 120 ) 3 .(并给出证明)
2
或 : sin 2 ( 60 ) sin 2 sin 2 ( 60 )
例4.类比平面内直角三角形的勾股定理,试给
出空间四面体性质的猜想.(课本34面)
B
P
a
c
C
A bS2Βιβλιοθήκη DS1S3
F
E
C 90 类比 PDE PDF EDF 90.
a2 b2 c2
类比
S2

S12

S
2 2

S32 .
S, S1, S2, S3分别为PEF , PDF , PDE , EDF的面积.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)
圆的概念和性质
球的类似的概念和性质
圆的周长 C d
球的表面积 S d 2
2.1.1合情推理
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两 个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3 ＋3，12＝5＋7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时 的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质 数之和。 (b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质 数之和。
请给出证明
P
证:
S12

a2b2 4
, S22

a2c2 4
; S32

b2c2 4
.
E
a
cD b F
cosEPF a2 c2 a2 b2 b2 c2
a2
,
2 a2 c2 a2 b2
a2 c2 a2 b2
a2c2 a2c2 b2c2
sin EPF